多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球 内切球半径常见的 5 种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也是高考 考查的一个热点 研究多面体的外接球问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 而多面体外接球半径的 求法在解题中往往会起到至关重要的作用 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 则这个球的体积为 9 8 解 设正六棱柱的底面边长为 高为 则有 xh 2 63 1 2 93 6 3 84 x x x h h 正六棱柱的底面圆的半径 球心到底面的距离 外接球的半径 1 2 r 3 2 d 22 1Rrd 4 3 V 球 小结 本题是运用公式求球的半径的 该公式是求球的半径的常用公式 222 Rrd 多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 体积为 16 则这个球的表 面积是 A B C D 16 20 24 32 解 设正四棱柱的底面边长为 外接球的半径为 则有 解得 xR 2 416x 2x 这个球的表面积是 选 C 222 22242 6 6RR 2 424R 小结 本题是运用 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 这一性质来求解 的 补形法 例 3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 3 解 据题意可知 该三棱锥的三条侧棱两两垂直 把这个三棱锥可以补成一个棱长 为的正方体 于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 3 设其外接球的半径为 则有 R 222 2 23339R 2 9 4 R 故其外接球的表面积 2 49SR 小结 一般地 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就abc 可以将这个三棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径 设其外接球的半径为 则有 R 222 2Rabc 寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 点都SABCD 2SABCD 在同一球面上 则此球的体积为 解 设正四棱锥的底面中心为 外接球的球心为 如图 31OO 所示 由球的截面的性质 可得 1OOABCD 平面 又 球心必在所在的直线上 1SOABCD 平面O1SO 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就ASC 是外接球的半径 在中 由 得 ASC 22SASCAC 222 SASCAC ASCAC 是以为斜边的R t 是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 1 2 AC 4 3 V 球 小结 根据题意 我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接 球半径的通解通法 该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆 从而把立体几何 问题转化为平面几何问题来研究 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 确定球心位置法 例 5 在矩形中 沿将矩形折成一个直二面角ABCD4 3ABBC ACABCD 则四面体的外接球的体积为BACD ABCD A B C D 125 12 125 9 125 6 125 3 解 设矩形对角线的交点为 则由矩形对角线互相平分 可知O 点到四面体的四个顶点的OAOBOCOD OABCD 距离相等 即点为四面体的外接球的球心 如图 2 所示 外接球的O 半径 故 选 C 5 2 ROA 3 4125 36 VR 球 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系 利用向量知识求解 例题 已知在三棱锥中 BCDA ABCAD面 120BAC 求该棱锥的外接球半径 2 ACADAB 解 由已知建立空间直角坐标系 000 A 002 B 200 D C D A B S O1 图 3 C AO D B图 4 A B C D z x y 由平面知识得 031 C 设球心坐标为 则 由空间两点间距离公式知 zyxODOCOBOAO 222222 2 zyxzyx 222222 2 zyxzyx 222222 3 1 zyxzyx 解得 1 3 3 1 zyx 所以半径为 3 21 1 3 3 1 222 R 结论 空间两点间距离公式 2 21 2 21 2 21 zzyyxxPQ 四面体是正四面体四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点 根据勾股定理知 假设正四面体的边长为时 它的外接球半径为 aa 4 6 内切球的半径内切球的半径 正方体的内切球 设正方体的棱长为 求 1 内切球半径 2 外接球半径 3 与棱相切的球半a 径 1 截面图为正方形的内切圆 得 EFGH 2 a R 2 与正方体各棱相切的球 球与正方体的各棱相切 切点为各棱的中点 如图 4 作 截面图 圆为正方形的外接圆 易得 OEFGHaR 2 2 3 正方体 图 3图 4 图 5 的外接球 正方体的八个顶点都在球面上 如图 5 以对角面作截面图得 1 AA 圆为矩形的外接圆 易得 OCCAA 11 aOAR 2 3 1 构造直三角形 巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球 其球心定在上下 底面中心连线的中点处 由球心 底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便 可得球半径 例题 例题 已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上 又知球与此a 111 CBAABC 1 O 2 O 正三棱柱的 5 个面都相切 求球与球的体积之比与表面积之比 1 O 2 O 分析 先画出过球心的截面图 再来探求半径之间的关系 解 如图 6 由题意得两球心 是重合的 过正三棱柱的一条侧棱和它们 1 O 2 O 1 AA 的球心作截面 设正三棱柱底面边长为 则a 正三棱柱的高为 由aR 6 3 2 aRh 3 3 2 2 中 得ODARt 11 2 22 2 2 2 2 1 12 5 6 3 3 3 3 3 aaaRaR aR 12 5 1 1 5 2 2 2 121 RRSS1 55 21 VV 二 棱锥的内切 外接球问题 4 正四面体的外接球和内切球的半径是多少 分析 运用正四面体的二心合一性质 作出截面图 通过点 线 面关 系解之 解 如图 1 所示 设点是内切球的球心 正四面体棱长为 由图形Oa 的对称性知 点也是外接球的球心 设内切球半径为 外接球半径Or 为 R 在中 即 得BEORt 222 EOBEBO 2 2 2 3 3 raR 得aR 4 6 rR3 图 1 图 6 点评 由于正四面体本身的对称性可知 内切球和外接球的两个球心是