高三数学高考复习：关注高考中排列组合的五类问题

关注高考中排列组合的五类问题关注高考中排列组合的五类问题 排列 组合是高中数学的重要内容 是进一步学习后继内容和高等数学的基础知识 之一 也是高考数学命题的必考内容 本文对近年来的相关高考试题加以总结 介绍五类 典型考题及其解法 一 相邻 不相邻 相间问题 解决方法 1 相邻问题 捆绑法 2 不相邻问题 插入法 3 相间问题 位置分析法 问题双方元素的个数相等或相差 1 例 1 2005 年辽宁卷 用 1 2 3 4 5 6 7 8 组成没有重复数字的八位数 要求 1 与 2 相邻 3 与 4 相邻 5 与 6 相邻 而 7 与 8 不相邻 这样的八位数共有 个 用 数字作答 解析 组成这样的八位数可以分成三步 第一步是把 1 与 2 3 与 4 5 与 6 看作三个整体 排成一列 共有种排法 第二步是把 7 与 8 插入第一步中的三个整体之间 共有种 3 3 A 2 4 A 排法 第三步是第一步当中的 1 与 2 3 与 4 5 与 6 之间的位置可以交换 共有 种排法 所以组成这样的八位数共有个 即填 576 222 222 A A AAA 32222 34222 A A A A A576 AAAA 注 捆绑法一般都要对受绑元素松绑 二 特殊元素顺序问题 解决方法 定位法 等机率法 例 2 2005 年北京卷 五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目 每个工程队承 建 1 项 其中甲工程队不能承建 1 号子项目 则不同的承建方案共有 A 种 B 种 14 44 C CA 14 44 C AA C 种 D 种 4 4 C 4 4 A 解析 承建方案分为两步 第一步是由于甲工程队不能承建 1 号子项目 那么就从剩下的 四个不同的子项目中挑选一个让甲工程队承建 有种方案 第二步是其他四个工程队承 1 4 C 建四个不同的子项目 共有种方案 所以不同的承建方案共有种方案 4 4 A 14 44 C AA 三 互斥问题 解决方法 分类法 例 3 2005 年浙江理科卷 从集合 P Q R S 与 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中各任取 2 个元素排成一排 字母和数字均不能重复 每排中字母 Q 和数字 0 至多只 出现一个的不同排法种数是 用数字作答 解析 把排法分成三类 当无字母 Q 和数字 0 时 有排法种 224 394 C C AAA 当无字母 Q 但有数字 0 时 有排法种 214 394 C C AAA 当无数字 0 但有字母 Q 其中之一时 有排法种 1124 2394 C C C AAAA 综上 符合题意的不同排法种数是 2242141124 3943942394 C C AC C AC C C A8424 AAAAAAA 四 不同元素的分组分配问题 解决方法 先分组再分配 例 4 2005 年北京卷 北京 财富 全球论坛期间 某高校有 14 名志愿者参加接待工 作 若每天排早 中 晚三班 每班 4 人 每人每天最多值一班 则开幕式当天不同的排 班种数为 A B 1244 14128 CCCAA 1244 14128 CAAAA C D 1244 14128 3 3 CCC A AA 12443 141283 CCC AAAA 解析 分配 14 名志愿者参加接待工作分两步完成 第一步先从 14 名志愿者中抽取 12 名志 愿者参加开幕式当天的接待工作 有种排班种数 再把 12 名志愿者排早 中 晚三班 12 14 C 有种 即有种排班种数 因此 开幕式当天不同的排班种数为 44 128 CC C AA 44 128 CCA 应选 A 注 还可写成 1244 14128 CCCAA 444 14106 CCCAA 五 相同元素分组分配问题 解决方法 档板法 例 5 1 参加联赛的 10 个名额要分配到高三年级的 8 个班级中 则每个班级至少一 个名额的分配方法有 种 2 10 个相同的小球全部放入编号为 1 2 3 的盒子中 则使每个盒子中球的个数 不小于盒子的编号数的方法有 种 解析 利用档板法 1 相当于在排成一排的 10 个 1 所形成的 9 个空隙中 选出 7 个插入 7 块档板的 方法 每一种插板方法对应一种名额分配方法 有种方法 7 9 C 2 可以首先在 2 3 号盒子中先分别放入 1 2 个球 然后在剩余的 7 个球排成一排 形成的 6 个空隙中选出 2 个空隙各插入一块板 有种方法 2 6 C 注 档板法的使用比较灵活 且对数学思想方法要求较高 现利用档板法证明一个不 定方程的自然数解的组数的结论 方程的自 12 2 m xxxn mnmn N 然数解有组 1 1 Cm n m 简证 转化为正整数解的组数 利用档板模型有 作代换 1 12 ii yxim 则方程自然数解的组