北京市2013高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 5 数列 文

1 解析分类汇编系列五 北京解析分类汇编系列五 北京 20132013 高三 一模 文数高三 一模 文数 5 5 数列 数列 1 2013 届北京市延庆县一模数学文 已知等差数列ba 1 等比数列5 2 3 ba 则该 等差数列的公差为 A 3 或3 B 3 或1 C 3D 3 C 在等差数列中 即 成等比 所以ba 121ab 21ba 5 2 3 ba 即 整理得 2 2 3 5 ab 2 2 3 5 3 21 5 6 2 abaa 解得或 当时 所以 2 4 0aa 4a 2a 2a 20a 成等比不成立 舍去 当时 成立 所以公差为 选 C 5 2 3 ba4a 14 13a 2 2013 届北京东城区一模数学文科 对于函数 部分与的对应关系如下 xfy xy 表 x 123456789 y 745813526 数列满足 且对任意 点都在函数的图象上 则 n x2 1 x n N 1 nn xx xfy 的值为 201320124321 xxxxxx A 9394B 9380C 9396D 9400 A 因为 由题意知 则 2 1 x 1 nn xf x 21 2 4xf xf 32 4 8xf xf 所以数列是周期 3 的周期数列 所以 43 8 2xf xf 54 2 4xf xf n x 所 123420122013123 671 671 2 4 8 671 14 9394xxxxxxxxx 以选 A 3 2013 届北京丰台区一模文科 设 n S为等比数列 n a的前n项和 则 34 20aa 3 1 S a A 2B 3C 4D 5 B 在等比数列中 由 34 20aa 得 所以 选 B 4 3 2 a q a 3 3 1 11 8 3 11 2 Sq aq 2 4 2013 届北京海淀一模文 等差数列中 则的值为 n a 234 3 9 aaa 16 a a A B C 21D 27 1418 A 在等差数列中由 解得 所以 所以 234 39aaa 1 21ad 61 57aad 选 A 16 2 714a a 5 2013 届北京门头沟区一模文科数学 在等差数列中 则 n a 79 16 aa 4 1 a 的值是 12 a A 15B 30C 31D 64 A 由 得 由 得 解得 所以 79 16 aa 1 21416ad 4 1 a 1 31ad 47d 选 A 124 812 715aad 6 2013 届北京西城区一模文科 设等比数列的公比为 前项和为 且 若 n aqn n S 1 0a 23 2Sa 则的取值范围是 q A B C D 1 1 0 0 2 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 2 B 由得 即 所以 解得 23 2Sa 123 2aaa 2 111 2aa qa q 2 210qq 1 1 2 q 又 所以的取值范围是 选 B 0q q 1 0 0 1 2 7 2013 届房山区一模文科数学 已知为等差数列 为其前项和 若 n a n S n 则 194 18 7aaa 10 S A B C D 558190100 D 由 得 解得 所以 194 18 7aaa 1 1 2818 37 ad ad 1 1 2 a d 101 109 10100 2 Sad 3 选 D 8 2013 届房山区一模文科数学 设集合是的子集 如果点满足 MR 0 x R 称为集合的聚点 则下列集合中以为聚点的有 0 0 0axMxxa 0 xM0 1 n n n N 0 x xx R 2 n n NZ A B C D A 中 集合中的元素是极限为 1 的数列 1 n n n N 除了第一项 0 之外 其余的都至少比 0 大 在的时候 不存在满足得 0 x a 的 x 1 2 a 0 不是集合的聚点 1 n n n N 集合 x x R x 0 对任意的 a 都存在 x 实际上任意比 a 小得数都可以 使得 0 x a 0 是集合 x x R x 0 的聚点 集合中的元素是极限为 0 的数列 2 n n N 对于任意的 a 0 存在 使 0 x 0 是集合的聚点 2 n a 2 a n 2 n n N 对于某个 a 1 比如 a 0 5 此时对任意的 x Z 都有 x 0 0 或者 x 0 1 也就 是说不可能 0 x 0 0 5 从而 0 不是整数集 Z 的聚点 故选 A 9 2013 届北京市延庆县一模数学文 已知定义在正整数集上的函数 nf满足以下条件 1 f mnf mf nmn 其中 m n为正整数 2 6 3 f 则 2013 f 2027091 因为 所以 即 f mnf mf nmn 3 3 3f mf mfm 所以 3 3 3f mf mfm 2013 2010 3 32010fff 2010 2007 3 32007fff 2007 2004 3 32004fff 等式两边同时相加得 6 3 3 33fff 即 2013 3 3 3 32010 670670 2 fff 2013 3 3 32010 6716702027091 2 ff 4 10 2013 届北京市朝阳区一模数学文 在等比数列 n a中 324 20aa a 则 3 a 若 n b为等差数列 且 33 ba 则数列 n b的前 5 项和等于 210 在等比数列中 解得 在等差数列中 所以 2 32433 220aa aaa 3 2a 33 2ba 153 53 5 5 2 55 210 22 bbb Sb 11 2013 届北京市石景山区一模数学文 在等差数列中 2013 其前n项和 n a 1 a 为 若 2 则的值等于 n S 1012 1210 SS 2 013 S 2013 在等差数列中 由得 即 所以 1012 2 1210 SS 11 119 2 22 adad 2d 20131 2013 2012 20132013 20132012 2013 2 Sad 12 2013 届北京东城区一模数学文科 数列 an 的各项排成如图所示的三角形形状 其 中每一行比上一行增加两项 若 则位于第 10 行的第 8 列的项等于 n n aa 0 a 在图中位于 填第几行的第几列 2013 a 第行的第列 89 a4577 第行的第列 89 a4577 因为第行的最后一项为 所以第 9 行的最后一项为 所以第 10 行的第 8 列的项n 2 n a 81 a 为 因为 所以在图中位于第行的第列 89 81 889 aaa 2 20134477 2013 a4577 13 2013 届北京大兴区一模文科 已知数列 数列的 n a 1 2 nn aa 1 1 a 1 1 nn a a 前n项和为 则n 18 37 18 5 因为 所以数列是公差为 2 的等差数列 所以 又 1 2 nn aa 21 n an 所以 11 1111 2 nnnn a aaa 解得 1223111 1 1111111 111118 1 2222137 n nnn S aaaaaaaan 18n 14 2013 届北京大兴区一模文科 已知函数是定义在上的单调递增函数 f x 0 且时 若 则 Nx Nf x 3f f nn 2 f 4 5 ff 3 15 因为 所以 若 则与矛盾 若 1 3 3 f ff 1 3f 1 1f 1 3f f 则 所以矛盾 所以必有 1 3f 1 3 3f ff 1 3 ff 1 2f 因为函数 2 1 2 3ff ff 3 2 6ff f 6 3 9ff f 单调递增 所以必有 即 f x 4 7 5 8ff 4 5 7815ff 15 2013 届北京西城区一模文科 已知数列的各项均为正整数 其前项和为 n an n S 若且 则 1 2 31 n n n nn a a a aa 是偶数 是奇数 3 29S 1 a 3n S 5722n 若是奇数 则为偶数 所以 因为 所以 1 a 21 31aa 21 3 31 22 aa a 3 29S 解得 1 312311 31 3129 2 a Saaaaa 1 5a 若是偶数 则 若是偶数 所以 所以 1 a 1 2 2 a a 2 a 21 3 24 aa a 即不是偶数 所以不成立 11 31231 29 24 aa Saaaa 1 29 4 7 a 若是奇数 所以 所以 即 2 a 31 31aa 1 312311 3129 2 a Saaaaa 不是偶数 所以不成立 1 56 9 a 6 因为 所以 1 5a 23 16 8aa 456 4 2 1aaa 7189 3 1 4 2 1aaaa 所 以 3 5 168 42 1 1 722 n Snn 16 2013 届北京市石景山区一模数学文 观察下列算式 l3 1 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 若某数 n3按上述规律展开后 发现等式右边含有 2013 这个数 则 n 45 由题意可得第 n 行的左边是 右边是个连续奇数的和 设第行的第一个数为 则 3 nnn n a 有 21 3 12aa 32 734aa 43 1376aa 以上 个式子相加可得 1 2 1 nn aan 1n 1 1 22 1 1 2 n nn aan n 所以 可得 故可知 2013 在第 45 行 2 1 n ann 4546 1981 2071aa 17 2013 届北京东城区一模数学文科 设是由个有序实数构成的一个数组 记作 An 其中 称为数组的 元 称为的下标 12 in Aa aaa i a 1 2 in A ii a 如果数组中的每个 元 都是来自 数组中不同下标的 元 则称为的子数SASA 组 定义两个数组 的关系数为 12 n Aa aa 12 n Bb bb 1 122 nn C A Baba ba b 若 设是的含有两个 元 的子数组 求 1 1 2 2 A 1 1 2 3 B SB 的最大值 C A S 若 且 为的含有三个 元 333 333 A 0 Ba b c 222 1abc SB 的子数组 求的最大值 C A S 解 依据题意 当时 取得最大值为 2 3 1 S C A S 7 当是中的 元 时 由于的三个 元 都相等 及中三个 元 0SABcba 的对称性 可以只计算的最大值 其中 3 3 C A Sab 1 222 cba 由 22222222 22 2 2abababababc 得 22ab 当且仅当 且时 达到最大值 0c 2 2 ab ba 2 于是 36 33 C A Sab 当不是中的 元 时 计算的最大值 0S 3 3 C A Sabc 由于 1 222 cba 所以 bcacabcbacba222 2222 3 3 222 cba 当且仅当时 等号成立 cba 即当时 取得最大值 此时 3 3 cbacba 3 3 1 3 C A Sabc 综上所述 的最大值为 1 C A S 18 2013 届北京丰台区一模文科 设满足以下两个条件的有穷数列为 12 n a aa n n 2 3 4 阶 期待数列 123 0 n aaaa 123 1 n aaaa 分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶 期待数列 若某 2013 阶 期待数列 是等差数列 求该数列的通项公式 记 n 阶 期待数列 的前 k 项和为 试证 1 2 3 k Skn 2 1 k S 8 解 数列为三阶期待数列 11 0 22 数列为四阶期待数列 其它答案酌情给分 31 1 3 88 8 8 设该 2013 阶 期待数列 的公差为 d 因为 1232013 0aaaa 12013 2013 0 2 aa 12013 0aa 即 1007 0a 1008 ad 当 d 0 时 与期待数列的条件 矛盾 当 d 0 时 据期待数列的条件 可得 100810092013 1 2 aaa 1006 100511 1006 221006 1007 ddd 即 该数列的通项公式为 1007 1007 1007 1006 1007 n n aand 2013nNn 且 当 d 0 时 同理可得 1007 1006 1007 n n a 2013nNn 且 当 k n 时 显然成立 1 0 2 n S 当 k n 时 根据条件 得 1212 kkkkn Saaaaaa 即 nkkkk aaaaaaS 2121 1212 1212 2 1 kkkkn kkkn Saaaaaa aaaaaa 1 1 2 3 2 k Skn 19 2013 届北京门头沟区一模文科数学 已知数列的前项和为 满足 n an n S1 1 a 下列条件 9 点在函数的图象上 0 n aNn nnn SaP 2 2 xx xf I 求数列的通项及前项和 n a n an n S II 求证 10 121 nnnn PPPP 1 解 I 由题意 2 2 nn n aa S 当时 2 n 22 1 2 1 2 1 nnnn nnn aaaa SSa 整理 得 01 11 nnnn aaaa 又 所以或 0 n aNn 0 1 nn aa01 1 nn aa 时 0 1 nn aa1 1 a1 1 n n a a 得 1 1 n n a 2 11 n n S 时 01 1 nn aa1 1 a1 1 nn aa 得 nan 2 2 nn Sn II 证明 时 0 1 nn aa 2 11 1 1 n n n P 所以 5 121 nnnn PPPP0 121 nnnn PPPP 时 01 1 nn aa 2 2 nn nPn 2 21 21 nPP nn 2 1 11 nPP nn 22 22 22 121 1121 1121 1121 nn nn nnPPPP nnnn 22 1121 32 nn n 10 因为 111221 22 nnnn 所以 1 1121 32 0 22 nn n 综上 10 121 nnnn PPPP 21 2013 届北京大兴区一模文科 已知数列的各项均为正整数 且 n a 12 n aaa 设集合 1 101 1 或 或 n kiiiii i Ax xakn 性质 1 若对于 存在唯一一组 使成立 则称数列 k xA i 1 2 ik 1 k ii i xa 为完备数列 当k取最大值时称数列为k阶完备数列 n a n a 性质 2 若记 且对于任意 都有成立 则称 1 1 k ki i makn k xmx Z k xA 数列为完整数列 当k取最大值时称数列为k阶完整数列 n a n a 性质 3 若数列同时具有性质 1 及性质 2 则称此数列为完美数列 当取最大 n a n ak 值时称为阶完美数列 n ak 若数列的通项公式为 求集合 并指出分别为几阶完备数 n a12 nan 2 A n a 列 几阶完整数列 几阶完美数列 若数列的通项公式为 求证 数列为阶完备数列 并求出集 n a 1 10 n n a n an 合中所有元素的和 n A n S 若数列为阶完美数列 试写出集合 并求数列通项公式 n an n A n a 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 A 为 2 阶完备数列 阶完整数列 2 阶完美数列 n an 若对于 假设存在 2 组及 使成立 则有 x n A i i ni 2 1 n i iia x 1 即 12 2 0 1 12 2 0 1 101010101010 n n n n 11 其中 必有010 10 10 11 22 0 11 n nn 1 0 1 ii nn 2211 所以仅存在唯一一组 使成立 i ni 2 1 n i iia x 1 即数列为阶完备数列 n an 对 则 因为 则 0 n S x n A n i iia x 1 n i ii n i ii aax 11 1 0 1 i 1 0 1 i 所以 即 n Ax 0 n S 若存在阶完美数列 则由性质 1 易知中必有个元素 由 知中元素成n n A n 3 n A 对出现 互为相反数 且 又具有性质 2 则中个元素必为 n A 0 n a n A n 3 313333 31 1 0 1 2222 nnnn n A 1 3n n a 22 2013 届北京西城区一模文科 已知集合 12 1 2 2 nni SXXx xxxinn N 对于 定义 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 1122 nn ABba baba 与之间的距离为 1212 nn a aaaaa R AB 1 n ii i d A Bab 当时 设 求 5n 1 2 1 2 5 A 2 4 2 1 3 B d A B 证明 若 且 使 则 n A B CS 0 ABBC d A Bd B Cd A C 记 若 且 求的最 20 1 1 1 IS A 20 BS 13d I Ad I B d A B 大值 12 解 当时 由 5n 5 1 ii i d A Bab 得 12 24 12 2 1 53 7d A B 所以 7d A B 证明 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc 因为 使 0 ABBC 所以 使得 0 11221122 nnnn ba babacb cbcb 所以 使得 其中 0 iiii bacb 1 2 in 所以 与同为非负数或同为负数 ii ba 1 2 ii cb in 所以 11 nn iiii ii d A Bd B Cabbc 1 n iiii i bacb 1 n ii i cad A C 解法一 20 1 ii i d A Bba 设中有项为非负数 项为负数 不妨设 1 2 20 ii bai 20 m m 20m 时 时 1 2 im 0 ii ba 1 2 20imm 0 ii ba 所以 20 1 ii i d A Bba 121212201220 mmmmmm bbbaaaaaabbb 因为 13d I Ad I B 所以 整理得 2020 11 1 1 ii ii ab 2020 11 ii ii ab 13 所以 20 1212 1 2 iimm i d A Bbabbbaaa 因为 1212201220 mmm bbbbbbbbb 1320 20 113mm 又 12 1 m aaamm 所以 1212 2 mm d A Bbbbaaa 2 13 26mm 即 26d A B 对于 有 且 1 1 1 14 A 14 1 1 1 B A 20 BS 13d I Ad I B 26d A B 综上 的最大值为 d A B26 解法二 首先证明如下引理 设 则有 x y R xyxy 证明 因为 xxx yyy 所以 xyxyxy 即 xyxy 所以 2020 11 1 1 iiii ii d A Bbaba 20 1 1 1 ii i ba 2020 11 1 1 26 ii ii ab 上式等号成立的条件为 或 所以 1 i a 1 i b 26d A B 对于 有 且 1 1 1 14 A 14 1 1 1 B A 20 BS 13d I Ad I B 26d A B 14 综上 的最大值为 d A B26 23 2013 届房山区一模文科数学 对于实数 将满足 且为整数 的x10 yyx 实数称为实数的小数部分 用记号表示 例如yxx 对于实数 无穷数列满足如下条件 81 1 20 21 20 8 77 a n a 1 aa 其中 1 1 0 00 n nn n a aa a 1 2 3n 若 求数列的通项公式 3 11 a n a 当时 对任意的 都有 求符合要求的实数构成的集合 1 2 a n Naan aA 设 是正整数 与互质 对于大于的任意正整数 是否 2013 p a pp20132013n 都有成立 证明你的结论 0 n a 1 33 1111 a 2 1 1112 33 a a 3 2 131 22 a a 4 3 1 20a a 所以 123 321 0 4 1132 n aaaan 则 从而 1 aaa 1 2 a 1 1 2 a 1 12 a 则 所以 2 1 111 1aa aaa 2 10aa 解得 舍去 15 2 a 151 1 22 a 所以集合 A 15 2 a 结论成立 易知是有理数 所以对一切正整数 为0或正有理数 an n a 15 设 是非负整数 是正整数 且互质 n n n p a q n p n q nn p q 由 可得 1 1 1 2013 pp a q 1 02013p 若 设 是非负整数 0 n p nn qp n p 0 则 而由得 nn n pp q n n n q p a n n n p q a 1 故 可得 1 1 n n nnn q a app 1n p