导数文科大题含详细答案

1 导数文科大题 1 知函数 1 求函数 的单调区间 2 若关于 的方程 有实数根 求实数 的取值范围 答案 解析 2 2 已知 1 若 求函数 在点 处的切线方程 2 若函数 在 上是增函数 求实数 a 的 取值范围 3 令 是自然对数的底数 求当实数 a 等于多少时 可以使函数 取得最小值为 3 解 1 时 x 1 3 数在点处的切线方程为 2 函数在上是增函数 3 x 在上恒成立 即 在上恒成立 令 当且仅当时 取等号 的取值范围为 3 x 当时 在上单调递减 计算得 出 舍去 当且时 即 在上单调递减 在上单 调递增 计算得出 满足条件 当 且时 即 在上单调递减 计算得出 舍去 综上 存在实数 使得当时 有最小值 3 解析 1 根据导数的几何意义即可求出切线方程 2 函数在上是增函数 得到 f x 在上 4 恒成立 分离参数 根据基本不等式求出答案 3 求出函数的导数 讨论 的情况 从而得出答案 3 已知函数 1 分别求函数 与 在区间 上的极值 2 求证 对任意 解 1 令 计算得出 计算得出 或 故在和上单调递减 在上递增 在上有极小值 无极大值 则 故在上递增 在上递减 在上有极大值 无极小值 2 由 1 知 当时 故 当时 令 则 5 故在上递增 在上递减 综上 对任意 解析 1 求导 利用导数与函数的单调性及极值关系 即可求得及 单调区间及极值 4 已知函数 其中 为自然 数的底数 1 当时 讨论函数的单调性 2 当时 求证 对任意的 解 1 当时 则 故则在 R 上单调递减 2 当时 要证明对任意的 则只需要证明对任意的 设 看作以 a 为变量的一次函数 要使 则 即 恒成立 恒成立 对于 令 则 6 设时 即 在上 单调递增 在上 单调递减 则当时 函数取得最大值 故 式成立 综上对任意的 解析 1 求函数的导数 利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可 2 对任意的 转化为证明对任意的 即可 构造函数 求函数的导数 利用导数进行研究 即可 5 已知函数 1 当 时 求函数 在 处的切线方程 2 求 在区间 上的最小值 解 1 设切线的斜率为 k 因为 所以 所以 所以所求的切线方程为 即 2 根据题意得 令 可得 7 若 则 当时 则在上单调递增 所以 若 则 当时 则在上单调递减 所以 若 则 所以 随 x 的变化情况如下表 x12 0 0 0 e 极小值 0 所以的单调递减区间为 单调递增区间为 所以在上的最小值为 综上所述 当时 当时 当时 解析 1 设切线的斜率为 k 利用导数求出斜率 切点坐标 然后求出切线方程 2 通过 可得 通过 判断函数的单调性求出函数的最值 6 已知函数 I 求 f x 的单调区 间 8 II 若对任意 x 1 e 使得 g x x2 a 2 x 恒成立 求实 数 a 的取值范围 III 设 F x 曲线 y F x 上是否 总存在两点 P Q 使得 POQ 是以 O O 为坐标原点 为钝角柄点的钝 角三角开 且最长边的中点在 y 轴上 请说明理由 解 当 时 在区间 上单 调递减 当 时 在区间 上单调递增 3 分 由 得 且等号不能同时取得 对任意 使得 恒成立 对 恒成立 即 令 求导得 5 分 在 上为增函数 7 分 由条件 假设曲线 上总存在两点 满足 是以 为钝角顶点的钝 角三角形 且最长边的中点在 轴上 则 只能在 轴两侧 不妨设 则 9 是否存在 两点满足条件就等价于不等式 在 时是否有 解 9 分 若 时 化简得 对 此不等式恒成立 故总存在符合要求的两点 P Q 11 分 若 时 不等式化为 若 此不 等式显然对 恒成立 故总存在符合要求的两点 P Q 若 a 0 时 有 设 则 显然 当 时 即 在 上为增函数 的值域为 即 当 时 不等式 总有解 故对 总存在符合要求的两点 P Q 13 分 综上所述 曲线 上总存在两点 使得 是以 为钝角 顶点的钝角三角形 且最长边的中点在 轴上 14 分 7 已知函数为常数 若 a 2 求函数 f x 的单 调区间 若当时 恒成立 求实数 a 的取 值范围 10 解 a 2 时 时 时 f x 0 函数 f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间为 由已知条件得 且等号不能同时取 令 在 1 e 上为增函数 11 在 1 e 上的最大值为 的取值范围为 8 已知函数 1 若 试判断在定义域内的单调性 2 若在上恒成立 求 a 的取值范围 解 1 函数 函数的定义域为 函数的导数 当 此时函数单调递增 2 若在上恒成立 即在上恒成立 即 令 只要求得的最大值即可 即在上单调递减 9 已知函数 1 若 试判断在定义域内的单调性 2 若在上恒成立 求 a 的取值范围 答案详解 12 解 1 函数 函数的定义域为 函数的导数 当 此时函数单调递增 2 若在上恒成立 即在上恒成立 即 令 只要求得的最大值即可 即在上单调递减 10 设函数 若函数在上单调递增 求实数 a 的取值范围 当时 求函数在上的最大值 答案 解 的导数为 函数在上单调递增 即有在上恒成立 则在上恒成立 13 因为 则 计算得出 当时 令 即 单调递减 单调递增 当时 函数在上的最大值为 解析 14 求出函数的导数 根据题意可得在上恒成立 则 在上恒成立 运用指数函数的单调性 即可得到 a 的取值范 围 求出导函数 判断出在单调递减 单 调递增 判断求出最值 11 本小题满分 12 分 已知函数 1 当时 求曲线在点处的切线方程 2 当时 恒成立 求 的取值范围 答案详解 1 当时 则 即切点为 因为 则 故曲线在处的 切线方程为 即 4 分 2 求导得 5 分 令 当 即时 所以在上为增函 数 所以在上满足 故当时符合题 意 8 分 当 即时 令 得 当时 即 所以在为减 函数 所以 与题意条件矛盾 故舍去 11 分 综上 的取值范围是 12 分 15 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 1 将代入 求出得到切点坐标 求出得切线斜率 即可 得切线方程 2 根据题意对 的取值范围进行分讨论 利用导数来研究函数的单调 性 进而判断与 的关系 便可得出 的取值范围 12 已知函数 是的导函数 为自然对数的底数 解关于 的不等式 若有两个极值点 求实数 的取值范围 答案 当时 无解 当时 解集为 当时 解集为 若有两个极值点 则是方程的两个根 显然 得 令 若时 单调递减且 若时 当时 在上递减 当时 在上递增 要使有两个极值点 需满足在上有两个不同解 得 即 解析本题主要考查利用导函数求解函数问题 原不等式等价于 分 和讨论可得 设 则是方程的两个根 求导数可得 16 若时 不合题意 若时 求导数可得单调区间 进而可得最大值 可得关于 的不等式 解之可得 13 已知函数 如果函数在上是单调增函数 求 a 的取值范围 是否存在实数 使得方程在区间内 有且只有两个不相等的实数根 若存在 请求出 a 的取值范围 若不存在 请 说明理由 解 当时 在上是单调增函数 符合题意 当时 的对称轴方程为 因为在上是单调增函数 所以 计算得出或 所以 当时 不符合题意 综上 a 的取值范围是 把方程整理为 即为方程 设 原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根 即为函数在区间内有且只有两个零点 17 令 因为 计算得出或 舍 当时 是减函数 当时 是增函数 在内有且只有两个不相等的零点 只需即 计算得出 所以 a 的取值范围是 解析 1 因为函数的解析式中含有参数 a 故我们要对 a 进行分类讨论 注意 到 a 出现在二次项系数的位置 故可以分 三种情况 最 后将三种情况得到的结论综合即可得到答案 2 方程整理为构造函数 则原方程在区间内有且只有两个 不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点 根据函 数零点存在定理 结合函数的单调性 构造不等式组 解不等式组即可得到结 论 18 14 设函数 1 若 求函数的单调区 间 2 若曲线在点处与直线相切 求 a b 的值 解 1 当时 令 则或 则 函数的单调递增区间为和 递减区间为 2 曲线在点处与直线相切 即解之 得 解析 1 当时 求出的导函数 令 得出函数的单 调增区间 反之得出单调减区间 2 求出函数的导函数 得出 求出 a 和 b 15 19 20 16 已知函数 且 1 若在处取得极小值 求函数的单调区间 2 令 若的解集为 且满足 求的取值范围 答案 F 1 0 则 a 2b c 0 1 若 F x 在 x 1 处取得最小值 2 则 F 1 0 a 2b c 0 则 b 0 c a F 1 2 则 a 3 c 3 x 1 时 F x 0 函数 F x 单调递增 x 1 1 时 F x 0 函数 F x 单调递增 2 令 21 则 即 得即 17 18 设直线是曲线的一条切线 1 求切点坐标及的值 2 当时 存在 求实数的取值范围 答案 1 解 设直线 与曲线相切于点 22 解得或 当时 在曲线上 当时 在曲线上 切点 切点 2 解法一 设 若存 在 则只要 若即 令 得 在上是增函数 令 解得 在上是减函数 解得 若即 令 解得 在上是增函数 不等式无解 不存在 综合 得 实数的取值范围为 解法二 由得 当时 设若存在 则只要 8 分 令 解得在上是增函数 令 23 解得 在上是减函数 当时 不等式 不成立 不存在 综合 得 实数的取值范围为 19 已知函数 在点 处的切线与直线 平 行 1 求 的值 2 若函数 在区间 上不单调 求实 数 的取值范围 3 求证 对任意 时 恒成立 答案 24 20 已知函数 求曲线 在点 处的切线方程 若方程 有唯一解 试求实数 a 的取值范围 答案 解 又 可得切线的斜率 25 切线方程为 即 方程有唯一解有唯一解 设 根据题意可得 当时 函数与的图象有唯一的交点 令 得 或 在上为增函数 在 上为减函数 故 如图可得 或 解析 求得函数的导数 可得切线的斜率和切点 由点斜式方程 可得 所求切线的方程 方程有唯一解有唯一解 设 求得导数和单调区间 极值 作出图象 求出直线 和的图象的一个交点的情况 即可得到所求 a 的范围 21 已知函数 讨论的单调性 若时 都成立 求 a 的取值范围 解 函数的定义域为 函数的的导数 当时 此时函数单调递增 26 当时 由 计算得出 由 计算得出 函数在上增函数 则是减函数 令 当 即时 x 0 极大值 计算得出 2 当即时 在上无最大值 故不可能恒小于 0 故不成立 综上所述 a 的取值范围为 解析 求函数的导数 即可讨论函数的单调性 令 利用导数求得函数 的最大值为 只要有即可求得结论 27 22 已知函数 1 若曲线 在点 处的切线斜率为 求函数 的 单调区间 2 若关于 x 的不等式 有且仅有两个整数 解 求实数 m 的取值范围 解 1 函数的导数为 f x 可得在点处的切线斜率为 f 1 计算得出 即有的导数为 f x 由 f x 可得或 由 f x 可得 可得的单调增区间 单调减区间为 2 关于 x 的不等式即为 对于 当时 当时 即为 令 g x 令 h x 又 在 R 上递增 可得 使得 则在递增 在递减 在处取得极大值 又 则关于 x 的不等式有且仅有两个整数解 28 只需有且仅有两个整数解 则 计算得出 解析 1 求出的导数 可得切线的斜率 解方程可得 进而由导数 大于 0 得增区间 导数小于 0 得减区间 2 根据题意可得即为 讨论 x 的 符号 确定 即有 令 求出导数 再令令 求得导数 判断单调性和极值点 求得的单调区间 可得极值 结合条件可得不等式组 解不等式可得 m 的范围 23 知函数 1 若 则当 时 讨论 单调性