高二数学抛物线的几何性质人教版知识精讲

高二数学抛物线的几何性质人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 抛物线的几何性质 二 重点 难点 1 重点 抛物线的性质 焦半径 焦点弦的应用 数形结合 2 难点 注意抛物线与椭圆 双曲线的联系 典型例题典型例题 例 1 给定抛物线 设 A P 是抛物线上的一点 且 x2y2 0 a0a dPA 试求的最小值 d 解 解 设 则 P 00 y x0 x0 0 2 0 x2y PAd 2 0 2 0 y ax 1a2 a1 x x2 ax 2 00 2 0 0a 0 x0 1 当时 此时当时 1a0 0a1 0 x0 a1a2 a1 d 2 最小 2 当时 此时当时 1a 0a1 1 0 ax1a2d 最小 例 2 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线 设 交抛物线于 A B 两 0p px2y2 ll 点 求 AB 解 解 当时 直线 AB 的方程为 90 2 p x 由得 A B 2 2 2 p x pxy p p 22 p ppAB2 当时 直线 AB 的方程为 90 tan 2 p xy 由得 pxy p xy 2 tan 2 2 0tan 4 tan2 tan 2 2 222 p xppx 设 A B 则 11 y x 22 y x 2 2 21 tan tan2pp xx 22 2 21 sin 2 tan tan2 22 ppp p p x p xAB 例 3 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线 交抛物线于 M N 两点 问直线xy4 2 的倾斜角多大时 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点 解 解 抛物线的准线与对称轴的交点为 设直线 MN 的方程为xy4 2 0 1 1 xky 由 得 xy xky 4 1 2 0 2 2 2222 kxkxk 直线与抛物线交于 M N 两点 04 2 4 422 kk 即 2 22 kk1 2 k11 k 设 M N 抛物线焦点为 F 1 0 1 x 1 y 22 y x 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点 MF NF 即1 11 2 2 1 1 x y x y 01 212121 xxxxyy 又 且 同号 2 2 21 2 2 k k xx 1 21 xx1616 21 2 2 2 1 xxyy 1 y 2 y 解得 6 2 2 2 2 k k 2 1 2 k 2 2 k 即直线的倾斜角为或时 以线段 MN 为直径的圆经过抛物 2 2 arctan 2 2 arctan 线的焦点 例 4 过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线交于 A B 两点 求 0 2 2 ppxy 的值 BFAF 11 解 解 如图所示 设 A B AB 的方程为 11 y x 22 y x 2 p kyx 由得 2 2 2 p kyx pxy 02 22 ppkyy 2 21 pyy 又 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 21 22 2 2 1 4xxpyy 又 21 24 4xxpp 4 2 21 p xx 2 1 2 111 21 p x p x BFAF 4 244 2 2 2 2 21 2 21 2 2121 21 21 21 p xx pp pxx p xx p xx pxx p x p x pxx p xxp p pxx2 2 21 21 例 5 如图 已知直线 交抛物线于 A B 两点 试在抛物线 AOBl42 xyxy4 2 这段曲线上求一点 P 使的面积最大 并求这个最大面积 APB 解 解 由解得 A 4 4 B 1 知 所以直线 AB 的 xy xy 4 42 2 2 53 AB 方程为042 yx 设 P 为抛物线 AOB 这条曲线上一点 为 P 点到直线 AB 的距离 00 y xd 9 1 52 1 5 42 2 0 00 y yx d42 0 y 09 1 2 0 y 9 1 52 1 2 0 yd 从而当时 1 0 y 52 9 max d 因此 当点 P 坐标为时 1 4 1 4 27 52 9 53 2 1 max APB S 例 6 已知直线与曲线在第一象限有公共点 求的取值范 3 xky1 2 2 xyk 围 解 解 如图 易知抛物线与轴交于 A 0 1 B 0 3 y 直线恒过 C 由图象及抛物线的延伸趋势可知 3 xky0 3 当大于零且小于 BC 的斜率时满足题意k BC k 而 故 1 BC k10 k 例 7 设抛物线的焦点为 F 经过点 F 的直径交抛物线于 A B 两点 0 2 2 ppxy 点 C 在抛物线的准线上 且 BC 轴 证明 直线 AC 经过原点 O x 证法一 证法一 因为抛物线的焦点坐标为 F 0 2 2 ppxy 0 2 p 所以经过点 F 的直线 AB 的方程为 2 p myx 代入抛物线方程得0 22 2ppmyy 设 A B 则 11 y x 22 y x 2 21 pyy BC 轴 且点 C 在准线上 点 C 的坐标为x 2 p x 2 2 y p 故直线 OC 的斜率为 1 1 11 1 1 2 22 2 x y xy px y p p y k 即也是 OA 的斜率 所以直线 AC 经过原点 Ok 证法二 证法二 如图所示 设轴与抛物线准线 的交点为 E 过点 A 作 AD D 为垂足xll 则 连结 AC 与 EF 相交于 N 则BCEFAD DA EN BA BF CA CN 根据抛物线的几何性质 得 AB AF BC NF ADAF BCBF NF AB BCAF AB BFAD EN 点 N 是线段 EF 的中点 与抛物线的顶点 O 重合 直线 AC 经过点 O 证法三 证法三 设 A B 由已知 C 得 11 y x 22 y x 2 2 y p 直线 AC 的方程为 把原点的坐标代入 得 2 2 1 21 2 p x p x yy yy 利用得上面等式恒成立 2 1 21 2 p x yy y 2 p 2 21 pyy 直线 AC 经过点 O 证法四 证法四 设 A B 由已知得 C 11 y x 22 y x 2 2 y p 11 yxOA 2 2 y p OC 0 2 222 2 2 1211 12 2 1 121 p p py p p yyy y p y p y y p yx 又 O 是公共点 A O C 共线 即 AC 过点 O 例 8 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点 试求的范围 1 2 axy0 yxa 方法一 方法一 设抛物线上关于对称的相异两点坐标为 A 1 2 axy0 yx 00 y x B 00 x y 两点都在抛物线上 2 1 1 1 2 00 2 00 ayx axy 1 2 得 3 2 0 2 000 yxaxy 0 00 yx a ay x 1 0 0 3 代入 2 得01 0 2 0 2 aayya 且相异 Ry 0 0000 xyyx 0 1 4 22 aaa 的取值范围是 4 3 aa 4 3 方法二 方法二 设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为 代入0 yxbxy 得1 2 axy01 2 bxax 且两点为相异两点 Rx 0 1 41 ba 即 1 设两对称点为 A B 0144 aab 11 y x 22 y x 则 又 a xx 1 21 b a yy2 1 21 0 22 2121 yyxx 即 2 0 2 1 2 1 b aaa b 1 2 代入 1 得 的取值范围是 4 3 aa 4 3 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 O 为抛物线的顶点 0 2 2 ppxy OA OB 则的面积是 AOB A B C D 2 8p 2 4p 2 2p 2 p 2 已知点 在抛物线上 则的最小值是 yx xy4 2 3 2 1 22 yxz A 2 B 3 C 4 D 0 3 已知 A B 是抛物线上两点 O 为坐标原点 若且 0 2 2 ppxyOBOA 的垂心恰是此抛物线的焦点 F 则直线 AB 的方程是 AOB A B C D px px3 px 2 3 px 2 5 4 已知点 A 的焦点是 F P 是上的点 为使1 2 xy4 2 xy4 2 取得最小值 P 点的坐标是 PFPA A B C D 1 4 1 22 2 1 4 1 22 2 5 抛物线与直线的一个交点是 1 2 则抛物线的焦点到直pxy2 2 04 yax 线的距离为 A B C D 3 2 3 5 5 2 5 10 7 2 17 6 抛物线的焦点 F 点 P 在抛物线上 若 则 P 点的坐标为 xy8 2 5 PF A B C 或 D 62 3 62 3 62 3 62 3 62 3 7 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 A B 两点 如果xy4 2 11 y x 22 y x 那么 6 21 xx AB A 10 B 8 C 6 D 4 8 过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 2 axy 0 a FQ 的长分别是 则的值为 pq qp 11 A B C D a2 a2 1 a4 a 4 二 填空 1 过抛物线的焦点 倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 xy8 2 45 2 抛物线的焦点为 F 准线 交轴于点 R 过抛物线上一点 P 4 4 作xy4 2 lx PQ 于点 Q 则梯形 PQRF 的面积是 l 3 线段 AB 是抛物线的一条焦点弦 且 则线段 AB 的中点 C 到直线xy 2 4 AB 的距离是 0 2 1 x 4 抛物线顶点在原点 焦点在坐标轴上 抛物线上点 A 到焦点的距离为 5 则3 a 抛物线方程为 三 解答题 1 已知抛物线上有三点 A B C 且px2y2 11 y x 22 y x 33 y x 若线段 AB BC 在轴上射影之长相等 求证 A B C 三点到焦点的距 321 xxx x 离顺次成等差数列 2 过抛物线的顶点作互相垂直的两条直线 交抛物线于 A B 两点 求线段x6y2 AB 中点的轨迹方程 3 设抛物线的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 0p px2y2 C 在抛物线的准线上 且 BC 轴 证明 直线 AC 经过原点 O x 试题答案试题答案 一 1 B 2 B 3 D 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 二 1 16 2 14 3 4 或或 4 9 x2y2 x18y2 y8x 2 三 1 证明 根据题意 得 即 成等差数列 2312 xxxx 1 x 2 x 3 x 又由抛物线的定义得 2 p xAF 1 2 p xBF 2 2 p xCF 3 px2 2 p 2 p x2BF2 22 BF2px2pxxBFAF 231 成等差数列AFBFCF 2 解 设线段 AB 的中点为 P OA 的斜率为 则直线的方程为y xkOAkxy 由得或依题意得 A 点的坐标为 A x6y kxy 2 0y 0 x k 6 y k 6 x 2 2 k 6 k 6 OA OB OB 的斜率为 直线 OB 的方程为 k 1 x k 1 y 由得或 B 点的坐标为 x6y x k 1 y 2 0y 0 x k6y k6x 2 k6 k6 2 线段 AB 的中点 P 满足即y x k6 k 6 2 1 y k6 k 6 2 1 x 2 2 2 k k 1 3y 1 k k