小学数学奥数基础教程(五年级)--06

小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程 五年级五年级 本教程共 30 讲 数的整除性 二 数的整除性 二 我们先看一个特殊的数 1001 因为 1001 7 11 13 所以凡是 1001 的整数倍的数都能被 7 11 和 13 整除 能被能被 7 7 1111 和和 1313 整除的数的特征 整除的数的特征 如果数如果数 A A 的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的 数之差 大数减小数 能被数之差 大数减小数 能被 7 7 或或 1111 或或 1313 整除 那么数整除 那么数 A A 能被能被 7 7 或或 1111 或或 1313 整除 否则 数整除 否则 数 A A 就不能被就不能被 7 7 或或 1111 或或 1313 整除 整除 例例 2 2 判断能否被 7 整除 能否被 13 整除 解 解 因为 371 306 65 65 是 13 的倍数 不是 7 的倍数 所以能被 13 整除 不能被 7 整除 例例 3 3 已知 10 8971 能被 13 整除 求 中的数 解 解 10 8 971 1008 971 0 37 0 上式的个位数是 7 若是 13 的倍数 则必是 13 的 9 倍 由 13 9 37 80 推知 中的数是 8 2 位数进行改写 根据十进制数的意义 有 因为各数位上数字之和是 3 能够被 3 整除 所以这个 12 位数能被 3 整除 根据能被 7 或 13 整除的数的特征 与 1 要么都能被 7 或 13 整除 要么都不能被 7 或 13 整除 同理 与 100 9 91 要么都能被 7 或 13 整除 要么都不能 被 7 或 13 整除 因为 91 7 13 所以能被 7 和 13 整除 推知这个 12 位数能被 7 和 13 整除 分析与解分析与解 根据能被 7 整除的数的特征 与都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被 7 整除 所以 等号右边第二个数也能被 7 整除 推知 55 99 能被 7 整除 根据能被 7 整除的数的特征 99 55 44 也应能被 7 整除 由 44 能被 7 整除 易知 内应是 6 下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门 判断一个数能否被判断一个数能否被 2727 或或 3737 整除的方法 整除的方法 对于任何一个自然数 从个位开始 每三位为一节将其分成若干节 对于任何一个自然数 从个位开始 每三位为一节将其分成若干节 然后将每一节上的数连加 如果所得的和能被然后将每一节上的数连加 如果所得的和能被 2727 或 或 3737 整除 那么这 整除 那么这 个数一定能被个数一定能被 2727 或 或 3737 整除 否则 这个数就不能被 整除 否则 这个数就不能被 2727 或 或 3737 整 整 除 除 例例 6 6 判断下列各数能否被 27 或 37 整除 1 2 解 解 1 2 673 135 2 673 135 810 因为 810 能被 27 整除 不能被 37 整除 所以能被 27 整除 不能被 37 整除 2 8 990 615 496 8 990 615 496 2 109 2 109 大于三位数 可以再对 2 109 的各节求和 2 109 111 因为 111 能被 37 整除 不能被 27 整除 所以 2109 能被 37 整除 不能被 27 整除 进一步推知能被 37 整除 不能被 27 整除 由上例看出 若各节的数之和大于三位数 则可以再连续对和的各 节求和 判断一个数能否被个位是判断一个数能否被个位是 9 9 的数整除的方法 的数整除的方法 为了叙述方便 将个位是 9 的数记为 k9 10k 9 其中 k 为自 然数 对于任意一个自然数 去掉这个数的个位数后 再加上个位数的对于任意一个自然数 去掉这个数的个位数后 再加上个位数的 k 1k 1 倍 连续进行这一变换 如果最终所得的结果等于 倍 连续进行这一变换 如果最终所得的结果等于 k9k9 那么这 那么这 个数能被个数能被 k9k9 整除 否则 这个数就不能被整除 否则 这个数就不能被 k9k9 整除 整除 例例 7 7 1 判断 18937 能否被 29 整除 2 判断与 37289 能否被 59 整除 解 解 1 上述变换可以表示为 由此可知 能被 59 整除 37289 不能被 59 整除 一般地 每进行一次变换 被判断的数的位数就将减少一位 当 被判断的数变换到小于除数时 即可停止变换 得出不能整除的结论 练习练习 6 6 1 下列各数哪些能被 7 整除 哪些能被 13 整除 88205 2 六位数 175 62 是 13 的倍数 中的数字是几 7 九位数 8765 4321 能被 21 整除 求中间 中的数 8 在下列各数中 哪些能被 27 整除 哪些能被 37 整除 9 在下列各数中 哪些能被 19 整除 哪些能被 79 整除 55119 55537 62899 71258 练习练习 6 1 能被 7 整除的有 能被 13 整除的有 88205 2 1 提示 175 62 113 只要 内填 1 就有 175 162 13 4 能 5 能 提示 仿例 5 6 4 提示 仿例 6 7 0 解 因为 8765 4321 能被 21 整除 所以能被 7 和 3 整除 由能被 7 整除 推知下列各式也能被 7 整除 8765 4 321 0 321 0 876 183 0 693 0 由 69