高中数学 同步测控课时训练19 新人教A版选修2-1

1 课时训练课时训练 1919 空间向量与空间角空间向量与空间角 1 1 直线l1 l2的方向向量分别是v v1 v v2 若v v1与v v2所成的角为 直线 l1 l2所成的角为 则 A B C cos cos D cos cos 答案 D 2 2 已知A P 平面 的一个法向量n n 则直线PA与平 3 1 2 22 PA 1 0 2 2 面 所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 150 答案 C 解析 设直线PA与平面 所成的角为 则 sin cos PA 2 22 22 311 022 222 3 2 311 2 2 222 60 3 3 如图 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1和BB1的中点 那么直线AM与 CN所成角的余弦值为 A B 3 2 10 10 C D 3 5 2 5 答案 D 解析 如图 建立坐标系 则A 1 0 0 M C 0 1 0 N 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 AM 2 1 1 0 2 CN cos AM CN 1 2 2 5 55 22 AM CN AM CN 4 4 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 则AB1与C1B所成的角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 答案 B 解析 取AC的中点D 建立如图坐标系 设AB a 则B C1 A B1 3 a 0 0 2 2 0 a 22 a 0 0 2 a 32 a 0 a 22 cos 0 1 AB 1B C 11 11 B B AB C AB C AB1与C1B所成的角为 90 5 5 如图 过边长为 1 的正方形ABCD的顶点A作线段EA 平面AC 若EA 1 则平面ADE与平面 BCE所成的二面角的大小是 A 120 B 45 C 135 D 60 答案 B 3 解析 以A为原点 分别以AB AD AE所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角 坐标系 则E 0 0 1 B 1 0 0 C 1 1 0 1 0 1 1 1 1 EB EC 设平面BCE的法向量为n n x y z 则有可取n n 1 0 1 又平面EAD的法向 0 0 xz xyz 量为 1 0 0 所以 cos n n 故平面ADE与平面BCE所成的二面角为AB AB 12 22 1 45 6 6 已知在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 2 E是侧棱BB1的中点 则直线AE与平面 A1ED1所成角的大小为 A 60 B 90 C 45 D 以上都不对 答案 B 解析 以点D为原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如 图 由题意知 A1 1 0 2 E 1 1 1 D1 0 0 2 A 1 0 0 所以 0 1 1 1 1 1 1E A 1E D 0 1 1 EA 设平面A1ED1的一个法向量为n n x y z 则 1 1 A E0 D E0 n n 0 0 yz xyz 令z 1 得y 1 x 0 所以n n 0 1 1 cos 1 EA EA2 EA 2 2 n n 所以 180 EA 所以直线AE与平面A1ED1所成的角为 90 7 7 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 底面ABCD为边长是 1 的正方形 PA 2 则AB与PC的夹 角的余弦值为 答案 6 6 4 解析 由于 1 cos 45 1 AB PCAB PAAC AB PAAB AC 2 又 1 AB PC 6 cos AB PC 16 6 16 AB PC AB PC 8 8 在正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 则直线BC 与平面PAC所成的角为 答案 30 解析 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz 设OD SO OA OB OC a 则A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 2 2 a a 从而 2a 0 0 a a 0 CA 2 2 a a APa CB 设平面PAC的一个法向量为n n 可求得n n 0 1 1 则 cos 所以 60 所以直线BC与平面PAC所成CB 2 CB 1 2 CB 2a 2 na n CB 的角为 90 60 30 9 9 在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中 AB AC PA 平面ABCD 且PA AB E是PD的中点 求平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值 解 如图所示 以A为原点 分别以AC AB AP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标 系 设PA AB a AC b 连接BD 与AC交于点O 取AD的中点F 连接OF OE EF AE 则A 0 0 0 C b 0 0 B 0 a 0 BACD 所以D b a 0 P 0 0 a 所以E O b 0 0 22 2 ba a 0 0 2 b 0 2 2 a a OE AC 因为 0 OE AC 所以 OEAC 因为 1 0 0 22 a OFCD 所以 0 所以 OF AC OFAC 5 因此 EOF为平面EAC与平面ABCD所成的角 因为 cos OE OF 2 2 OE OF OE OF 所以平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值为 2 2 1010 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M为B1C1上一点且B1M 2 点N在线段 A1D上 A1D AN 1 求 cos 1D A AM 2 求直线AD与平面ANM所成角的大小 3 求平面ANM与平面ABCD所成角的大小 解 1 建立空间直角坐标系 如图 5 2 4 0 8 4 AM 1D A 0 16 16 0 AM 1D A 1D AMA cos 0 1D A AM 2 A1D AM A1D AN A1D 平面ANM 0 8 4 是平面ANM的一个法向量 1D A 又 0 8 0 4 8 64 AD 1D A 5AD 1D A AD cos 1D A AD 6422 5