平面向量基本定理及经典例题

相信自己是最棒的 平面向量基本定理 一 教学目标 一 教学目标 了解平面向量基本定理 理解平面向量的坐标概念 会用坐标形式进行向量的加法 数乘 的运算 掌握向量坐标形式的平行的条件 教学重点教学重点 用向量的坐标表示向量加法 减法 数乘运算和平行 二二 课前预习课前预习 1 已知 x 2 1 x 若 则 x 的值为 abab A B C D 222 2 2 下列各组向量 共线的是 A 2 3 4 6 ab B 2 3 3 2 ab C 1 2 7 14 ab D 3 2 6 4 ab 3 已知点 且 则 4 3 1 3 4 2 CBACBCNCACM 2 3 MN 4 已知点和向量 若 3 则点 B 的坐标为 1 5 A a 2 3 ABa 三三 知识归纳知识归纳 1 1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面 12 e e 内的任意向量 有且只有一对实数 使成立 其中叫做这一平面a 12 1 122 aee 12 e e 的一组 即对基底的要求是向量 2 2 坐标表示法 坐标表示法 在直角坐标系内 分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作基xyi j 底 则对任一向量 有且只有一对实数 使 就把 叫做向量a xyj yi xa 的坐标 记作 a 3 3 向量的坐标计算 向量的坐标计算 0 0 为坐标原点 点的坐标为 则向量的坐标为OAxyOA 点 的坐标分别为 则向量的坐OA 1 P 2 P 1 x 1 y 2 P 2 x 2 y 21P P 标为 即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的 21P P 相信自己是最棒的 点坐标减去 点坐标 4 4 线段中点坐标公式 线段中点坐标公式 A B 线段中点为 M 则有 1 x 1 y 2 x 2 y M 点的坐标为 OM 5 5 两个向量平行的充要条件是 两个向量平行的充要条件是 向量形式 0 bba 坐标形式 0 bba 6 6 x y 则 与 共线的单位向量是 a a a a a e 四 例题分析 四 例题分析 例 1 1 已知 M 2 7 N 10 2 点 P 是线段 MN 上的点 且 2 则 PN PM P 点的坐标为 A 14 16 B 22 11 C 6 1 D 2 4 2 已知两点 A 4 1 B 7 3 则与向量同向的单位向量是 AB A B C D 5 4 5 3 5 4 5 3 5 3 5 4 5 3 5 4 3 若 2 3 4 7 则在 方向上的投影为 a b a b 例 2 1 已知向量 且 求实数的值 1 2 1 2abxuab 2vab uv x 2 已知向量 a 3 1 b 0 1 c k 3 若 a 2b 与 c 共线 则 k 相信自己是最棒的 例 3 已知 1 求 2 当为何实数时 与平 1 0 2 1 ab 3 ba kk a b ba 3 行 平行时它们是同向还是反向 例 4 如图 平行四边形 ABCD 中 分别是的中点 为交点 若 E F BC DCGAB a ADb 1 试以 为基底表示 2 求证 A G C 三点共线 a b DEBF 例 5 如图 平行四边形 ABCD 中 BE BA BF BD 求证 4 1 5 1 E F C 三点共线 利用向量证明 五 课后作业 五 课后作业 1 且 则锐角为 31 sin cos 23 ab ab A B C D E F 相信自己是最棒的 A30 B60 C45 D 75 2 平面内有三点 且 则的值是 0 3 3 3 1 ABC x ABBCx 1 5 A B C1 D5 3 如果 是平面内所有向量的一组基底 那么下列命题中正确的是 1 e 2 e 若实数使 则 A 12 1 122 0ee 12 0 空间任一向量可以表示为 这里是实数 Ba 1 122 aee 12 对实数 向量不一定在平面内 C 12 1 122 ee 对平面内任一向量 使的实数有无数对 Da 1 122 aee 12 4 下列各组向量中 2 1 1 e 7 5 2 e 5 3 1 e 10 6 2 e 3 2 1 e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 4 3 2 1 2 e A B C D 5 若 A 1 2 B 4 8 且 则 C 点坐标为 CBAC3 6 已知 若平行 则 2 3 a 1 2 bbaba 与 7 已知向量 与方向相反 且 那么向量 的坐标是 1 2 a ba 2 ba b 8 已知 则与平行的单位向量的坐标为 5 4 3 2 ab 23ab 9 已知 求 并以为基底来表示 3 1 1 2 1 7 abc pabc a b p 10 向量 当为何值时 三点共线 12 4 5 10 OAkOBOCk k A B C 相信自己是最棒的 平面向量的数量积平面向量的数量积 一 教学目标教学目标 掌握平面向量的数量积及其性质 掌握两向量夹角及两向量垂直的 充要条件和向量数量积的简单运用 教学重点教学重点 平面向量数量积及其应用 二 课前预习 二 课前预习 1 已知向量 如果向量与垂直 则的值为 3 4 2 1 ab axb b x 2 A 3 23 B 23 3 C D 2 5 2 下列命题正确的是 0ABBA 00AB ABACBC 00AB 3 平面向量中 已知 且 则向量 a b 4 3 1ab 5a b b 4 已知向量的方向相同 且 则 a b 3 7ab 2 ab 5 已知向量和的夹角是 120 且 则 a b 2 a 5 b aba 2 三 知识归纳三 知识归纳 1 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 定义 定义 为与的夹角 a 0 0 bab a b 0 特例特例 2 2 0 0 a a a a a 叫做向量叫做向量的的 coscosab abba 在方向上在方向上 注注 cosb cos 同理 b ba a 2 坐标运算 坐标运算 若 则 a 1 x 1 yb 2 x 2 ya b 2 两个向量的夹角与长度两个向量的夹角与长度 已知向量 a 1 x 1 yb 2 x 2 y 相信自己是最棒的 1 两个向量两个向量与与的夹角的夹角 向量形式 a b cos 坐标形式 cos 注 注 0 0cos 2 0a 0cos 2 0 0cos 2 0 ba b ba 即 即 即 babababa 0 即反向时 即同向时 2 向量向量的长度的长度 2 2 其中 a a a a a a a yx cos2 22 2 babababa 两点间的距离公式 其中 21P P 1 P 1 x 1 y 2 P 2 x 2 y 3 向量的平行 垂直向量的平行 垂直 如果 两个向量 那么 a 1 x 1 yb 2 x 2 y 1 两个向量平行两个向量平行的充要条件是 向量形式 0 bba 坐标形式 0 bba 2 两个向量垂直两个向量垂直的充要条件是 向量形式 a b 坐标形式 a b 四 例题分析 四 例题分析 例 1 已知平面上三个向量 的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 a b c 1 求证 2 若 求的取值范围 ba c 1 bak Rk k 相信自己是最棒的 例 2 已知 是同一平面内的三个向量 其中 1 2 abca 1 若 且 求 的坐标 c52 ac c 2 若 且与垂直 求与的夹角 b 2 5 ba2 ba 2ab 例 3 1 若向量 满足 且 c 则 2 cab A 4 B 3 C 2 D 0 2 已知单位向量 1 e 2 e 的夹角为 60 则 12 2ee 3 在正三角形ABC中 D是BC上的点 3 1ABBD 则AB AD 4 已知向量 a b满足 abab 且 1a 2b 则 a 与 b 的夹角为 5 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 设 2 3 BCBD CACE 则AD BE 例例 4 1 4 1 已知由向量 3 2 1 k 确定的 ABC 为直角三角形 求 k 的值 ABAC 2 设 3 1 1 2 试求满足 OAOBOCOBBCOAODOA 的的坐标 O 为原点 OCOD 相信自己是最棒的 五 课后作业 1 平面内有三点 且 则的值是 0 3 3 3 1 ABC x ABBCx 1 5 A B C1 D5 2 已知 则与的夹角是 3a 2 3b 3a b a b A 150 B 120 C 60 D 30 3 已知向量 那么的值是 75sin 75 cos a 15sin 15 cos b ba 1 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 4 已知向量 向量则的最大值 最小值分别是 sin cos a 1 3 b 2 ba 16 04 0 A 0 24 B24 4 C D 5 在中 的面积是 若 则ABC 0 ACABABC 4 15 3 AB5 ACBAC A 6 B 3 2 C 4 3 D 6 5 6 在 ABC 中 若 则 0 60 4 3 BACACAB ACBA A 6 B 4 C 6 D 4 7 已知向量 与方向相反 且 那么向量 的坐标是 1 2 a ba 2 ba b 平面上有三个点 A 1 3 B 2 2 C 7 x 若 B 则 x 90 8 已知 1 且向量 与2互相垂直 则 与的夹角 a b 2a b a b ba 9 已知 则与平行的单位向量的坐标为 5 4 3 2 ab 23ab 相信自己是最棒的 10 1 已知向量与的夹角是钝角 则 k 的取值范围是 6 2 a 3 bk 2 已知向量与的夹角大于 则 k 的取值范围是 6 2 a 3 bk 90 11 1 已知向量 则在上的投影为 3 4 2 1 ab ab 2 已知 2 与的夹角为 600 则 在上的投影为 abababa 12 设为平面上四个点 且 O A B CaOA bOB cOC 0 cbacb