第十一章（理）第9节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1 第十一章第十一章 第九节第九节 离散型随机变量的均值与方差 正态分布离散型随机变量的均值与方差 正态分布 题组一离散型随机变量的均值问题 1 已知随机变量 的分布列为 2 10123 P 1 12 mn 1 12 1 6 1 12 其中 m n 0 1 且 E 则 m n 的值分别为 1 6 解析 由 p1 p2 p6 1 得 m n 7 12 由 E 得 m 1 6 1 2 1 6 m n 1 3 1 4 答案 1 3 1 4 2 有 10 件产品 其中 3 件是次品 从中任取两件 若 X 表示取到次品的个数 则 E X 等 于 解析 X 0 时 P X 1 时 P 2 7 2 10 C C 11 73 2 10 C C C X 2 时 P 2 3 2 10 C C E X 0 1 2 2 7 2 10 C C 11 73 2 10 C C C 2 3 2 10 C C 7 3 2 3 C 2 10 3 5 答案 3 Ck 3 5 3 2009 重庆高考 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分为基础设施工程 民生工程和产业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 现 1 2 1 3 1 6 有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设 1 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 2 记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数 求 的分布列 及数学期望 2 解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事 件 Ai Bi Ci i 1 2 3 由题意知 A1 A2 A3相互独立 B1 B2 B3相互独立 C1 C2 C3相互独立 Ai Bj Ck i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 P Ai P Bi P Ci 1 2 1 3 1 6 1 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 3 P A1B2C3 6P A1 P B2 P C3 6 1 2 1 3 1 6 1 6 2 法一 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由已知 B 3 1 3 且 3 所以 P 0 P 3 3 3 3 C 1 3 1 27 P 1 P 2 2 2 3 C 1 3 2 3 2 9 P 2 P 1 2 1 3 C 1 3 2 3 4 9 P 3 P 0 3 0 3 C 2 3 8 27 故 的分布列为 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 E 0 1 2 3 2 1 27 2 9 4 9 8 27 法二 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件 Di i 1 2 3 由已知 D1 D2 D3相互独立 且 P Di P Ai Ci P Ai P Ci 1 2 1 6 2 3 所以 B 3 2 3 3 即 P k k 3 k k 0 1 2 3 3 Ck 2 3 1 3 故 的分布列是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 E 3 2 2 3 题组二离散型随机变量的方差问题 4 2010 长沙模拟 设 是服从二项分布 B n p 的随机变量 又 E 15 D 则 45 4 n 与 p 的值为 A 60 B 60 C 50 D 50 3 4 1 4 3 4 1 4 解析 由 B n p 有 E np 15 D np 1 p p n 60 45 4 1 4 答案 B 5 已知随机变量 的分布列为 123 P0 5xy 若 E 则 D 等于 15 8 解析 由分布列的性质得 x y 0 5 又 E 所以 2x 3y 解得 15 8 11 8 x y 1 8 3 8 所以 D 1 2 2 2 3 2 15 8 1 2 15 8 1 8 15 8 3 8 55 64 答案 55 64 6 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上 n 号的有 n 个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 4 2 若 a b E 1 D 11 试求 a b 的值 解 1 的分布列为 01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E 0 1 2 3 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 D 0 1 5 2 1 1 5 2 2 1 5 2 3 1 5 2 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2 75 1 5 2 由 D a2D 得 a2 2 75 11 即 a 2 又 E aE b 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 2 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 4 Error Error 或Error Error 即为所求 题组三离散型随机变量的均值与方差的实际应用 7 2010 南平模拟 好运 出租车公司按月将某辆车出租给司机 按照规定 无论是否 出租 该公司每月都要负担这辆车的各种管理费 100 元 如果在一个月内该车被租的 概率是 0 8 租金是 2 600 元 那么公司每月对这辆车收入的期望值为 元 解析 设公司每月对这辆车收入为 X 元 则其分布列为 X 1002 500 P0 20 8 故 E X 100 0 2 2 500 0 8 1 980 元 答案 1 980 8 利用下列盈利表中的数据进行决策 应选择的方案是 自然状况 自然状况 方案 盈利 概率 A1A2A3A4 S10 255070 2098 S20 3065265282 S30 45261678 10 5 解析 利用方案 A1 A2 A3 A4盈利的期望分别是 50 0 25 65 0 30 26 0 45 43 7 70 0 25 26 0 30 16 0 45 32 5 20 0 25 52 0 30 78 0 45 45 7 98 0 25 82 0 30 10 0 45 44 6 答案 A3 9 某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙 已知从城市甲到 城市乙只有两条公路 且运费由果园承担 若果园恰能在约定日期 月 日 将水果送到 则销售商一次性支付给果园 20 万元 若在约定日期前送到 每提前一天销售商将多支付给果园 1 万元 若在约定日期后送 到 每迟到一天销售商将少支付给果园 1 万元 为保证水果新鲜度 汽车只能在约定日期的前两天出发 且只能选择其中的一条公路 运送水果 已知下表内的信息 统计信息 汽车行驶路线 不堵车的情况 下到达城市乙 所需时间 天 堵车的情况下 到达城市乙 所需时间 天 堵车的概率 运费 万元 公路 23 1 10 1 6 公路 14 1 2 0 8 1 记汽车走公路 时果园获得的毛利润为 单位 万元 求 的分布列和数学期望 E 2 假设你是果园的决策者 你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更 多 注 毛利润 销售商支付给果园的费用 运费 解 1 汽车走公路 时 不堵车时果园获毛利润 20 1 6 18 4 万元 堵车时果 园获得的利润 20 1 6 1 17 4 万元 则果园获得毛利润 的分布列为 18 417 4 P 9 10 1 10 E 18 4 17 4 18 3 万元 9 10 1 10 6 2 设汽车走公路 时果园获得的毛利润为 不堵车时果园获的毛利润 20 0 8 1 20 2 万元 堵车时果园获的毛利润 20 0 8 2 17 2 万元 故汽车走公路 时果园获得的毛利润 的分布列为 20 217 2 P 1 2 1 2 E 20 2 17 2 18 7 万元 1 2 1 2 E 0 若 在 0 1 内取值的概率 为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 解析 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 正态分布图象的对 称轴为 x 1 在 0 1 内取值的概率为 0 4 可知 随