高三数学二轮复习(8)三角函数的图像与性质教师版

第一讲 三角函数的图像与性质 选择 填空题型 考 点考 情 三角函数的图像 三角函数的性质 求函数的解析式 求三角函数的值域或最值 1 对三角函数图像的考查主要是平移 伸缩变换 或由图 像确定函数的解析式 如 2013 年四川 T5 山东 T5等 2 三角函数的性质是考查的重点 可以单独命题 也可与三 角变换交汇 综合考查三角函数的单调性 周期性 最值 等 另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点 如 2013 年江西 T11 新课标全国卷 T15等 1 2013 山东高考 将函数 y sin 2x 的图像沿 x 轴向左平移 个单位后 得到一个偶函数的图像 则 8 的一个可能取值为 A B 3 4 4 C 0 D 4 解析 选 B 把函数 y sin 2x 的图像向左平移 个单位后 得 8 到的图像的解析式 是 y sin 该函数是偶函数的充要条件是 2x 4 k k Z 根据选项检验可知 的一个可能取值为 4 2 4 2 2013 四川高考 函数 f x 2sin x Error Error 的部分图像如图所示 则 的值分别是 A 2 B 2 3 6 C 4 D 4 6 3 解析 选 A 因为 所以 2 又因为 2 2k k Z 且 0 或向右 0 0 2 y sin x y sin x 1 横横坐坐标标变变为为原原来来的的倍倍 纵纵坐坐标标不不变变 y sin x y Asin x A 0 0 00 向向左左或或向向右右 平平移移个个单单位位 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 热点一三角函数的概念 基本关系式和诱导公式 例 1 1 已知角 的终边上一点的坐标为 则角 的最小正值为 sin 5 6 cos5 6 A B 5 6 2 3 C D 5 3 11 6 2 若 3cos cos 0 则 cos2 sin 2 的值是 2 1 2 自主解答 1 sin 0 cos0 又 cos 4 5 所以 m 8m 8m 2 9 4 5 1 2 答案 1 2 2 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边上一点 P 4 3 则 的值为 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 解析 原式 tan 根据三角函数的定义 得 tan 所以原式 sin sin sin cos y x 3 4 3 4 答案 3 4 热点二y Asin x A 0 0 的图像与解析式 例 2 1 2013 济南模拟 已知函数 f x Msin x M 是常数 M 0 0 0 的部分图像 如图所示 其中 A B 两点之间的距离为 5 那么 f 1 A 2 B 1 C 2 D 1 或 2 2 2013 海口模拟 将函数 y sin x 0 的图像向左平移 个单位 平 6 移后的图像如 图所示 则平移后的图像所对应的函数解析式为 A y sin x 6 B y sin x 6 C y sin 2x 3 D y sin 2x 3 自主解答 1 由图可知 M 2 因为 A B 两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点 设 A x1 2 B x2 2 因为 AB 5 所以 5 解得 x2 x1 3 因为 A B 两点的横坐标之差的绝对 x2 x1 2 2 2 2 值为最小正周期的一半 即 3 T 6 所以 6 解得 因为 f 0 1 所以 2sin 1 解得 sin 因 T 2 2 3 1 2 为 0 所以 或 结合图像 经检验 不合题意 舍去 故 所以 f x 2sin 故 6 5 6 6 5 6 3x 5 6 f 1 2sin 2sin 2 3 5 6 2 2 函数 y sin x 0 的图像向左平移 个单位后对应的函数解析式为 y sin sin 又因 6 x 6 x 6 为 f 1 由图可得 解得 2 所以平移后的图像对应的函数解析式为 y sin 7 12 7 12 6 3 2 2x 3 答案 1 C 2 C 规律 总结 根据三角函数图像确定解析式应注意的问题 在利用图像求三角函数 y Asin x 的有关参数时 注意直接从图中观察振幅 周期 即可求出 A 然后根据图像过某一特殊点求 若是利用零点值来求 则要注意是 x k k Z 根据点在单调区间上的 关系来确定一个 k 的值 此时要利用数形结合 否则就易步入命题人所设置的陷阱 3 已知函数 f x Acos x 的图像如图所示 f 2 2 3 则 f 6 A B 2 3 1 2 C D 2 3 1 2 解析 选 A 由图知 T 2 所以 f f f 11 12 7 12 2 3 6 6 2 3 2 2 3 4 已知函数 f x Acos x A 0 0 0 为奇函数 该函数的部分图像如图 所示 EFG 是边长为 2 的等边三角形 则 f 1 的值为 A B 3 2 6 2 C D 33 解析 选 D 由函数是奇函数 且 0 0 个单位 所得 a1 a2 a3 a4 3 sin x 1 cos x 图像对应的函数为偶函数 则 n 的最小值为 A B 6 3 C D 5 6 2 3 2 2013 皖南八校联考 已知函数 f x 2cos x 0 的图像关于直线 x 对称 且 f 0 则 的最 12 3 小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 自主解答 1 由定义知 f x cos x sin x 2cos 将其图像向左平移 n 个单位后得到 y 2cos 3 x 6 的图像 要使该函数为偶函数 应有 n k k Z 即 n k k Z 因此 当 k 1 时 n 取得 x 6 n 6 6 最小值 5 6 2 由题意知 k1 k2 其中 k1 k2 Z 两式相减可得 4 k2 k1 2 又 0 易 12 3 2 知 的最小值为 2 答案 1 C 2 A 互动探究 在本例 1 中 把 偶函数 改为 奇函数 如何选择 解析 选 B 若平移后所得图像对应的函数为奇函数 则 n k 即 n k k Z 6 2 3 n 的最小值为 3 规律 总结 1 奇偶性的三个规律 1 函数 y Asin x 是奇函数 k k Z 是偶函数 k k Z 2 2 函数 y Acos x 是奇函数 k k Z 是偶函数 k k Z 2 3 函数 y Atan x 是奇函数 k k Z 2 对称性的三个规律 1 函数 y Asin x 的图像的对称轴由 x k k Z 解得 对称中心的横坐标由 x k k Z 2 解得 2 函数 y Acos x 的图像的对称轴由 x k k Z 解得 对称中心的横坐标由 x k k Z 解 2 得 3 函数 y Atan x 的图像的对称中心由 x k Z 解得 k 2 5 若函数 y cos N 的一个对称中心是 则 的最小值为 x 6 6 0 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 选 B cos 0 k k Z 2 6k 又 N 的最小值为 2 6 6 6 6 2 6 若函数 f x Asin A 0 满足 f 1 0 则 2x A f x 2 一定是奇函数 B f x 1 一定是偶函数 C f x 3 一定是偶函数 D f x 3 一定是奇函数 解析 选 D 由于函数周期为 4 又由 f 1 0 可知 1 0 为函数 f x 图像的一个对称中心 且 f x 3 的图 2 2 像是由函数 f x 的图像向右平移 3 个单位所得 故函数 f x 3 图像的一个对称中心为 4 0 又函数周期为 4 故 0 0 也是函数 f x 3 图像的一个对称中心 即图像关于原点对称 故函数 f x 3 为奇函数 热点四三角函数的周期性 单调性与最值 例 4 1 2013 沈阳模拟 函数 f x Asin x A 0 0 的图像在上单调递增 则 的 3 2 3 4 最大值是 A B 1 2 3 4 C 1 D 2 2 设 a R f x cos x asin x cos x cos2满足 f f 0 则函数 f x 在上的最大值和最小 2 x 3 4 11 24 值分别为 自主解答 1 因为 A 0 0 所以 f x Asin x 的递增区间满足 2k x 2k k Z 2 2 即 x k Z 所以 k Z 解得Error 即 1 所 2k 2 2k 2 3 2 3 4 2k 2 2k 2 以 的最大值为 1 2 f x asin xcos x cos2x sin2x sin 2x a 2cos 2x 由 f f 0 得 1 3 3 2 a 2 1 2 解得 a 2 3 因此 f x sin 2x cos 2x 2sin 由 x 可得 2x 3 2x 6 4 11 24 6 3 3 4 当 x 时 2x f x 为增函数 4 3 6 3 2 当 x 时 2x f x 为减函数 3 11 24 6 2 3 4 所以 f x 在上的最大值为 f 2 4 11 24 3 又 f f 4 3 11 24 2 故 f x 在上的最小值为 f 4 11 24 11 24 2 答案 1 C 2 2 2 互动探究 在本例 2 中 求函数 f x 的最小正周期及单调递减区间 解 f x 2sin f x 的最小正周期为 T 2x 6 2 2 由 2k 2x 2k k Z 2 6 3 2 得 k x k k Z 3 5 6 函数 f x 的单调递减区间为 k Z 3 k 5 6 k 规律 总结 三角函数的单调性 周期性及最值的求法 1 三角函数单调性的求法 求形如 y Asin x 或 y Acos x A 为常数 A 0 0 的单调区间的一般思路是令 x z 则 y Asin z 或 y Acos z 然后由复合函数的单调性求得 2 三角函数周期性的求法 函数 y Asin x 或 y Acos x 的最小正周期 T 应特别注意 y Asin x 的周期为 T 2 3 三角函数值域的求法 在求最值 或值域 时 一般要先确定函数的定义域 然后结合正弦函数性质可得函数 f x 的最值 7 设函数 f x cos x R 则 f x x 6 A 在区间上是增函数 5 6 0 B 在区间上是增函数 0 5 6 C 在区间上是增函数 3 3 D 在区间上是减函数 3 3 解析 选 A 依题意 f x f x 函数 f x 是偶函数 注意到函数 f x 在上是减函数 因此 f x 在 0 5 6 上是增函数 5 6 0 一 选择题 1 函数 y 2cos2 1 是 4 x A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 2 D 最小正周期为 的非奇非偶函数 2 解析 选 A 因为 y cos sin 2x 所以是最小正周期为 的奇函数 2 2x 2 设函数 f x sin 则下列结论正确的是 2x 3 A 函数 f x 的图像关于直线 x 对称 3 B 函数 f x 的图像关于点对称 4 0 C 把函数 f x 的图像向左平移个单位 得到一个偶函数的图像 12 D 函数 f x 的最小正周期为 且在上为增函数 0 6 解析 选 C 由对称轴为 x k k Z 可知选项 A 不正确 将代入函数表达式 经检验 1 2 12 4 0 f 0 选项 B 不正确 经过选项 C 中平移后解析式 f x sin sin cos 2x 因为 cos 2x 为 4 2 x 12 3 2x 2 偶函数 所以该选项正确 当 x 时 2x 此时函数 f x 不单调 故选项 D 不正确 0 6 3 3 2 3 3 2013 日照模拟 已知函数 f x Asin x A 0 0 2 的部分图像如图所示 则 的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 选 B 由图像可知函数的最大值为 2 故 A 2 由 f 0 得 sin 而 即 T 故 0 0 函数 f x sin在上单调递减 则 的取值范围是 x 4 2 A B 1 2 5 4 1 2 3 4 C D 0 1 2 0 2 解析 选 A 通过取特殊值 2 1 验证三角函数的角的范围 排除选项 得到结果 令 2 x 不合题意 排除 D 1 x 符合题意 排除 B C 4 5 4 9 4 4 3 4 5 4 5 函数 f x sin x 的最小正周期是 若其图像向右平移 个单位后所得图像对应的函 0 2 3 数为奇函数 则函数 f x 的图像 A 关于点对称 12 0 B 关于点对称 5 12 0 C 关于直线 x 对称 5 12 D 关于直线 x 对称 12 解析 选 C f x sin x 的最小正周期为 则 2 即 f x sin 2x 向右平移 个单位后 所得 3 函数为 g x sin sin 又因为 g x 为奇函数 0 排除 C y xcos x sin x 为奇函数 图像关于原点对称 排除 B 当 2 x 时 y 0 0 0 所以 mmin 6 9 2013 海口模拟 已知函数 f x sin x 的图像与直线 y kx k 0 有且仅有三个公共点 这三个公共点横坐 标的最大值为 则 等于 A cos B sin C tan D tan 解析 选 D 数形结合可知 函数 f x sin x 的图像与直线 y kx k 0 有且仅有三个公共点时 必在 内相切 且其切点为 sin 当 x 时 f x sin x f x cos x k 3 2 3 2 3 2 cos 即 tan sin 10 已知函数 f x Asin x x R的周期为 且图像上一个最小值点为 M A 0 0 0 0 0 为偶函数 其部分图像如图所示 A B 分别为最高点与最低点 并且 A B 两点间距离为 2 则 的值分别是 5 解析 因为 y sin x 是偶函数 又 0 所以 设函数的周期为 T 由图可知 2 12 2 T 4 5 2 所以 T 8 于是 T 8 得 2 4 答案 4 2 12 在内有两个不同的实数满足 cos 2x sin 2x k 1 则实数 k 的取值范围是 0 2 3 解析 方程 cos 2x sin 2x k 1 即 2sin k 1 sin 由 x 可得 2x 3 2x 6 2x 6 k 1 2 0 2 6 根据方程在上述区间内有两个解 可得 1 即得