多元连续函数的性质

毕毕 业业 论论 文文 题 目 多元连续函数的性质 学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 毕业年限 2012 6 学生姓名 马骥 学 号 8 指导教师 张春霞 1 多元连续函数的性质 马骥 西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 内容摘要内容摘要 本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到 多元连续函数的性质 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域 本文分别探讨了多元连续函数在 有界区域和无界区域上的性质 并得出一系列的结论 对于有界区域 对任意 任意D 0 PD 时 存在 则函数在上有界 取得最大 最小值 一致连续 对 n PD 0n PP lim n n f P fD 于无界区域 如果存在 对任意 时 有 则在上有界 若D0r PD Pr f PM fD 则取得最小值 若 则取得最大值 本文分别运用了区域的道路lim P f P lim P f P 连通性和有界闭区域完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理 然后用零点存在性定理证明多元 连续函数的介值性 关键词关键词 有界区域 无界区域 有界性 最值性 介值性 一致连续性 Properties of the Multivariate Continuous Function Abstract This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables on closed interval with bound to the multivariate continuous function Generally the domain can be divided into two kinds the bounded domain and the unbounded domain This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions On bounded domain for any any if exists whileD 0 PD n PD lim n n f P then function is bounded and uniformly continuous and exist maximum and minimum value 0n PP f On unbounded domain there is and for any if then the function D0r PD Pr f PM is bounded if then the function can get the minimum value if flim P f P flim P f P the function will get the maximum value This paper applies road connectivity and complete coverage f theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function Keywords Bounded domain unbounded domain boundedness maximum and minimum value intermediate value property uniformly continuous 2 一一 引言引言 连续函数的性质在函数的研究中具有很重要的意义和广泛的应用价值 在文献 1 中 利用闭区间 上一元连续函数的性质推广到有界闭区域上二元连续函数的性质 在文献 2 中研究了在有界 2 DR 闭区域上连续函数的性质 在文献 3 4 5 中 也探讨了从闭区间到一般区间 n DR m fDR 附加一定条件下连续函数的有界性 取得最大值和最小值性 介值性以及一致连续性问题 但在实际运 用过程中 我们经常接触到的不仅仅是区间 还有区域 因此 本文研究了在区域上连续函 n DR 数的性质 并得出一系列的结论 为连续函数的性质在实际中更广泛地应用提供了一定的 fDR 理论依据 一般地 我们可以把 9 种形式的区间分为三类 闭区间 开区间 a b a b a 半开半闭区间 同样地 我们也可以把区 b a b a b a b 域分为 有界闭区域 有界开区域 无界区域 例如 为有界 Sx yaxb cyd 闭区域 为有界开区域 为无界 222 5Cx yxy Dx yxy 区域 由于在有界闭区域上连续函数的性质 在诸多数学分析教材中已有研究 因此 本文主要研究在 有界区域和无界区域上多元连续函数的性质 二二 预备知识预备知识 文中用表示的闭包 表示的内部 表示的边界 表DD 0 DDD Dd DD 表示的直径P 示点到原点的距离 表示集合在集合中的余集 P 1 DD 1 DD 定义定义 1 1 设是开集 如果对于内任何两点 都可用折线连接起来 且该折线上的点都属于 1 DD 则称是连通的 连通的开集称为区域或开区域 开区域连同它的边界一起 称为闭区域 DD 定义定义 2 2 设 若对任意 存在 使得对任意有 2 n DR xyD 0 1 n tCR 0 1t 且 则称是道路连通的 其中叫做中的一条道路 tD 0 x 1y D t D 和分别称为该道路的起点和终点 0 1 定义定义 3 3 设 是一个区域 如果对于任何两点 存在着中的一条从到的道路 我DxyDxy 们则称是一个道路连通区域 D 3 引理引理 1 1 完全覆盖 完全覆盖 有界闭区域的任意一个完全覆盖都包含的一个分割 即存在 1 DD 的闭子区域 使得 且任意 当时 D 12n DDD 1 i DinC i DD n i 1 1i jn ij 其中表示的直径 ij d DD 0 ij d DD ij DD 引理引理 2 2 设为一有界闭集 若为上的连续函数 则必定 2 n DR m fDR D m f DR 也是一个有界闭集 引理引理 3 3 设为一有界闭集 若为上的连续函数 则在上必定一 2 n DR m fDR DfD 致连续 即对于任给的 存在只依赖于的 只要 且满足 就有0 0 x xD xx f xf x 引理引理 4 4 Bolzano Weierstrass Bolzano Weierstrass 引理引理 设是中的有界序列 则它必有收敛的子序 6 n P n R 列 在引理 2 引理 3 中 当时我们可以很容易得到以下推论 1m 推论推论 1 1 设在有界闭区域上函数连续 则函数在上有界 n DR fDR fD 推论推论 2 2 设在有界闭区域上函数连续 则函数在上能取得最大值与最 n DR fDR fD 小值 推论推论 3 3 设在有界闭区域上函数连续 则函数在上一致连续 n DR fDR fD 三三 多元连续函数的性质多元连续函数的性质 定理定理 1 1 设在有界区域上函数连续 且对任意 任意 n DR fDR 0 PD 时 存在 则函数在上有界 n PD 0n PP lim n n f P fD 证明证明 定义如下 F DR 当时 定义 PD F Pf P 当时 定义 其中 事实上 对中任意两个趋于PD lim n n F Pf P n PP n PD D 的点列 则 设 则 0 P n P n Q 0 limlim nn nn PQP 1122 nnn RQ P Q PQ P 4 存在 n RD 0n RP lim n n f R 由于存在 故lim n n f R lim lim lim nnn nnn f Pf Qf R 所以 的定义有意义 F 下面证明函数连续 即对任意一点 任意时 有 F DR 0 PD 0 nn PD PP 0 lim n n F PF P 1 当时 取 当充分大时 则 所以 0 PD 0n PP n n PD nn F Pf P 00 lim lim nn nn F Pf Pf PF P 2 当时 对任意 构造一点列 使得 0 PD n PD 0n PP n PD 1 nn PP n 找的方法如下 1 nn F PF P n n P 当时 取 n PD nn PP 当时 存在一点列 且 即存在 n PD m QD mn QP lim mn m f QF P 0M 此时取 因为 故mM 1 mn QP n 1 mn f QF P n 1nM PQ n PD nn F Pf P 所以 由于 由定理条件知 存在 故有 0 limlim nn nn PPP n PD lim n n f P lim lim lim nnn nnn F Pf PF P 由的定义知 F 0 lim lim nn nn F Pf PF P 从而连续 F DR 由于有界闭区域是紧致空间 而连续函数在紧致空间上有界 故在有界闭区域上有界 DFD 从而在上有界 而在上 故在上有界 FDDFf fD 定理定理 2 2 设在无界区域上函数连续 如果存在 对任意 n DR fDR 0r PD 时 有 则函数在上有界 Pr f PM fD 5 证明证明 设 则为有界闭集 已知在上连续 则在上连续 而 1 DDB O r 1 DfDf 1 D 为有界闭区域 由推论 1 可知在上有界 即对任意 对任意 有 1 Df 1 D0N 1 PD f PN 由定理条件知 对任意 有 1 PDD f PM 于是 存在 对任意 有 所以 函数在区域上有 0 max MN M PD 0 f PM fD 界 定理定理 3 3 设在有界区域上函数连续 对任意 对任意 n DR fDR 0 PD n PD 时 存在 且存在 对任意 有 则函数在 0n PP lim n n f P QD PD lim n n PP f Qf P f 内能取得最大值 D 证明证明 将函数在闭区域上作连续延拓 令fD 其中 lim n n F Pf P n PD n PP PD 由定理 1 的证明过程可知 函数在上连续 由在有界闭区域上连续可 F PDDD F PD 知 在有界闭区域上有最大值 从而在上取得最大值 FD F PD 设在上的最大值为 则对任意 有FD 0 F P 0 PD PD 0 F Pf PF P 若 则 显然为在内的最大值 0 PD 00 F Pf P 0 f PfD 若 则存在 则有 0 PD 0 nn PD PP 0 lim n n F Pf Pf Q 故对任意 都有 所以为在内的最大值 PD 0 F PF Pf Q f QfD 定理定理 4 4 设在有界区域上函数连续 对任意 任意 n DR fDR 0 PD n PD 时 存在 且存在 对任意 则函数在 0n PP lim n n f P QD lim n n PP PDf Qf P 有 f 内能取得最小值 D 证明方法同理与定理 3 定理定理 5 5 设在有界区域上函数连续 对任意 任意 n DR fDR 0 PD n PD 6 时 有 则函数在内能取得最小值 0n PP lim n n f P fD 证明证明 先证有下界 若无下界 则存在 使 因为有界 故ff n PD lim n n f P n P 存在收敛子序列 满足 且 k n P 0 k n PP lim k n n f P 若 则 这与矛盾 0 PD 0 lim k n n f Pf P lim k n n f P 若 则 这与矛盾 0 PD lim k n n f P lim k n n f P 故有下界 现设 可证存在点 使 如果不然 对任意点f infmf D QD f Qm 都有 可设PD 0f Pm 1 F P f Pm 定义如下 G DR 0 F PPD G P PD 则连续 证明方法同定理 1 证明过程中连续的证明 G DR F DR 又因在上不能达到下确界 所以存在点列 使 因为有界 fDm n PD lim n n f Pm n P 故存在收敛子序列 满足 由于在上连续 得 k n P k n PP PD GD lim k n k G PG P 因为 由的定义 得 k n PD G 1 limlimlim kk k nn kkn n G PF P f Pm 这与前面相矛盾 从而证得函数在内能取得最小值 lim k n k G PG P fD 定理定理 6 6 设在有界区域上函数连续 对任意 任意 n DR fDR 0 PD n PD 时 有 则函数在内能取得最大值 0n PP lim n n f P fD 证明证明 令 则 根据定理 5 可知 在内能 g Pf P lim lim nn nn g Pf P gD 取得最小值 则在内能取得最大值 fD 7 定理定理 7 7 设在无界区域上函数连续 如果 则函数在 n DR fDR lim P f P f 上取得最小值 D 证明证明 因为 所以任取 对常数 存在 当时 有lim P f P 1 PD 1 f P0r Pr 1 f Pf P 设 则为有界闭集 由于在上连续 则在上连续 而为有界闭 1 DDB O r 1 DfDf 1 D 1 D 区域 所以在上必取得最小值 设为 对任意 有 f 1 D 2 f P 1 PD 2 f Pf P 综上所述 取 对任意 有 其中当 012 min f Pf Pf P PD 0 f Pf P 时 当时 12 f Pf P 02 PPD 12 f Pf P 01 PPD 定理定理 8 8 设在无界区域上函数连续 如果 则函数在 n DR fDR lim P f P f 上取得最大值 D 证明证明 令 则 根据定理 7 可知 在内能 g Pf P lim lim PP g Pf P gD 取得最小值 则在内能取得最大值 fD 定理定理 9 9 零点存在性定理 零点存在性定理 设函数在道路连通区域上连续 且在的两点和 2 fDD 1 P 上的值异号 即 则在内连接和的一条道路上 一定存在点 2 P 12 0f Pf P AD 1 P 2 P 00 0PDf P 使得 证明证明 方法一 由于区域具有道路连通性 故中存在一条从的道路 设DD 1 P 2 到P 由于在区域上连续 由复合映射的连续性可知 12 0 1 0 1 n gDRgP gP 且有fD 也是连续的 记 则有 0 1fgR 0 1h tfg t t 12 0 1 0 1 0 1 0hhfgfgf gf gf Pf P A A AA 由一元函数的零点存在性定理知 存在 即 00 0 1 0th t 使得 000 0h tfg tf g t 令 从而定理得证 00000 0 g tP PDf PPD 则有 方法二 反证法 假设在上不存在点 使得 则对任意 由D 0 P 0 0f P 00 0PD f P 8 连续函数的保号性 存在时 同号 设为的连通 000 0 PPU PP 使得 0 f Pf P与 DD 闭子集 且 令 是的闭子区域且是某个的子集 则 12 P PD C ED E D 00 U PP 是的一个完全覆盖 由完全覆盖引理 包含的一个分割 而与C DC D 12n DDD i D 1i D 有公共界点 由于在上不变号 故若在上 12 1in i D12 1in f P 1 D 0f P 便可由与有公共界点推出在上有 由此依次可推出在所有的 1 D 2 D 2 D 0f P 上都有 从而 则 这与定理条 i D12 1in 0f P 1 0f P 2 0f P 12 0f Pf P A 件的矛盾 从而定理得证 12 0f Pf P A 定理定理 1010 介值性定理 介值性定理 设函数在道路连通区域上连续 若为内任意两点 2 fD 12 P P D 且 则对任何满足不等式的实数 必存在点 12 f Pf P 12 f Puf P u 00 PDf Pu 使得 证明证明 令 则在区域上连续 且 F Pf Pu F PD 1122 0 0F Pf PuF Pf Pu 根据定理 9 在区域必存在点 使得D 0 P 00 0F Pf Pu 即 有 0 f Pu 定理得证 定理定理 1111 设在区域上函数连续 则必定是一个区间 1 n DR fDR f D 证明证明 在区域上任取两点 且 根据定理 10 知 存在 使得D 12 P P 12 f Pf P 0 PD 满足 0 f Pu 12 f Puf P 于是 12 f Df Pf P 所以 是一个区间 f D 9 定理定理 1212 设在有界区域上函数连续 对任意 任意 n DR fDR 0 PD n PD 时 存在 则函数在上一致连续 0n PP lim n n f P fD 证明证明 方法一 将函数在闭区域上作连续延拓 令fD 其中 lim n n F Pf P nn PD PP PD 由定理 1 的证明过程可知 函数在上连续 则由推论 3 可知 在有界闭区 F PDDD F 域上一致连续 从而在上一致连续 由于时 因此函数在区域上DFDPD F Pf P fD 一致连续 方法二 假设在上不一致连续 则存在 对于任意小的 总有相应的 fD 0 0 1 n n P 虽然 但仍有 n QD 1 nn P Q n 0nn f Pf Q 由于为有界区域 因此存在收敛子列 并设 同样地 我们可以在D k nn PP 0 lim k n k PPD 中取得收敛子列 则因 n Q k n Q 1 0 0 kk nn k PQk n 所以有 设 0 limlim kk nn kk