四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)

第 1 页 共 9 页 F E D C B A P Q A B C R P Q A B C R P B A D C 平面几何中的四个重要定理平面几何中的四个重要定理 梅涅劳斯梅涅劳斯 Menelaus 定理 梅氏线 定理 梅氏线 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上有点 P Q R 则 P Q R 共线的充要 条件是 1 RB AR QA CQ PC BP 塞瓦塞瓦 Ceva 定理 塞瓦点 定理 塞瓦点 ABC 的三边 BC CA AB 上有点 P Q R 则 AP BQ CR 共点的充要条件 是 1 RB AR QA CQ PC BP 托勒密托勒密 Ptolemy 定理定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 西姆松西姆松 Simson 定理 西姆松线 定理 西姆松线 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆 上 第 2 页 共 9 页 A B C D E F MN L 例题 例题 1 设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线 直线 CF 交 AD 于 F 求证 FB AF2 ED AE 分析 CEF 截 ABD 梅氏定理 1 FA BF CB DC ED AE 评注 也可以添加辅助线证明 过 A B D 之一作 CF 的平 行线 2 过 ABC 的重心 G 的直线分别交 AB AC 于 E F 交 CB 于 D 求证 1 FA CF EA BE 分析 连结并延长 AG 交 BC 于 M 则 M 为 BC 的中点 DEG 截 ABM 梅氏定理 1 DB MD GM AG EA BE DGF 截 ACM 梅氏定理 1 DC MD GM AG FA CF 1 FA CF EA BE MDAG DCDB GM MDGM2 MD2GM 评注 梅氏定理 3 D E F 分别在 ABC 的 BC CA AB 边上 AD BE CF 交成 LMN 求 S LMN EA CE FB AF DC BD 分析 评注 梅氏定理 A BC F D E A BCD G F E CB A A BCDM G F E 第 3 页 共 9 页 4 以 ABC 各边为底边向外作相似的等腰 BCE CAF ABG 求证 AE BF CG 相交于一点 分析 评注 塞瓦定理 5 已知 ABC 中 B 2 C 求证 AC2 AB2 AB BC 分析 过 A 作 BC 的平行线交 ABC 的外接圆于 D 连结 BD 则 CD DA AB AC BD 由托勒密定理 AC BD AD BC CD AB 评注 托勒密定理 6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 求证 第 21 届全苏数学竞赛 413121 AA 1 AA 1 AA 1 分析 评注 托勒密定理 1 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P 作 PE AB 于 E 延长 ED 交 AC 延长线于 F 求证 BC EF BF CE BE CF 分析 A B C D P E F BC A D A B C G F E A B C G F E M N L A1 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A7 A6 A5 A4 A3 A2 第 4 页 共 9 页 评注 西姆松定理 西姆松线 2 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC CE 分别被内分点 M N 分成的比为 AM AC CN CE k 且 B M N 共线 求 k 23 IMO 5 分析 评注 面积法 3 O 为 ABC 内一点 分别以 da db dc表示 O 到 BC CA AB 的距离 以 Ra Rb Rc表示 O 到 A B C 的距离 求证 1 a Ra b db c dc 2 a Ra c db b dc 3 Ra Rb Rc 2 da db dc 分析 评注 面积法 4 ABC 中 H G O 分别为垂心 重心 外心 求证 H G O 三点共线 且 HG 2GO 欧拉线 分析 D E F A B C N M O D E F A B C M N O C B A D F E O C B A D F E K L O B A C D H G 第 5 页 共 9 页 评注 同一法 5 ABC 中 AB AC AD BC 于 D BM BN 三等分 ABC 与 AD 相交于 M N 延长 CM 交 AB 于 E 求证 MB NE 分析 评注 对称变换 6 G 是 ABC 的重心 以 AG 为弦作圆切 BG 于 G 延长 CG 交圆于 D 求证 AG2 GC GD 分析 评注 平移变换 7 C 是直径 AB 2 的 O 上一点 P 在 ABC 内 若 PA PB PC 的最小值是 求7 O C AB H G BCD M N A E CB A G D 8 6 7 4 5 3 2 1 BCD M N A E CB A G G D 第 6 页 共 9 页 此时 ABC 的面积 S 分析 评注 旋转变换 费马点 已知 O 是 ABC 内一点 AOB BOC COA 120 P 是 ABC 内任 一点 求证 PA PB PC OA OB OC O 为费马点 分析 将 CC OO PP 连结 60 B R 0 60 B R 0 60 B R 0 OO PP 则 B OO B PP 都是正三角形 OO OB PP PB 显然 BO C BOC BP C BPC 由于 BO C BOC 120 180 BO O A O O C 四点共线 AP PP P C AC AO OO O C 即 PA PB PC OA OB OC 14 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别交于 E F G H 在弧 EF 和弧 GH 上分别 作 O 的切线交 AB BC CD DA 分别于 M N P Q 求证 MQ NP P BA C B D O A C M N P Q P BA C B P A B C C O P P O A B C O P 第 7 页 共 9 页 分析 由 AB CD 知 要证 MQ NP 只需证 AMQ CPN 结合 A C 知 只需证 AMQ CPN AM CN AQ CP CN CP AQ AM 连结 AC BD 其交点为内切圆心 O 设 MN 与 O 切于 K 连结 OE OM OK ON OF 记 ABO MOK KON 则 EOM FON EOF 2 2 180 2 BON 90 NOF COF 90 CNO NBO NOB AOE MOE AOM 又 OCN MAO OCN MAO 于是 CN AO CO AM AM CN AO CO 同理 AQ CP AO CO 评注 15 O1和 O2与 ABC 的三边所在直线都相切 E F G H 为切点 EG FH 的 延长线交于 P 求证 PA BC 分析 评注 A B D C E F G E O1 G C O2 A F H P B 4 3 21 E O1 G C O2 A F H P BD D B O A C E L FG H Q P N M 第 8 页 共 9 页 D B O C A F G H E M ND B O C A F G H E M N E H 16 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC 平分 BAD 在 CD 上取一点 E BE 与 AC 相交于 F 延长 DF 交 BC 于 G 求证 GAC EAC 证明 连结 BD 交 AC 于 H 对 BCD 用塞瓦定理 可得1 EC DE HD BH GB CG 因为 AH 是 BAD 的角平分线 由角平分线定理 可得 故 AD AB HD BH 1 EC DE AD AB GB CG 过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I 过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J 则 CJ AD EC DE AB CI GB CG 所以 从而 CI CJ 1 CJ AD AD AB AB CI 又因为 CI AB CJ AD 故 ACI BAC DAC ACJ 因此 ACI ACJ 从而 IAC JAC 即 GAC EAC 17 已知 AB AD BC DC AC 与 BD 交于 O 过 O 的任意两条直线 EF 和 GH 与四边形 ABCD 的四边交于 E F G H 连结 GF EH 分别交 BD 于 M N 求证 OM ON 5 届 CMO 证明证明 作 EOH E OH AC S 则只需证 E M H 共线 即 E H BO GF 三线共点 记 BOG GOE 连结 E F 交 BO 于 K 只需证 1 Ceva KE FK F H BH GB G E 逆定理 1 KE FK F H BH GB G E OKE OFK F OH OBH OGB G OE S S S S S S OE OF sinOF sinOB sinOB sin OE 注注 筝形筝形 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形 D B A C H E J F G I 第 9 页 共 9 页 对应于 99 联赛 2 E OB FOB 且 E H GF BO 三线共 点 求证 GOB H OB 事实上 上述条件是充要条件 且 M 在 OB 延长线上时结论 仍然成立 证明方法为 同一法 蝴蝶定理蝴蝶定理 P 是 O 的弦 AB 的中点 过 P 点引 O 的两弦 CD EF 连结 DE 交 AB 于 M 连结 CF 交 AB 于 N 求证 MP NP 分析 设 GH 为过 P 的直径 FF F 显然 O 又 GH S P GH PF PF PFPF PAPB FPN F PM PF PF GH S GH S 又 FF GH AN GH FF AB F PM MDF FPN EDF EFF EDF 180 P