勾股定理思维导图+题型总结

1 2 一一 勾股定理勾股定理 1 勾股定理勾股定理 如果直角三角形直角三角形的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为 股 斜边称为 弦 要点诠释 2 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直角三角形的重要性质之一 其主要应用 1 已知直角三角形的两边求第三边 在中 则 ABC 90C 22 cab 22 bca 22 acb 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 3 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证 勾股定理的思路是 图形经过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 所以 222 2Sabaabb 222 abc c b a H G F E D C BA a b c c b a E D CB A b a c b a c c a b c a b 勾 勾 勾 3 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 4 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 为正 222 abc abc 整数时 称 为一组勾股数 abc 记住常见勾股数可以提高解题速度 如 3 4 56 8 105 12 13 7 24 258 15 17 等9 40 41 用含字母的代数式表示 组勾股数 为正整数 n 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 2222 2 mnmn mn mn mn 5 注意 1 勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的 2 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系 可以用于解决求解直角三角形边边关 系的题目 3 勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边 这是这个知识在应用过程中易犯 的主要错误 4 推理格式 ABC 为直角三角形 AC2 BC2 AB2 或 a2 b2 c2 二 勾股定理的逆定理 二 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为 a b c 且满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 要点诠释 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为 形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时应注意 1 首先确定最大边 不妨设最长边长为 c b a c CB A 4 2 验证 c2 与 a2 b2 是否具有相等关系 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的直角三 角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 为锐角三角 形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 abc 222 abc a 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是 为斜边 bc 222 acb abcb 3 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别 勾股定理是直角三角形的性质定理 而其逆定理是判定定理 联系 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反 都与直角三角形有关 4 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互逆 命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 六 随堂练习 1 在中 的对边分别为 和 ABCRt 90C A B C abc 若 则 斜边上的高为 2 a4 bc 若 则 斜边上的高为 3 b4 ca 若 且 则 斜边上的高为 3 b a 102 ca b 若 且 则 斜边上的高为 2 1 c b 33 ac b 2 正方形的边长为 3 则此正方形的对角线的长为 3 正方形的对角线的长为 4 则此正方形的边长为 4 有一个边长为50 的正方形洞口 想用一个圆盖去盖住这个洞口 求圆的直径至 少多长 5 一旗杆离地面处折断 旗杆顶部落在离旗杆底部处 求旗杆折断之前有多高 m6m8 dm 5 C A B D D A B C 6 如图 一个长的梯子斜靠在一竖直的墙上 这时的距离为 如果梯子顶 m3ABAOAOm5 2 端沿墙下滑 那么梯子底端也外移吗 Am5 0Bm5 0 勾股定理典型例题及专项训练 专题一 直接考查勾股定理专题一 直接考查勾股定理 1 已知等腰三角形腰长是 10 底边长是 16 求这个等腰三角形的面积 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 3 在ABC 中 AB 13 AC 15 高 AD 12 则 BC 的长为多少 4 已知如图 在 ABC 中 C 60 AB AC 4 AD 是 BC 边 34 上的高 求 BC 的长 5 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 设 AB c AC b BC a CD h 求证 1 2 222 111 hba hcba 3 以为三边的三角形是直角三角形练习 hchba 6 如图 ABC 中 AB AC A 45 AC 的垂直平分线分别交 AB AC 于 D E 若 CD 1 则 BD 等于 A 1 B C D A CBD 6 D C B A E C B A 7 已知一直角三角形的斜边长是 2 周长是 2 求这个三角形的面积 6 8 如图 分别以各边为直径作半圆 求阴影部分面积 Rt ABC 90C 3 4ACBC B A C 6 如图 ABC 中 AB AC 20 BC 32 D 是 BC 上一点 且 AD AC 求 BD 的长 7 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内一点 满足 PA 3 PB 1 PC 2 求 BPC 的度数 8 已知 ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 1 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 点 求 CD 长 2 BE 平分 ABC 交 AC 于 E 求 CE 长 7 C B A A B C 专题二 勾股定理的证明 1 如图 直线 上有三个正方形 若的面积分别为 labc ac 5 和 11 则的面积为 b 4 6 16 55 2 如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会 标中的图案 其中四边形 ABCD 和 EF 都是正方形 证 ABF DAE 3 图 是一个边长为的正方形 小颖将 mn 图 中的阴影部分拼成图 的形状 由图 和图 能验证的式子是 A B 22 4mnmnmn 222 2mnmnmn C D 222 2mnmnmn 22 mn mnmn 专题三 网格中的勾股定理 1 如图 1 在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段 其中能构成一个 直角三角形三边的线段是 A CD EF GH B AB EF GH C AB CD GH D AB CD EF 2 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无理 数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 A A B B C C D D E E F F G G H H a b c l mn m n m n 图 图 第 3 题图 8 A B C 3 2010 年四川省眉山市 如图 每个小正方形的边长为 1 A B C 是小正方形 的顶点 则 ABC 的度数为 A 90 B 60 C 45 D 30 4 如图 小正方形边长为 1 连接小正方形的三个得到 可得 ABC 则边 AC 上的高为 A B C D 2 2 3 5 10 3 5 5 3 5 5 4 5 如图 正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1 每个小格的顶点称为格点 请以图中 的格点为顶点画一个边长为 3 的三角形 所画的三角形是 直角三角形吗 说明理由 6 如图 每个小正方形的边长是 1 在图中画出面积为 2 的三个形状 不同的三角形 要求顶点在交点处 其中至少有一个钝角三角形 专题四 实际应用建模测长 1 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5 米 把芦苇拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并求水池的深度 AC 9 2 有一个传感器控制的灯 安装在门上方 离地高 4 5 米的墙上 任何东西只要移至 5 米以 内 灯就自动打开 一个身高 1 5 米的学生 要走到离门多远的地方灯刚好打开 3 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴 有极强 的破坏力 如图 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心 其 中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中心现正以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或走 过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这交台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响该城市持续时间有多少 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 专题五 梯子问题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 2 一架方梯长 25 米 如图 斜靠在一面墙上 梯子底端离墙 7 米 1 这个梯子的顶端距 地面有多高 2 如果梯子的顶端下滑了 4 米 那么梯子的底端在 水平方向滑动了几米 10 A D B C E A D B C A C B 3 如图 梯子 AB 斜靠在墙面上 AC BC AC BC 当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时 梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米 则 x 与 y 的大小关系是 A B C D 不 yx yx yx 能确定 专题六 最短路线 1 如图 学校教学楼旁有一块矩形花铺 有极少数同学为了避开拐角走 捷径 在花铺内 走出了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假设 2 步为 1 米 却踩伤了花草 A 6B 5 C 4D 3 2 如图 一圆柱体的底面周长为 20 高 AB 为 10 BC 是上底面的直径 一蚂蚁从点 A 出发 沿着圆柱的侧面爬行到点 C 试求出爬行的最短路程 3 如图 有一个圆柱体 底面周长为 20 高 AB 为 10 在圆柱的下底面 A 点处有一只蚂 蚁 它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处 那么它所行走的路程是多少 4 如图 假如这是一个圆柱体的玻璃杯 AD 是杯底直径 C 是杯口一点 其他已知条件不 变 蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内壁到达高 CD 的中点 E 处 最短该走多远 呢 杯子的厚度不计 A C 11 5 如图 一只蚂蚁从一个棱长为 1 米 且封闭的正方体盒子外部的顶点 A 向顶点 B 爬行 问 这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米 6 如图 长方体的长为 15cm 宽为 10cm 高 为 20cm 点 B 到点 C 的距离为 5cm 一只蚂 蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点 需要爬行的最短距离是多少 7 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 2m 0 3m 0 2m A 和 B 是台阶 上两个相对的顶点 A 点有一只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 问蚂蚁沿着台阶爬行到 B 点的最短路程是多少 专题七 折叠三角形 1 如图 一块直角三角形的纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 求 CD 的长 E D B A C B A B C A 20 15 10 A B 03 0 2 2 12 C F E B D A C C C B A E D B A C E F D B A C 2 如图 小颍同学折叠一个直角三角形的纸片 使 A 与 B 重合 折痕为 DE 若已知 AC 10cm BC 6cm 你能求出 CE 的长吗 3 如图 ABC 的三边 BC 3 AC 4 AB 5 把 ABC 沿最长边 AB 翻折后得到 ABC 则 CC 的长等于 A B C D 5 6 5 12 5 13 5 24 专题八 折叠四边形 1 折叠矩形 ABCD 的一边 AD 点 D 落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8CM BC 10CM 求 1 CF 的 长 2 EC 的长 2 在矩形纸片 ABCD 中 AD 4cm AB 10cm 按图所示方式折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 求 1 DE 的长 2 EF 的长 13 G F M A B D C E G A B D C A EF 3 矩形纸片 ABCD 的边长 AB 4 AD 2 将矩形纸片沿 EF 折