高三数学（文科）主干知识三 立体几何 新人教A版

用心 爱心 专心 1 高三数学 文科 主干知识三 立体几何高三数学 文科 主干知识三 立体几何 考试要求考试要求 1 空间几何体 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识别上述的三视图所表示的立体模型 会用斜二侧法画出它们的直观图 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 2 点 直线 平面之间的位置关系 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解如下可以作为推理依据的公理和定 理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点在此平面 内 公理 2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互 补 以立体几何的上述定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行 垂直 的有关性质与判定 理解以下判定定理理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行 那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 理解以下性质定理 并能够证明理解以下性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 经过该直线的任一个平面与此平面相交 那么这条直 线就和交线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 复习关注 复习关注 立体几何试题着重考查空间点 线 面的位置关系的判断位置关系的判断及几何体的表面积与表面积与 体积体积的计算 关注关注画图 识图 用图的能力 关注关注对平行 垂直的探究 关注关注 对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究 强化训练强化训练 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题意要求的一项是符合题意要求的 1 如图 一个空间几何体的主视图 左视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如果直角 三角形的直角边长为 1 那么这个几何体的体积为 A 1B 1 2 C 1 3 D 1 6 用心 爱心 专心 2 2 如果一个几何体的三视图如图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 A 2 204 2 cm B 2 21cmC 2 244 2 cm D 2 24cm 3 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2 且侧棱 1111 AAABC 面 正视图是边长 为 2 的正方形 该三棱柱的左视图面积为 A 4 B 32 C 22 D 3 4 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个直 径为 1 的圆 那么这个几何体的全面积为 A 3 2 B 2 C 3 D 4 5 已知一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的表面积是 A 4 a2 B 3 a2 C 5 a2 D 3 a2 22 6 下图表示一个几何体的三视图及相应数据 则该几何体的体积 A 3 4 8 B 3 4 4 C 48 D 3 10 左视图主视图 俯视图 2 俯视图 主视图左视图 2 1 2 B1A1 BA B1A1 BA 正视图 俯视图 第 3 题 第 2 题 主视图左视图 俯视图 第 1 题 第 4 题 用心 爱心 专心 3 7 有三个命题 垂直于同一个平面的两条直线平行 过平面 的一条斜线 有且仅有 一个平面与 垂直 异面直线 a b 不垂直 那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 8 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 A mnmn B mnmn C mmnn D mn nm 9 设ab 为两条直线 为两个平面 下列四个命题中 正确的命题是 A 若ab 与 所成的角相等 则ab B 若ab 则 ab C 若abab 则 D 若ab 则 ab 10 在空间四边形ABCD各边ABBCCDDA 上分别取EFGH 四点 如果与 EFGH 能相交于点P 那么 A 点必P在直线AC上B 点P必在直线BD上 C 点P必在平面ABC内 D 点P必在平面ABC外 11 设三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V P Q 分别是侧棱 AA1 CC1上的点 且 PA QC1 则四 棱锥 B APQC 的体积为 A 1 6V B 1 4V C 1 3V D 1 2V 第 5 题 第 6 题 用心 爱心 专心 4 G D1 C1 B1 A1 D C B A D O 12 如图 在多面体ABCDEF中 已知面ABCD是边长为 3 的正方形 EF AB EF 2 3 EF与面AC的距离为 2 则该多面体的体积为 A 2 9 B 5 C 6 D 2 15 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体外接球的表面积为 14 一个几何的三视图如图所示 其中 正视图中 ABC 的边长是 2 的正三角形 俯视图为 正六边形 那么该几何体几的体积为 15 在 Rt ABC 中 CA CB 斜边 AB 上的高为h1 则 222 1 111 CBCAh 类比此性质 如图 在四面体 P ABC 中 若 PA PB PC 两两垂直 底面 ABC 上的高为 h 则得到的正确结论为 16 已知一几何体的三视图如下 正视图和侧视图都是矩形 俯视图为正方形 在该几何体上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点 这些几何形体是 写出所有正确结论的编号 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为直角三角形 有一个面为等腰三角形的四面体 每个面都是等腰三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 满分 12 分 b a 正视图 俯视图 侧视图 a 第 13 题第 14 题 用心 爱心 专心 5 C A B E F C A B E F O 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 G 是 CC1上的动点 求证 平面 ADG 平面 CDD1C1 判断 B1C1与平面 ADG 的位置关系 并给出证明 III 求三棱锥 D1 DG 的体积 18 满分 12 分 已知一四棱锥 P ABCD 的三视图如下 E 是侧棱 PC 上的动点 是否不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明你的结论 若点 E 为 PC 的中点 求证BDEPA平面 III 求由点 A 绕四棱锥 P ABCD 的侧面一周回到点 A 的最短距离 19 满分 12 分 如图组合体中 三棱柱 111 ABCABC 的侧面 11 ABB A是圆柱的轴截面 C是圆柱底面圆周上不与A B重合一个点 求证 无论点C如何运动 平面 1 ABC 平面 1 A AC 当点C是弧AB的中点时 求四棱锥 111 ABCC B 与圆柱的体积 比 20 满分 12 分 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 4ACBC E F分别为AC AB的中 点 将AEF 沿EF折起 使 A 在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点 得到图 2 求证 EFA C 求三棱锥BCAF 的体积 用心 爱心 专心 6 图 1 图 2 21 满分 12 分 在棱长为a的正方体 1111 DCBAABCD 中 E F分别是AB BC的中点 EF与 BD交于点G M为棱上 1 BB一点 DCAEF 11 平面 当MB1 MB的值为多少时 MD1 平面 1 EFB 证明之 求点D到平面 1 EFB的距离 22 满分 14 分 如图 已知三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等 且侧棱垂直于底面 由 B 沿棱柱侧面 经过棱 C C1到点 A1的最短路线长为2 5 设这条最短路线与 CC1的交点为 D 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 在平面 A1BD 内是否存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行 证明你的判断 证明 平面 A1BD 平面 A1ABB1 用心 爱心 专心 7 G D1 C1 B1 A1 D C B A 主干知识三 立体几何参考答案主干知识三 立体几何参考答案 一 选择题 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 10 A 11 12 二 填空题二 填空题 13 3 16 14 2 3 15 2222 1111 PCPBPAh 16 三 解答题三 解答题 17 解 ABCD A1B1C1D1是长方体 且 AB AD AD 平面 11 CDDC AD 平面ADG 平面 ADG 平面 CDD1C1 当点 G 与 C1重合时 B1C1在平面 ADG 内 当点 G 与 C1不重合时 B1C1 平面 ADG 证明 ABCD A1B1C1D1是长方体 B1C1 AD 若点 G 与 C1重合 平面 ADG 即 B1C1与 AD 确定的平面 B1C1 平面 ADG 若点 G 与 C1不重合 11 BC 平面ADG AD 平面ADG且 B1C1 AD B1C1 平面 ADG III 3 1 2 1 3 1 1 111 DDADCDVVV ADDCADDGADGD 解 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明如下 连结 AC ABCD 是正方形 BD AC PC 底面 ABCD 且BD 平面ABCD BD PC 又 ACPCC BD 平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE EFFBDAC连接于交连接则点 为 的中点 又点 E 为 PC 的中点 BDEEFPAEF平面又 BDEPA平面 III 将四棱锥的侧面沿 PA 展开 如图示 则 AA即为所求 用心 爱心 专心 8 5 2 cos 5 1 sin DPCDPCPCDRt中 在 6 5 cos 6 1 sin APDAPDADPRt中 在 30 25 6 1 5 2 6 5 5 1 sin sin APDDPCAPC 5 5410 30 25 62sin2 APCPAAA 19 解 I 侧面 11 ABB A是圆柱的的轴截面 C是圆柱底面圆周上不与A B重合一 个点 ACBC 又圆柱母线 1 AA 平面ABC BC 平面ABC 1 AA BC 又 1 AA AC A BC 平面 1 A AC BC 平面 1 ABC 平面 1 ABC 平面 1 A AC II 设圆柱的底面半径为r 母线长度为h 当点C是弧AB的中点时 三角形ABC的面积为 2 r 三棱柱 111 ABCABC 的体积为 2 r h 三棱锥 1 AABC 的体积为 2 1 3 r h 四棱锥 111 ABCC B 的体积为 222 12 33 r hr hr h 圆柱的体积为 2 r h 四棱锥 111 ABCC B 与圆柱的体积比为2 3 20 解 在ABC 中 EF是等腰直角ABC 的中位线 EFAC 在四棱锥BCEFA 中 EAEF ECEF EF 平面A EC 又 C A平面A EC EFA C 在直角梯形EFBC中 4 2 BCEC 4 2 1 ECBCS FBC 又A O 垂直平分EC 3 22 EOEAOA 用心 爱心 专心 9 O B2 D C1 B1 A1 C B A 三棱锥BCAF 的体积为 3 34 34 3 1 3 1 OASVV FBCFBCABCAF 21 解 E F分别是AB BC的中点 ACEF 又 11 CAAC 11 CAEF 11 DACEF平面 II 当BM MB 时 MD1 平面 1 EFB 证明如下 BM MB EBMA 11 又 1111 BBAADA平面 111 EBDA 11 MDAEB平面 11 MDEB 又 11 BBDDEF平面 MDEF 1 又EEBEF 1 MD1 平面 1 EFB III 设点D到平面 1 EFB的距离d DEFBEFBD VV 11 DEFEFB SBBSd 1 3 1 3 1 1 3 4a d 22 解 如图 将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上 点 B 运动到点 B2的位置 连接 A1B2 则 A1B2就是由点 B 沿棱柱侧面经过棱 CC1到点 A1的最短 路线 设棱柱的棱长为a 则 B2C AC AA1 a CD AA1 D 为 CC1的中点 在 Rt A1AB2中 由勾股定理得 222 1212 A AABAB 即 222 4 2 5 aa