高一数学 集合与函数概念讲义 新人教A版必修1

1 讲义一 讲义一 集合的含义与表示 集合的含义与表示 2 课时 课时 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 1 了解集合的含义 领会集合中元素与集合的 关系 元素 用小写的字母 a b c 表示 元素之 间用逗号隔开 集合 用大写字母 A B C 表示 2 能准确把握集合语言的描述与意义 列举法和描述法 注意以下表示的集合之区别 注意以下表示的集合之区别 y x2 1 x2 x 2 0 x x2 x 2 0 x y x2 1 t y t2 1 y y x2 1 x y y x2 1 0 3 特殊的集合 N Z Q R N 典例剖析与课堂讲授过程 典例剖析与课堂讲授过程 一一 集合的概念以及元素与集合的关系 集合的概念以及元素与集合的关系 1 元素 用小写的字母 a b c 表示 元素之间用逗号隔开 集合 用大写字母 A B C 表示 元素与集合的关系 特殊的集合 N Z Q R N 集合中的元素具有确定性 互异性 无序性 例题 1 已知集合 A a 2 2a2 5a 10 又 3 A 求出 a 之值 解析 分类讨论思想 a 1 舍去 a 3 2 课堂练习课堂练习 1 书本 P5 练习题 1 P11 习题 1 1 题 1 2 5 2 已知集合 A 1 0 x 又 x2 A 求出 x 之值 解 x 1 3 已知集合 A a 2 a 1 2 a2 3a 3 又 1 A 求出 a 之值 解 a 0 二 集合的表示二 集合的表示 列举法和描述法列举法和描述法 例题 2 书本 P3 例题 1 P4 例题 2 例题 3 已知下列集合 1 1 A n n 2k 1 k N k 5 2 2 A x x 2k k N k 3 3 3 A x x 4k 1 或 x 4k 1 k N k 3 问 用列举法表示上述各集合 对集合 1 A 2 A 3 A 如果使 k Z 那么 1 A 2 A 3 A所表示的集合分别是什么 并说明 3 A与 1 A的关系 解 1 A n n 2k 1 k N k 5 1 3 5 7 9 11 2 A x x 2k k N k 3 0 2 4 6 3 A x x 4k 1 k N k 3 1 1 3 5 7 9 11 13 对集合 1 A 2 A 3 A 如果使 k Z 那么 1 A 3 A所表示的集合都是奇数集 2 A所表示的集合都是 偶数集 点评 1 通过对上述集合的识别 进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解 2 掌握奇数集 偶数集的描述法表示和集合的图示法表示 例题 4 已知某数集 A 满足条件 若1 aAa 则A a 1 1 若 2A 则在 A 中还有两个元素是什么 若 A 为单元素集 求出 A 和a之值 2 解 2 1 和 3 1 2 51 A 此时 2 51 a 或 2 51 A 此时 2 51 a 课堂练习 1 书本 P5 练习题 2 P12 题 3 4 2 设集合 M x x 4m 2 m Z N y y 4n 3 n Z 若 x0 M y0 N 则 x0 y0与集合 M N 的关系 是 A A x0 y0 M B x0 y0 M C x0 y0 N D 无法确定 解 x0 y0 4 4mn 3m 2n 1 2 则 x0 y0 M 三 今日作业 三 今日作业 1 已知集合 B x ax2 3x 2 0 a R 若 B 中的元素至多只有一个 求出 a 的取值范围 解 a 0 或 a 9 8 2 已知集合 M x N Z 求出集合 M 解 M 0 1 2 5 6 1 x 3 已知集合 N Z x N 求出集合 N 解 N 1 2 3 6 6 1 x 四 提高练习 四 提高练习 题 1 2006 年 辽宁 T5 5 分 设 是 R 上的一个运算 A 是 R 上的非空子集 若对任意的 a b A 有 a b A 则称 A 对运算 封闭 下列数集对加法 减法 乘法和除法 除数不等于 0 四则运算都封闭的是 C A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 题 2 2006 年 山东 T1 5 分 定义集合运算 A B z z xy x y z A y B 设集合 A 0 1 B 2 3 则集合 A B 的所有元素之和为 D A 0 B 6 C 12 D 18 题 3 2005 年 湖北 T1 5 分 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q 5 2 0 PQbPaba若 6 2 1 Q 则 P Q 中元素的个数是 B A 9 B 8 C 7 D 6 题 4 广东 2007 年理科 8 题 设S是至少含有两个元素的集合 在S上定义了一个二元运算 即 对任意的abS 对于有序元素对 ab 在S中有唯一确定的元素 a b与之对应 若对任 意的abS 有 ab ab 则对任意的abS 下列等式中不恒成立的是 A A a baa B ab aa ba C bb bb D a bba bb 课堂回顾与小结 课堂回顾与小结 1 记准 N Z Q R 2 分清列举法和描述法 注意集合中的元素是否满足互异 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义二 讲义二 集合之间的基本关系 集合之间的基本关系 2 课时 课时 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 1 集合之间的基本关系 包含关系 子集 真子集 空集 集合的相等 3 2 注意韦恩图 利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用 典例剖析与课堂讲授过程 典例剖析与课堂讲授过程 一 一 集合之间的基本关系 集合之间的基本关系 子集 真子集 空集 如方程 x2 1 0 的根 集合的相等 二 含有含有 n 个元素的集合个元素的集合 A 的子集个数是的子集个数是 2 2n n 真子集个数是真子集个数是 2 2n n 1 1 非空真子集 非空真子集 2 2n n 2 2 例题 1 已知集合 P x x2 5x 4 0 Q x x2 b 2 x 2b 0 且有 P Q 求实数 b 的取值范围 解 b 1 b 4 注意利用数轴去加以判断 例题 2 2007 年湖南 10 题 设集合 12 3 4 5 6 M 12k SSS 都是M的含两个元素 的子集 且满足 对任意的 iii Sab jjj Sab ij 12 3 ijk 都有 minmin jj ii iijj ab ab baba min xy 表示两个数xy 中的较小者 则k的最大值是 B A 10B 11C 12D 13 例题 3 2007 年北京文科 15 题 12 分 记关于x的不等式0 1 xa x 的解集为P 不等式 11x 的解集为Q I 若3a 求P II 若QP 求正数a的取值范围 解 I 由 3 0 1 x x 得 13Pxx II 1102Qx xxx 由0a 得 1Pxxa 又QP 所以2a 即a的取值范围是 2 课堂练习课堂练习 1 书本 P7 练习题 1 2 3 P12 5 B 组第 2 题 2 已知集合 A 2 8 a B 2 a2 3a 4 又 A B 求出 a 之值 解 a 1 或 4 3 已知集合 A x 3 x 4 B x 2m 1 x m 1 当 B A 时 求出 m 之取值范围 解 m 1 特别注意特别注意 当 B A 时 B 一定包括有两种情形 B 或 B 解题时极易漏掉 B 这一情况从而出错 三 三 今日作业 今日作业 1 判断下列集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系 已知集合 A x x 2k 1 k Z B x x 2m 1 m Z 解 A B 已知集合 A x x 2k k Z B x x 4m m Z 解 B A 2 已知集合 M x 2 x 5 N x m 1 x 2m 1 若 N M 求实数 m 的取值范围 解 m 3 注意 N 为 的情况 若 x Z 则 M 的非空真子集的个数是多少个 解 28 2 254 个 4 选做 当 x R 时 没有元素使得 x M 与 x N 同时成立 求实数 m 的取值范围 解 m4 四 四 提高练习 提高练习 题 1 设集合 S a b c d e 则包含 a b 的 S 的子集共有 D 个 A 2 B 3 C 5 D 8 题 2 集合 A x y 2x y 5 x N y N 则 A 的非空真子集的个数为 C 题 3 对于两个非空数集 A B 定义点集如下 A B x y x A y B 若 A 1 3 B 2 4 则点集 A B 的非空真子集的个数是 14 个 题 4 集合 03 AxxxN 且的真子集个数是 A A 16 B 8 C 7 D 4 解答 0 1 2 A A 的真子集有 0 1 2 0 1 0 2 1 2 共 7 个 选 C 题 5 2004 湖北 已知集合 P m 1 m 0 Q m R mx2 4mx 4 0 对任意的 x R 恒成立 则有 B A P Q B P Q C P Q D P Q Q 题 6 设集合 M x x k Z N x x k Z 则 B k 2 1 4 k 4 1 2 A M N B M N C M N D M N 课堂回顾与小结 课堂回顾与小结 3 分清子集 真子集 空集 注意 的特殊性 4 利用韦恩图 利用数轴 注意分类讨论思想的培养与应用 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义三 讲义三 集合之间的基本运算 集合之间的基本运算 2 课时 课时 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 1 集合之间的基本运算 交集 A B x x A 且x B 并集 A B x x A 或 x B 全集和补集 CUA x x U 且 x A 2 注意韦恩图 利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用 典例剖析与课堂讲授过程 典例剖析与课堂讲授过程 一 一 集合之间的基本运算 集合之间的基本运算 A B x x A 且 x B A B x x A 或 x B CUA x x U 且 x A 5 二 二 A B A B A 要特别注意 B 是否为 的情况的讨论 例题 1 已知集合 A x x2 2x 8 0 B x x2 ax a2 12 0 且有 A B A 求实数 a 的取值集合 解 a a 4 或 a 2 或 a 4 注意 注意分类讨论 例题 2 已知全集 U x x 4 集合 A x 2 x 3 集合 B x 3 x 3 求 CUA A B CU A B CUA B CU A B 解 a a 4 或 a 2 或 a 4 注意 注意分类讨论 例题 3 已知集合 A x x2 4mx 2m 6 0 B x x0 B x ax 3 0 且有 A B A 求 a 的取值范围 解 a a 3 2 2 书本 P12 10 题 B 组 4 题 四 四 提高练习 提高练习 题 1 设全集 U R A x 0 B x x0 B x 3 x 0 C x 3 x 1 D x x 1 题 2 集合 A x y 2x y 5 x N y N 则 A 的非空真子集的个数为 C 题 3 集合 M x x 3 4 N y y 则 M N 0 x 22 x 题 4 2004 年 上海 T3 4 分 设集合 A 5 log2 a 3 集合 B a b 若满足 A B 2 则 6 A B 1 2 5 题 5 已知集合 A y y B y y x2 2x 3 x R 则 A B y y 0 2x2 3x 1 已知集合 A x y B y y x2 2x 3 x R 则 A B x x 1 或 2x2 3x 1 x 1 4 1 2 题 6 已知集合 P x x2 5x 4 0 Q x x2 b 2 x 2b 0 且有 P Q 求实数 b 的取值范围 解 答案 b 1 b 4 题 7 若全集 I R x g x 均为 x 的二次函数 且 P x x a x x b x x b 2 用区间表示 函数 y x的定义域 值域是 作业 已知函数 f x 3x 2 5x 2 求 f 3 f 2 f a f a 1 典例剖析与课堂讲授过程 典例剖析与课堂讲授过程 一 函数的概念 二 函数的定义域的常见求法 例题 1 书本 P17 例题 1 例题 2 例题 2 如果函数 x 满足 对任意的实数 m n 都有 m n m n 且 1003 2 则 1 3 5 2005 2006 例题 3 06 重庆 T21 12 分 已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x x2 x f x x2 x 若 f 2 3 求 f 1 又若 f 0 a 求 f a 设有且仅有一个实数 x0 使得 f x0 x0 求函数 f x 的解析表达 式 解 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 所以 f f 2 22 2 f 2 22 2 又由 f 2 3 得 f 3 22 2 3 22 2 即 f 1 1 若 f 0 a 则 f a 02 0 a 02 0 即 f a a 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 又因为有且只有一个实数 x0 使得 f x0 x0 所以对任意 x R 有 f x x2 x x0 在上式中令 x x0 有 f x0 x 2 0 x0 x0 又因为 f x0 x0 所以 x0 x 2 0 0 故 x0 0 或 x0 1 若 x0 0 则 f x x2 x 0 即 f x x2 x 但方程 x2 x x 有两上不同实根 与题设条件矛质 故 x2 0 若 x2 1 则有 f x x2 x 1 即 f x x2 x 1 易验证该函数满足题设条件 综上 所求函数为 f x x2 x 1 x R 课堂练习 练习题 书本 P19 题 1 2 3 书本 P24 习题 1 2 3 4 5 思考题 已知函数 x 对一切实数 x y 均有 x y y x 2y 1 x 成立 且 1 0 求 0 之值 当 x 3 2x a 且 0 x x 2 从而有 a a 1 为所求 函数的恒成立问题 函数思想去处理 1 2 3 4 三 今日作业 1 设 f x 2 1 2 1 1 1 1 xx x x 则 f f 2 1 B A 2 1 B 4 13 C 9 5 D 25 41 解 f f 1 2 f 1 2 1 2 f 3 2 2 114 313 13 1 24 选 B 四 提高练习 8 题 1 已知函数 f x 2x 1 2 x g x 当x0时 1 当x 0时 求 f g x 和 g f x 之值 题 2 书本 P25 6 题 题 3 已知函数 f x 1 x2 3x 2 求 f x 之表达式 题 4 已知函数 f 4 x 8 2 求 f x2 之表达式 学习高手 P44 xx 思考题 题 5 二次函数 x ax2 bx a b 为常数且 a 0 满足 x 5 x 3 且方程 x x 有 等根 求 x 的解析式 是否存在实数 m n m 1 3 1 2 例题 2 将进货单价为 80 元的商品 400 个 按 90 元一个售出时全部卖出 已知这种商品每个涨价 1 元 其销售个数就减少 20 个 为了获得最大利润 售价应定为每个多少元 x123 f x131 x123 g x321 9 练习题 1 下面可能表示函数的图象的是 1 07 广东 客车从甲地以 60km h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地 在乙地停留了半小时 然后以 80km h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过乙地 最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中 正确的是 A B C D B 典例剖析与课堂讲授过程 典例剖析与课堂讲授过程 例题 1 2000 年全国高考题 某种蔬菜基地种植西红柿 由历年市场行情得知 从 2 月 1 日起的 300 天内 西红柿市场售价 p 与上市时间 t 的关系图是一条折线 如图 1 种植成本 Q 与上市时间 t 的关系是一条抛物 线 如图 2 写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式 p f t 写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式 Q g t 认定市场售价减去种植成本为纯收益 问何时上市的西红柿纯收益最大 p Q 300 300 250 200 200 150 100 100 50 O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t 图 1 图 2 解 1 f t 300200 3002 200 0 300 tt tt 2 g t 3000 100 150 200 1 2 tt 3 纯收益 h t f t g t 300200 100 350 200 1 200 0 100 50 200 1 2 2 tt tt 当 t 50 时 h t 的最大值为 100 即从 2 月 1 日开始的第 50 天西红柿的纯收益最大 10 题 2 如右图 已知底角 45 为的等腰梯形 ABCD 底边 BC 长为 7 腰长为22 当一条垂直于 底边 BC 垂足为 E 的直线l从左至右移动 与梯形 ABCD 有公共点 时 直线l把梯形分成两部分 令 BE x 试写出图中阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式 解 7 5 10 7 2 1 5 2 22 2 0 2 1 2 2 xx xx xx y 题 3 有一种密英文的明文 真实文 按字母分解 其中英文的 a b c z 的 26 个字母 不分大小写 依次对 应 1 2 3 26 这 26 个自然数 见如下表格 abcdefghijklm 12345678910111213 nopqrstuvwxyz 14151617181920212223242526 给出如下一个的变换公式 x x N 1 x 26 x 不能被 2 整除 x 1 2 13 x N 1 x 26 x 能被 2 整除 将明文转换成密文 如 8 13 17 即 h 变成 q 5 3 x 2 8 2 5 1 2 即 e 变成 c 按上述规定 将明文 good 译成的密文是什么 按上述规定 若将某明文译成的密文是 shxc 那么原来的明文是什么 解 g 7 4 d o 15 8 h d o 则明文 good 的密文为 dhho 7 1 2 15 1 2 逆变换公式为 x 2x 1 x N 1 x 13 2x 26 x N 14 x 26 则有 s 19 2 19 26 12 l h 8 2 8 1 15 o x 24 2 24 26 22 v c 3 2 3 1 5 e 故密文 shxc 的明文为 love 四 今日作业 四 今日作业 1 某航空公司规定 乘机所携带行李的重量 kg 与其运费 元 由如图的一次函数图像确定 那 么乘客免费可携带行李的最大重量为 19 kg 11 2 某校校长暑假将带领该校市级 三好生 去北京旅游 甲旅行社说 如果校长买全票一张 则其余学 生可享受半价优待 乙旅行社说 包括校长在内 全部按全票价的 6 折 即按全票价的 60 收费 优惠 若 全票价为 240 元 I 设学生数为 x 甲旅行社收费为y甲 乙旅行社收费为y乙 分别计算两家旅行社的收 费 建立表达式 II 当学生数是多少时 两家旅行社的收费一样 III 就学生数 x 讨论哪家旅行社更优 惠 解 I y甲 120 x 240 y乙 240 60 x 1 144x 144 II 根据题意 得 120 x 240 144x 144 解得 x 4 答 当学生人数为 4 人时 两家旅行社的收费一样多 III 当y甲 y乙 120 x 240 144x 144 解得 x 4 当y甲 y乙 120 x 2404 答 当学生人数少于 4 人时 乙旅行社更优惠 当学生人数多于 4 人时 甲旅行社更优惠 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义六 讲义六 函数的值域和映射概念函数的值域和映射概念 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007 手机号码基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 函数的概念 函数的定义域 值域 注意充分利用函数的图象 培养基本的数形结合的思想方法 例题 1 设 x 1 的定义域为 2 3 则 1 x 2 的定义域为 x x 或 x 1 3 1 2 求下列函数的定义域 用区间表示 f x 2 3 2 x x f x 29x f x 1 x x x 2 教学 函数值域的求法 教学 函数值域的求法 1 常见函数的值域 一次函数 y kx b k 0 的值域 二次函数 y ax2 bx c a 0 的值 域 反比例函数 y k 0 的值域 k x 例 2 求值域 用区间表示 y x 2 2x 4 f x y 3 5 x f x 3 2 x x x2 3x 2 小结求值域的方法 观察法 配方法 拆分法 基本函数法 巩固练习 巩固练习 1 求下列函数的值域 求下列函数的值域 y 4 配方及图象法 y x 的值域 换元法答案 y 1 y 3 2x x21 2x 分离常数法 y 判别式法或均值不等式法 1 x 2x 5 3x x2 4 2 求函数 y x 2 4x 1 x 1 3 在值域 解 数形结合法 画出二次函数图像 找出区间 观察值域 注意描成阴影部分 12 3 已知函数 f x 的定义域是 0 1 则函数 f x a 的定义域是 4 课堂作业 书 P24 1 2 3 题 综合提高部分 综合提高部分 例题 1 设函数 x x2 2x 2 x t t 1 的最小值为 g t 写出 g t 的表达式 解 注意利用图形去处理问题 培养一种数形结合的思想方法 题 2 设函数 x 表示 2x 2 与 2x2 4x 2 中的最小值 则 x 的最大值为 B A 1 B 2 C 3 D 0 典例剖析与课堂讲授 典例剖析与课堂讲授 例题 3 二次函数 x ax2 bx a b 为常数且 a 0 满足 x 5 x 3 且方程 x x 有等根 求 x 的解析式 是否存在实数 m n m n 使 x 定义域为 m n 值域为 3m 3n 若存在 求 出 m n 之值 若不存在 说明理由 解 x x2 x 由于 x 的值域是 x 则 3n 即 n 所以有 m 3m 且 n 1 2 1 2 1 2 1 6 3n 存在实数 m 4 n 0 使 x 定义域为 4 0 值域为 12 0 注意 若函数满足有 a x b x 则此函数必有对称轴 x a b 2 教学映射概念 教学映射概念 先看几个例子 两个集合 A B 的元素之间的一些对应关系 并用图示意 1 4 9 A 3 2 1 1 2 3 B 对应法则 开平方 3 2 1 1 2 3 A 1 4 9 B 对应法则 平方 30 45 60 A 23 1 1 222 B 对应法则 求正弦 定义映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任 意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 fAB 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射 mapping 记作 fAB 关键 A 中任意 B 中唯一 对应法则 f 口诀口诀 看原象 要求每元必有象 且象唯一 对应方式对应方式 一对一 多对一 不允许一对多 2 教学例题 教学例题 出示书本例题 7 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则 哪些是映射 哪些是一一映射 A P P 是数轴上的点 B R A 三角形 B 圆 A P P 是平面直角体系中的点 Bx yxR yR A 高一某班学生 B 练习 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 A 1 2 3 4 B 3 4 5 6 7 8 9 对应法则 21fxx 0 1 ANB 对应法则 2fxx 除以得的余数 AN 0 1 2 B 3fxx 被除所得的余数 设 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 XY fxx 取倒数 13 2 Ax xxNBN fxx 小于的最大质数 三 巩固练习 三 巩固练习 1 练习 书 P23 2 3 4 题 2 课堂作业 书 P28 10 题 课堂回顾与小结 课堂回顾与小结 1 函数的定义域 值域的求解 特别是图形结合的应用 2 映射的概念及注意之处 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义七 讲义七 函数图象的基本变换函数图象的基本变换 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码一 一 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 1 常见函数的图象 常见函数的图象 一次函数 y kx b k 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 反比例函数 y k 0 k x 2 基本的图象变换 基本的图象变换 特别要求注意函数 y f x 和函数 y f x 的图象的作图方法 平移变化 y x 左移 m y x 右移 m y x 上移 h y x 下移 h 对称变化 y x 的图象为 y x 的图象为 y x 的图象为 y x 的图象为 y x 的图象为 3 3 几个常用结论 几个常用结论 若函数 y x 满足 x a b x 恒成立 则函数 y x 的对称轴为直线 x 若两个函数 y a x 与函数 y b x 则它们的图象关于直线 x 对称 a b 2 b a 2 二二 典例剖析和教学过程 典例剖析和教学过程 例题 1 P21 例题 5 画出函数 y x 的图象 练习题 1 书本第 P23 练习题 3 题 画出函数 y x 2 的图象 题 2 画出函数 y x2 2x 3 的图象 3 函数 y x x 3 x 4 的图象是由函数 y x 1 x 经过怎样的变换而得到的 三 三 关于分段函数的图象问题 关于分段函数的图象问题 书本例题 第 P21 题 1 招手即停的应用问题 练习题 题 1 给出两个命题 甲 不等式 x x 2 m 有解 乙 方程 4x2 4 m 2 x 1 0 无实根 若甲真乙假 则 m 的取值范围为 解 甲真 则不等式 x x 2 2 乙假 则方程 4x2 4 m 2 x 1 0 有实根 即 m 2 2 4 4 1 0 m 1 或 m 3 m m 3 为所求 题 2 不等式 x x 2c 1 的解集为 c 0 则 c 的取值范围为 解 c c 1 2 四 四 函数图象的应用 函数图象的应用 题 1 已知函数 x x2 2 2a 1 x a2 a R 当 x 0 1 时 求出函数 x 的最小值 g a a2 a 1 2 14 解 g a 3a2 3a 1 a 0 1 2 a2 4a 1 a 0 题 2 对Rba 记 bab baa ba max 函数 Rxxxxf 2 1max的最小值是 解析 由 2 1 2121 22 xxxxx 故 2 1 2 2 1 1 xx xx xf 其图象如右 则 2 3 1 2 1 2 1 min fxf 五 五 利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题 利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题 书本第 P29 例题 1 六 六 今日作业 今日作业 画出下列函数的图象 学习高手 第 P62 的例题 4 七 七 课堂回顾与小结 课堂回顾与小结 注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题 上下平移 左右平移之规律 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义八 讲义八 函数的的基本性质函数的的基本性质 单调性和最值单调性和最值 1 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码一 一 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 1 教学要求 教学要求 理解增函数 减函数 单调区间 单调性等概念 掌握增 减 函数的证明和判别 学会运用 函数图象理解和研究函数的性质 2 教学重点 掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别 3 教学难点 理解概念 二 教学过程与典例剖析 复习准备 复习准备 1 引言 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 那么能否发现变化中保持不变的特征呢 2 观察下列各个函数的图象 并探讨下列变化规律 随 x 的增大 y 的值有什么变化 能否看出函数的最大 最小值 函数图象是否具有某种对称性 题 3 画出函数 f x x 2 f x x 2 的图像 小结描点法的步骤 列表 描点 连线 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学增函数 减函数 单调性 单调区间等概念 教学增函数 减函数 单调性 单调区间等概念 根据 f x 3x 2 f x x 2 x 0 的图象进行讨论 随 x 的增大 函数值怎样变化 当 x1 x2时 f x1 与 f x2 的大小关系怎样 一次函数 二次函数和反比例函数 在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质 定义增函数 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 1 xy 2 xy 15 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 increasing function 探讨 仿照增函数的定义说出减函数的定义 区间局部性 取值任意性 定义 如果函数 f x 在某个区间 D 上是增函数或减函数 就说 f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区 间 D 叫 f x 的单调区间 讨论 图像如何表示单调增 单调减 所有函数是不是都具有单调性 单调性与单调区间有什么关系 y x 2的单调区间怎样 练习 口答 如图 定义在 4 4 上的 f x 根据图像说出单调区间及单调性 2 教学增函数 减函数的证明 教学增函数 减函数的证明 出示 例例 1 指出函数 指出函数 f x 3x 2 g x x 1 的单调区间及单调性 并给出证明 的单调区间及单调性 并给出证明 由图像指出单调性 示例 f x 3x 2 的证明格式 练习完成 出示例 2 物理学中的玻意耳定律 k p V k 为正常数 告诉我们对于一定量的气体 当其体积 V 增大时 压强 p 如何变化 试用单调性定义证明 学生口答 演练证明 小结 比较函数值的大小问题 运用比较法而变成判别代数式的符号 判断单调性的步骤 设 x1 x2 给定区间 且 x1 x2 计算 f x1 f x2 至最简 判断差的符号 下结 论 三 巩固练习 三 巩固练习 1 求证 f x x x 1 的 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 2 判断 f x x y x 3的单调性并证明 3 讨论 f x x 2 2x 的单调性 推广 二次函数的单调性 4 课堂作业 书 P43 1 2 3 题 四 本堂课之备选例题和习题 四 本堂课之备选例题和习题 例题 1 证明函数 y x3 b b 为常数 是 R 上的增函数 见教案 P40 面题 1 例题 2 定义 1 1 上的函数 f x 是 且满足 f 1 a f a 求实数 a 的取值范围 解 0 a0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 1 证明 f 0 1 2 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 证明 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 解 抽象函数的单调性的证明 注意利用 f x2 f x2 x1 x1 或令 f x2 f x1 t 其中 t 0 去灵活变形 注意转化为函数的单调性去处理不等式 x 0 3 今日作业 题 1 已知函数 y x2 2x 5 y x2 4x 3 1 分别写出它们的单调区间 2 分别求出它们在 0 5 上的值域 题 2 设 x 1 的定义域为 2 3 则 1 x 2 的定义域为 x x 或 x 1 3 1 2 例题 3 将进货单价为 80 元的商品 400 个 按 90 元一个售出时全部卖出 已知这种商品每个涨价 1 元 其销售个数就减少 20 个 为了获得最大利润 售价应定为每个多少元 17 题 4 如右图 已知底角 45 为的等腰梯形 ABCD 底边 BC 长为 7 腰长为22 当一条垂直于 底边 BC 垂足为 E 的直线l从左至右移动 与梯形 ABCD 有公共点 时 直线l把梯形分成两部分 令 BE x 试写出图中阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式 解 7 5 10 7 2 1 5 2 22 2 0 2 1 2 2 xx xx xx y 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义九 讲义九 函数的基本性质函数的基本性质 单调性和最值单调性和最值 2 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码一 一 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 教学要求 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法 判别方法 理解函数的最大 小 值及其几何意义 教学重点 熟练求函数的最大 小 值 教学难点 理解函数的最大 小 值 能利用单调性求函数的最大 小 值 教学过程 一 复习准备 一 复习准备 1 指出函数 f x ax 2 bx c a 0 的单调区间及单调性 并进行证明 2 f x ax 2 bx c 的最小值的情况是怎样的 3 知识回顾 增函数 减函数的定义 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学函数最大 小 值的概念 教学函数最大 小 值的概念 指出下列函数图象的最高点或最低点 能体现函数值有什么特征 23f xx 23f xx 1 2 x 2 21f xxx 2 21f xxx 2 2 x 定义最大值 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 对于任意的 x I 都有 f x M 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大值 Maximum Value 探讨 仿照最大值定义 给出最小值 Minimum Value 的定义 一些什么方法可以求最大 小 值 配方法 图象法 单调法 试举例说明方法 2 教学例题 教学例题 出示 例题 1 一枚炮弹发射 炮弹距地面高度 h 米 与时间 t 秒 的变化规律是 2 1305htt 那么什么时 刻距离达到最高 射高是多少 学生讨论方法 师生共练 配方 分析结果 探究 经过多少秒落地 练习 一段竹篱笆长 20 米 围成一面靠墙的矩形菜地 如何设计使菜地面积最大 引导 审题 设变量 建立函数模型 研究函数最大值 小结 数学建模 出示 例例 2 求函数 求函数 3 2 y x 在区间在区间 3 6 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 分析 函数 3 3 6 2 yx x 的图象 方法 单调性求最大值和最小值 板演 小结步骤 先按定义证明单调性 再应用单调性得到最大 小 值 变式练习 3 3 6 2 x yx x 18 探究 3 2 y x 的图象与 3 y x 的关系 练习 求函数求函数21yxx 的最小值的最小值 解法一 单调法 解法二 换元法 3 看书 P34 例题 口答 P36 练习 小结 最大 小 值定义 三种求法 三 巩固练习 三 巩固练习 1 求下列函数的最大值和最小值 1 2 5 3 32 2 2 yxxx 2 1 2 yxx 2 一个星级旅馆有 150 个标准房 经过一段时间的经营 经理得到一些定价和 住房率的数据如右 欲使每天的的营业额最高 应如何定价 分析变化规律 建立函数模型 求解最大值 3 课堂作业 书 P43 A 组 5 题 B 组 1 2 题 四 备选用思考题 四 备选用思考题 题 1 二次函数 x ax2 bx a b 为常数且 a 0 满足 x 5 x 3 且方程 x x 有等根 求 x 的解析式 是否存在实数 m n m n 使 x 定义域为 m n 值域为 3m 3n 若存在 求出 m n 之值 若不存在 说明理由 解 x x2 x 由于 x 的值域是 x 则 3n 即 n 所以有 m 3m 且 n 3n 1 2 1 2 1 2 1 6 存在实数 m 4 n 0 使 x 定义域为 4 0 值域为 12 0 例 2 某产品单价是 某产品单价是 120 元 可销售元 可销售 80 万件 市场调查后发现规律为降价万件 市场调查后发现规律为降价 x 元后元后 可多销售可多销售 2x 万件 写出销售金额万件 写出销售金额 y 万元万元 与与 x 的函数关系式 并求当降价多少个的函数关系式 并求当降价多少个 元时 销售金额最大 最大是多少元时 销售金额最大 最大是多少 分析 此题的数量关系是怎样的 函数呢 如何求函数的最大值 小结 利用函数的单调性 主要是二次函数 解决有关最大值和最大值问题 题题 3 求函数 y x 21x 的值域 判断函数 y 1 2 x x 单调区间并证明 定义法 图象法 推广 bax dcx 的单调性 讨论 y 2 1x 在 1 1 上的单调性 思路 先计算差 再讨论符号情况 例题 4 某村计划建造一个室内面积为 800m2的矩形蔬菜温室 在温室内 沿左 右两侧与后侧内墙 各保留 1m 宽的通道 沿前侧内墙保留 3m 宽的空地 当矩形温室的边长各为多少时 蔬菜的种植面积 最大 最大种植面积是多少 例题 5 06 重庆 T21 12 分 已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x x2 x f x x2 x 若 f 2 3 求 f 1 又若 f 0 a 求 f a 设有且仅有一个实数 x0 使得 f x0 x0 求函数 f x 的解析表达 式 解 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 所以 f f 2 22 2 f 2 22 2 又由 f 2 3 得 f 3 22 2 3 22 2 即 f 1 1 若 f 0 a 则 f a 02 0 a 02 0 即 f a a 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 又因为有且只有一个实数 x0 使得 f x0 x0 所以对任意 x R 有 f x x2 x x0 在上式中令 x x0 有 f x0 x 2 0 x0 x0 又因为 f x0 x0 所以 x0 x 2 0 0 故 x0 0 或 x0 1 若 x0 0 则 f x x2 x 0 即 f x x2 x 但方程 x2 x x 有两上不同实根 与题设条件矛质 故 x2 0 若 x2 1 则有 f x x2 x 1 即 f x x2 x 1 易验证该函数满足题设条件 综上 所求函数为 f x x2 x 1 x R 房价 元 住房率 16055 14065 12075 10085 19 湖南省省级示范性高中湖南省省级示范性高中 洞口三中高一数学第一学期授课讲义洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义十 讲义十 函数的基本性质函数的基本性质 奇偶性奇偶性 撰稿 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码一 一 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 教学要求 理解奇函数 偶函数的概念及几何意义 能熟练判别函数的奇偶性 教学重点 熟练判别函数的奇偶性 教学难点 理解奇偶性 教学过程 一 复习准备 一 复习准备 1 提问 什么叫增函数 减函数 2 指出 f x 2x 2 1 的单调区间及单调性 变题 2x2 1 的单调区间 3 对于 f x x f x x 2 f x x3 f x x4 分别比较 f x 与 f x 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学奇函数 偶函数的概念 教学奇函数 偶函数的概念 给出两组图象 f xx 1 f x x 3 f xx 2 f xx f xx 发现各组图象的共同特征 探究函数解析式在函数值方面的特征 定义偶函数 一般地 对于函数 f x定义域内的任意一个x 都有 fxf x 那么函数 f x叫偶函 数 even function 探究 仿照偶函数的定义给出奇函数 odd function 的定义 如果对于函数定义域内的任意一个 x 都有 fxf x 那么函数 f x叫奇函数 讨论 定义域特点 与单调性定义的区别 图象特点 定义域关于原点对称 整体性 练习 已知 f x 是偶函数 它在 y 轴左边的图像如图所示 画出它右边的图像 2 教学奇偶性判别 教学奇偶性判别 例例 1 判别下列函数的奇偶性 判别下列函数的奇偶性 f x 34 x f x 43 x f x 4x 6 5x2 f x 3 x 3 1 x f x 2x 4 3 判别下列函数的奇偶性 判别下列函数的奇偶性 f x x 1 x 1 f x 2 3 x f x x x 1 f x 2 1x x f x x 2 x 2 3 小结奇偶性判别方法 先考察定义域是否关于原点对称 再用比较法 计算和差 比商法判别 f x 与 f x 的关系 思考 f x 0 的奇偶性 3 教学奇偶性与单调性综合的问题 教学奇偶性与单调性综合的问题 例 3 已知 已知 f x 是奇函数 且在是奇函数 且在 0 上是减函数 问上是减函数 问 f x 的的 0 上的单调性上的单调性 找一例子说明判别结果 特例法 按定义求单调性 注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性 小结 设 转化 单调应用 奇偶应用 结论 变题 已知已知 f x 是偶函数 且在是偶函数 且在 a b 上是减函数 试判断上是减函数 试判断 f x 在在 b a 上的单调性 并给出证明 上的单调性 并给出证明 三 巩固练习 三 巩固练习 1 设 f x ax 7 bx 5 已知 f 7 17 求 f 7 的值 答案为 27 2 已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 且 f x g x 1 1 x 求 f x g x 3 已知函数 f x 对任意实数 x y 都有 f x y f x f y 试判别 f x 的奇偶性 特值代入 4 已知 f x 是奇函数 且在 3 7 是增函数且最大值为 4 那么 f x 在 7 3 上是 函数 且最 值是 四 巩固提高练习 四 巩固提高练习 题题 1 已知函数 21 yfx 是偶函数 则一定是函数 2 yfx 图象的对称轴的直线是 C 20 A 1 2 x B 0 x C 1 2 x D 1x 函数 y f x 与 y g x 的图象如所示 则函数 y f x g x 的图象可能为 D 题 2 设定义于 2 2 上的偶函数在区间 0 2 上 单调递增 若 1 m m 求实数 m 的取值范围 解 m 2 1 2 题 3 设函数 x 是 R 上的偶函数 且当 x 0 时 x sinx x2 求出函数 x 的表达式 已知 x 是 R 上的奇函数 且当 x 0 时 有 x 2x cosx 求出函数 x 的表达式 题 4 已知函数 x 的定义域为 R 且满足 x 2 x 求证 x 是周期函数 设 x 为奇函数 且 0 x 1 时 x x 求 x 的所有 x 之 1 2 1 2 值 解 解 周期为 4 在一个周期上的根为 x 1 则所有的根为 x 4n 1 n z 题 5