江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料 恒等变换

用心 爱心 专心1 恒恒 等等 变变 换换 初中数学教师学科素养之三初中数学教师学科素养之三 常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略 是解决数学问题的一 种工具 不同的问题可以用不同的方法 相同的问题也可以用不同的方法 同时还依赖于 已有知识的掌握程度 记忆程度和思维的灵活性 创造性 从这一意义上说 掌握一些特 殊的解题方法和技能技巧 常常能缩短思考过程 尽快谋取最优解题方法 在解决较复杂 的问题中应把各种思想方法结合使用 我们不仅要学会各种解题方法 还要知道题是用什么方法去解的 如2003年杭州市中考中 出现了这样一道题 求函数的最小值 较合适的解题方法应该是 2 1 2 法 当然还可以用 法等方法解决 一 等式 用等号连接的两个解析式叫做等式 等式两边的解析式的定义域的公共部分 交集 称为此等式的定义域 等式是命题 如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值 叫做这 两个解析式恒等 这样的等式叫做恒等式 如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许 值中 只有某些数才有相等的数值 这样的等式叫做条件等式 如果等号两边的解析式对 于自变数的所有允许值 它们的值都不相等 这样的等式叫做矛盾等式 例如 等都是恒等式 是条件等式 22 xy xyxy 是矛盾等式 有时为了强调一个等式是恒等式 常用代替 53xx 二 恒等变换 把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式 这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形 三 多项式恒等定理 1 多项式恒等于零的定理 给定数域上标准形式的多项式 如果对自变量的任意数 该多 项式的值总等于零 那么它的所有系数都等于零 2 两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等 四 解题方法 一 配方法 在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方 完全立方等形式 从而再利用 诸如完全平方项非负性质 达到增加题目的条件等 从而达到解决数学问题的目的 配方 法主要用在多元代数式求值 无理式的证明或化简 解方程及函数的最值等方面 二次三项式配方式为 2 0 axbxc a 2 22 4 24 bacb axbxca x aa 例 求函数的最小值 2 2 1 yx x 例 已知 求的值 2 1 15 a aa 2 42 51 a aa 用心 爱心 专心2 例 已知 求的值 333 421a 23 331 aaa 例 当 取遍 到 的所有的实数时 满足的整数 的个数是 3 38 baa 例 若关于 的方程的两个实根的立方和是这两个实根平方和 2 12300 xxc 的 倍 求 的值 二 因式分解法 利用在配方式中 当时 即为因式分解的 2 40 0 baca 22 2 b axbxca x a 完全平方法式 和其他的因式分解式去解题的方法叫做因式分解法 因式分解法应用极其 广泛 主要体现在数的求值的简便方法 代数式求值 解方程 函数 三角函数 几何中 都有其应用 例 计算 22222222 100999897 4321 例 若是整数 求整数 的最小值 2 1996a 例 如图所示 在中 为 上一点 由点 ABC 分别作于 设 且实数 EDAB DFAC 满足 并有 使得方程 22 924160aabb 2 6 2256 a b A 有两个相等的实数根 2 13 sin3sin0 44 xxAA A 试求实数 的值 试求线段 的长 例 如图所示 中 ABC 2BC 求证 2 2 三 降幂法 升幂法 分析法是从结论 未知 出发 一步一步探索后达到命题的条件 已知 而降幂 法的思想本质出就是分析法的思想本质 例 当 变化 求分式 的最小值 2 2 365 1 1 2 xx xx 例 设抛物线 的图象与 轴只有一个公共点 2 5 21 2 4 yxaxa 求 的值 求的值 186 323aa 四 换元法 数学中的 元 指的是未知数 在解题过程中 用新的未知数 或某一式子 作为新 的变量 元 去替换原条件中的未知数或数学或代数式 从而使较为复杂的式子结构简化 这种方法叫做换元法 或称变量代换法 它的应用非常广泛 A B C D F E A B C 用心 爱心 专心3 例 解方程组 22 4 1 9 2 xyxy xy 例 三个同学对问题 若方程组的解是 求方程组 111 222 a xb xc a xb xc 3 4 x y 的解 提出各自的想法 甲说 这个题目好像条件不够 不能求解 111 222 325 325 a xb xc a xb xc 乙说 它们的系数有一定的规律 可以试试 丙说 能不能把第二个方程组的 两个方程的两边都除于5 通过换元替换的方法来解决 参考他们的讨论 你认为这个题 目的解应该是 例14 若能将表示成的形式 求证 2 347xx 2 1 1 a xb xc 1cab 例15 同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型 用了三种正方形的钢筋支架 在画 设计图时 如果在直角坐标中 抛物线的函数解析式为 正方形ABCD边长和正 2 yxc 方形EFGH的边长比为5 1 求 1 抛物线解析式中常数c的值 2 正方形MNPQ的边长 五 主元法 许多数学问题 都含有常量 参量和变量 统称为元素 这些元素中 必有某个元素处 于突出的 主导的地位 在解题时把这个元素看作主元 根据具体问题 从不同的思想角 度出发 选出适当的元素作为主元 并以此为线索把握问题与解决问题的方法叫做主元法 例16 1 解方程 32 3 2 21 330 xxx 六 消元法 对于含有多个变量的问题有时可以利用已知条件 通过一定的变形 消去若干个变数 使 问题得以解决 这种方法称为消元法或消去法 解方程组常常用消元法 通过方程组的等价变形消去若干个未知数 从而得到只有一个 或两个 未知数的方程 组 先求出一个 两个 未知数 再利用原方程组 或变形后 的 其他方程 求出其余未知数 初中数学中 最常用的是代入消元法或加减消元法 例17 解方程组 其中a b是已知数 且 并指出a b 2222 2 1 2 3 xyza xyzb xyz 0a 满足什么条件时 才能使 xyz 例18 若 其中a b是相邻的整数 c ab 求证 D是奇数 2222 0 DDabc 七 判别式法 用心 爱心 专心4 实系数一元二次方程的判别式 可以判别方程式实 2 0 0 axbxca 2 4bac 根的存在性与根的个数 对于二次函数也可以由判别式的符号 确定函数的图 2 0 0 yaxbxca 象 抛物线 与x轴交点情形 利用上述判别式的性质求解数学题的方法 叫做判别式法 还可以证明不等式 以及 研究直线 双曲线 抛物线交点的问题 例19 求分式 的最小值 2 2 61210 22 xx xx 例20 a为何值时 方程只有一个实数根 14 1 1 1 xxxa xxx x 例21 抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 可以相 22 2 2 yxmxm 12 x x 12 x x 等 也可以不相等 求的最小值 22 12 xx 例22 a b是正数 并且抛物线和都与x轴有公共点 求 2 2yxaxb 2 2yxbxa 的最小值 22 ab 例23 在中 求周长的最大值 ABC 0 60 1BAC ABC 八 待定系数法 按照一定规律 先写出问题的解的形式 如代数式 函数等 其中含有一些未知系数尚 待确定 然后根据已知条件设法确定这些系数的值 从而得到问题的解 这种方法叫待定 系数法 其中待确定的未知数叫做待定系数 待定系数法常用方法是比较系数和特殊值法 比较系数法 通过比较恒等式的两边多项式的对应项系数 得到关于待定系数的若干关系式 通常列 方程组 解之即得待定系数的值 其主要依据是多项式的恒待定理 例 是什么数时 多项式可以分解成两个一次因式 22 2332kxxyyyx 例 已知 且有 求 和 的值 2 2380aa 22 1 paq a 例 已知 其中 为常数 求 的值 2 23 1 xAB xxxx 例 如图所示 抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上的 两点 4 yk x 该抛物线的对称轴 与 轴交于点 且 0 90ABC 用心 爱心 专心5 求 直线 的解析式 抛物线的解析式 特殊值法 通过取字母的一些特定数值代入恒等式 由左右两边数值相等得到关于待定系数的若 干关系式 解这即得等定系数的值 其主要依据是表达式恒等的定义 两个表达式恒等 是 指用字母允许值范围内的任意值代替表达式中的字母 恒等式左右两边的值总是相等的 例 把多项式表示成 的降幂形式 32 235xxx 例 求证 不论 为何值 一次方程所表示的函数 21 3 11 0kxkyk 图象恒过一定点 体验习题 1 解方程 432 2914920 xxxx 2 已知实数a b满足 求证 22 1aabb 1 1 3 ab 3 已知 求的值 2 10mm 20021997 10mm 4 已知且 求的值 2 1 4 bcab ca 0a bc a 5 已知二次函数 其中a是正数 的图象经过点A 2 yaxbxc 1 4 与点B 2 1 并且与x轴有两个不同的交点 求b c的最大值 6 当k为何值时 抛物线与直线