高中数学：《函数关系建立》教学设计

用心 爱心 专心 必修必修 1 教材一道函数关系建立习题的复习课教学设计教材一道函数关系建立习题的复习课教学设计 及反思及反思 函数是中学数学的核心内容 函数关系的建立是函数的 灵魂 具有实际背景的函数关系的 建立是一个难点 如何破解这个难点是笔者历年高三复习中面临的一个无法回避的问题 在今 年的高三复习中 笔者试从必修 1 教材一道习题出发 通过该题的横向变式和纵向类比来突破 是否妥当 请各位专家和同行评品 1 具体的教学设计过程具体的教学设计过程 原问题原问题 普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第 126 页复 习参考题 B 组 2 如图 1 OAB 是边长为 2 的正三角形 设OAB 位于直线 0 ttx左侧的图形的面积为 tf 试求函数 tf的解析式 并画 出函数 tfy 的图象 本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题 在解题过程中 可 以训练学生观察 思考 分析图中的信息 由 形 的变化得出 数 的结 论 由 形 的分类得出 数 的分类 很自然地寓数形结合 分类讨论于 解题之中 使学生在不经意间经历了一次用联系的 变化的辩证观点 审视事物的过程 同时 通过对本题的横向变式和纵向类比探究 能进一 步培养学生的数形结合 分类讨论和类比思维能力 从而充分发挥习 题的教学功能 教学中笔者采用 由易入难 进一步深化 的策略 首先给出本题的 一种较简单情形 即 问题问题 1 如图 2 OAB 是边长为 2 的正三角形 设OAB 位于直 线 0 tty上方的图形的面积为 tf 试求函数 tf的解析式 并 画出函数 tfy 的图象 本题的解决是容易的 绝大多数学生都会用三角形相似来解决 但 也会有一部分学生因为弄错直线ty 上方的小三角形的高而出错 还 有一部分学生会错求成直线下方的四边形面积 对于这些错误教师可 简单点评一下 给出本题的目的是通过本题为引入原问题作准备 接下 去即可抛出问题 2 也就是原问题 问题 2 的解决一般不会有太大的挫 折 我们可将重点放在探究下面两个问题 问题问题 3 如图 3 OAB 是边长为 2 的正三角形 设OAB 位于直 线 0 3 3 ttxy左侧的图形的面积为 tf 试求函数 tf的解析 式 该问题与原问题在本质上没有太大的变化 因为直线 x y O B A 图 2 y t x y O B A 图 1 x t x y O B A 图 3 y x t 3 3 x y O B A 图 4 y x t 用心 爱心 专心 txy 3 3 与直线OB仍是垂直的 同理 如果将直线方程换成txy 3 3 也没有改变本 质 问题问题 4 如图 4 OAB 是边长为 2 的正三角形 设OAB 位于直线 0 ttxy左侧的图形的面积为 tf 试求函数 tf的解析式 本题的解决较前面的问题要难 因为所得三角形不是直角三角形了 如果有必要还可以考虑更一般的情况展开探究 前面的问题是在原问题的基础上进行横向变式而来的 纵方向上进 行升维类比会怎样呢 三角形是边数最少的平面封闭图形 边数最少的空 间封闭图形是四面体 类比后能得到如下一些问题 问题问题 5 如图 5 四面体ABCD是边长为 2 的正四面体 设点B到垂 直于底面BCD的截面OPQ 的距离为t 截面左侧的图形的体积为 tf 试求函数 tf的解析式 问题问题 6 如图 6 四面体ABCD是边长为 2 的正四面体 设点B到平 行于侧面ACD的截面OPQ 的距离为t 截面左侧的图形的体积为 tf 试求函数 tf的解析式 问题 5 和问题 6 可引导学生自己提出 这样不仅可以培养学生提出问题的能力 还能提高 学生类比能力 上述两问题不只是平面到空间的简单类比 而且在问题解决过程中会遇到不少 新问题 如面积计算到体积计算的转化 这些问题的解决又有利于学生解决问题的能力 根据学生的实际情况 还可以继续设计一些问题探究 如改变截面OPQ 的位置 2 设计反思设计反思 高三数学复习课是高三教学的重点 也是教学的难点 尤其是高三数学第一轮复习课如何 上一直是众多中学数学教师研究的课题 由于高三数学复习时间的紧促 不允许我们像讲解新 课一样开展第一轮复习教学 这就对复习课提出了更高的要求 既要让学生在课堂上获得基本 解题方法的熟练掌握 又要保证复习进度 通过本节课的教学设计 笔者认识到 1 教材中习题是教材编著者精心挑选或设计出来的 具有典型性 示范性和明确的针对 性 而且是学生十分熟悉的 对习题的变式能在学生 最近发展区 产生认知冲突 从而构建新的 知识体系 能使学生认识到教材才是 最好的参考书 从而脱离 题海 与 书海 之苦 并且也是符 合新课程理念和高考要求的 因为第一 标准倡导教师立足教材 强调教师不仅是教材的使用者 更应是教材的开发者和再设计者 要创造性的合理使用好教材 前苏联数学教育家奥加涅相指 出 必须重视 很多习题潜在着进一步扩展其数学功能 发展功能和教育功能的可能性 第 二 新世纪后高考命题的一个基本理念之一是 以课本为本 试题源于课本而高于课本 我们已看 到 在近几年高考中每年都有大量的试题是课本习题的变式题 因此 探究习题变式对提高数学 成绩是大有益处的 当然 更重要的是通过对习题的变式研究能揭示知识与方法的内在联系 即 不仅 广积粮 而且还能 深挖洞 2 复习课如何上好 确实是一个值得全体教师认真探讨的课题 尤其是新教师 从笔 者自己亲身的体会来看 新教师 特别是还没上过高三的新教师 想上好复习课远比新授课要 A B C D 图 5 O P Q A B C D 图 6 O P Q 用心 爱心 专心 难的多 一是书店有大量的经典的众多特级教师的教案可供参考 另一方面 复习书虽多 但基本 上是知识的重复和例题的简单罗例 如果想自己设计一个