对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

2 1 对数与对数运算对数与对数运算 1 对数的概念 一般地 如果 ax N a 0 且 a 1 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 x logaN 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 说明 1 实质上 上述对数表达式 不过是指数函数 y ax的另一种表达形式 例如 34 81 与 4 log381 这两个式子表达是同一关系 因此 有关系式 ax N x logaN 从而 得对数恒等式 alogaN N 2 log 同 等符号一样 表示一种运算 即已知一个数和它的幂求指数的 运算 这种运算叫对数运算 不过对数运算的符号写在数的前面 3 根据对数的定义 对数 logaN a 0 且 a 1 具有下列性质 零和负数没有对数 即 N 0 1 的对数为零 即 loga1 0 底的对数等于 1 即 logaa 1 2 对数的运算法则 利用对数的运算法则 可以把乘 除 乘方 开方的运算转化为对数的加 减 乘 除运算 反之亦然 这种运算的互化可简化计算方法 加快计算速度 1 基本公式 loga MN logaM logaN a 0 a 1 M 0 N 0 即正数的积的对数 等于同一底 数的各个因数的对数的和 loga logaM logaN a 0 a 1 M 0 N 0 即两个正数的商的对数 等于被除 M N 数的对数减去除数的对数 logaMn n logaM a 0 a 1 M 0 n R 即正数的幂的对数等于幂的底数的对数 乘以幂指数 2 对数的运算性质注意点 必须注意 M 0 N 0 例如 loga 3 4 是存在的 但是 loga 3 与 loga 4 均不存在 故不能写成 loga 3 4 loga 3 loga 4 防止出现以下错误 loga M N logaM logaN loga M N logaM logaN loga M N logaMn logaM n logaM logaN 3 对数换底公式 在实际应用中 常碰到底数不为 10 的对数 如何求这类对数 我们有下面的对数换底 公式 logbN b 0 且 b 1 c 0 且 c 1 N 0 logcN logcb 证明 设 logbN x 则 bx N 两边取以 c 为底的对数 得 xlogcb logcN 所以 x 即 logbN logcN logcb logcN logcb 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化 即将复杂的或未知的底数转化为已知的 或需要的底数 这是数学转化思想的具体应用 由换底公式可推出下面两个常用公式 1 logbN 或 logbN logNb 1 N 0 且 N 1 b 0 且 b 1 1 logNb 2 logbnNm logbN N 0 b 0 且 b 1 n 0 m R m n 题型一 正确理解对数运算性质 对于 a 0 且 a 1 下列说法中 正确的是 若 M N 则 logaM logaN 若 logaM logaN 则 M N 若 logaM2 logaN2 则 M N 若 M N 则 logaM2 logaN2 A 与 B 与 C D 解析 在 中 当 M N 0 时 logaM 与 logaN 均无意义 因此 logaM logaN 不成 立 在 中 当 logaM logaN 时 必有 M 0 N 0 且 M N 因此 M N 成立 在 中 当 logaM2 logaN2时 有 M 0 N 0 且 M2 N2 即 M N 但未必有 M N 例如 M 2 N 2 时 也有 logaM2 logaN2 但 M N 在 中 若 M N 0 则 logaM2与 logaN2均无意义 因此 logaM2 logaN2不成立 所以 只有 成立 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式 是利用对数运算性质公式解题的前提条件 使用 运算性质时 应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值 1 2log32 log3 log38 5log53 32 9 2 lg25 lg8 lg5 lg20 lg2 2 2 3 3 log5 2 log79 log51 3 log7 3 4 分析 利用对数的性质求值 首先要明确解题目标是化异为同 先使各项底数相同 才能使用性质 再找真数间的联系 对于复杂的真数 可以先化简再计算 解 1 原式 2log32 log332 log39 3log32 3 2log32 5log32 2 3log32 3 1 2 原式 2lg5 2lg2 lg lg 2 10 lg2 2 10 2 2lg 5 2 1 lg2 lg2 1 lg2 2 2 1 lg2 2 lg2 2 3 3 log5 2 log79 log51 3 log7 3 4 1 2log52 2log73 log53 1 3log74 lg2 lg5 lg3 lg7 lg3 lg5 1 3 lg4 lg7 3 2 点评 对数的求值方法一般有两种 一种是将式中真数的积 商 幂 方根利用对数 的运算性质将它们化为对数的和 差 积 商 然后化简求值 另一种方法是将式中的和 差 积 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积 商 幂 方根 然后化简求值 题型三 对数换底公式的应用 计算 log2125 log425 log85 log52 log254 log1258 分析 由题目可获取以下主要信息 本题是一道对数化简求值题 在题目中各个对数 的底数都各不相同 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值 解 方法一 原式 log253 log225 log24 log25 log28 log52 log54 log525 log58 log5125 3log25 2log25 2log22 log25 3log22 log52 2log52 2log55 3log52 3log55 log25 3log52 3 1 1 3 13log25 13 log22 log25 方法二 原式 lg125 lg2 lg25 lg4 lg5 lg8 lg2 lg5 lg4 lg25 lg8 lg125 3lg5 lg2 2lg5 2lg2 lg5 3lg2 lg2 lg5 2lg2 2lg5 3lg2 3lg5 13 13lg5 3lg2 3 lg2 lg5 点评 方法一是先将括号内换底 然后再将底统一 方法二是在解题方向还不清楚的 情况下 一次性地统一为常用对数 当然也可以换成其他非 1 的正数为底 然后再化 简 上述方法是不同底数对数的计算 化简和恒等证明的常用方法 已知 log x 3 x2 3x 1 求实数 x 的值 错解 由对数的性质可得 x2 3x x 3 解得 x 1 或 x 3 错因分析 对数的底数和真数必须大于 0 且底数不等于 1 这点在解题中忽略了 正解 由对数的性质知Error 解得 x 1 故实数 x 的值为 1 对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一 主要性质有 loga1 0 logaa 1 alogaN N a 0 且 a 1 N 0 1 上海高考 方程 9x 6 3x 7 0 的解是 解析 9x 6 3x 7 0 即 32x 6 3x 7 0 3x 7 3x 1 0 3x 7 或 3x 1 舍去 x log37 答案 log37 2 辽宁高考 设 g x Error 则 g g 1 2 解析 g ln 0 g eln 1 2 1 2 ln 1 2 1 2 1 2 g g 1 2 1 2 答案 1 2 1 对数式 log a 3 7 a b 实数 a 的取值范围是 A 7 B 3 7 C 3 4 4 7 D 3 答案 C 解析 由题意得Error 解得 3 a 7 且 a 4 2 设 a log32 则 log38 2log36 用 a 表示的形式是 A a 2 B 3a 1 a 2 C 5a 2 D a2 3a 1 答案 A 解析 a log32 log38 2log36 3log32 2 log32 1 3a 2 a 1 a 2 3 log56 log67 log78 log89 log910 的值为 A 1 B lg5 C D 1 lg2 1 lg5 答案 C 解析 原式 lg6 lg5 lg7 lg6 lg8 lg7 lg9 lg8 lg10 lg9 lg10 lg5 1 lg5 4 已知 loga a2 1 loga2a0 a 1 loga a2 1 loga2a 0 a 1 a0 a 1 在 1 3 上最大值与最小值之和为 a2 则 a 的 值为 A 4 B C 3 D 1 4 1 3 答案 D 6 若方程 lgx 2 lg7 lg5 lgx lg7 lg5 0 的两根为 则 等于 A lg7 lg5 B lg35 C 35 D 1 35 答案 D 解析 lg lg lg7 lg5 lg35 lg 1 35 1 35 7 已知 f log2x x 则 f 1 2 答案 2 解析 令 log2x 则 2 x f 2 1 2 1 2 1 2 1 22 8 log 1 1 22 答案 1 解析 log 1 1 log 1 222 r 2 1 r 2 1 2 1 log 1 1 2 1 2 1 9 已知 lg2 0 301 0 lg3 0 477 1 lgx 2 0 778 1 则 x 答案 0 06 解析 lg2 0 301 0 lg3 0 477 1 而 0 301 0 0 477 1 0 778 1 lgx 2 lg2 lg3 即 lgx lg10 2 lg6 lgx lg 6 10 2 即 x 6 10 2 0 06 10 1 已知 lgx lgy 2lg x 2y 求 log的值 2 x y 2 已知 log189 a 18b 5 试用 a b 表示 log365 解 1 lgx lgy 2lg x 2y xy x 2y 2 即 x2 5xy 4y2 0 即 x y x 4y 0 解得 x y 或 x 4y 又 Error x 2y 0 x y 应舍去 取 x 4y 则 log log log4 4 2 x y2 4y y2 lg4 lg 2 2 18b 5 log185 b 又 log189 a log365 log185 lg1836 b log18 18 2 b 1 log182 b 1 log1818 9 b 1 1 log189 b 2 a 11 设 a b c 均为不等于 1 的正数 且 ax by cz 0 求 abc 的值 1 x 1 y 1 z 解 令 ax by cz t t 0 且 t 1 则有 logta logtb logtc 1 x 1 y 1 z 又 0 logtabc 0 abc 1 1 x 1 y 1 z 12 已知 a b c 是 ABC 的三边 且关于 x 的方程 x2 2x lg c2 b2 2lga 1 0 有等根 试判定 ABC 的形状 解 关于 x 的方程 x2 2x lg c2 b2 2lga 1 0 有等根 0 即 4 4 lg c2 b2 2lga 1 0 即 lg c2 b2 2lga 0 故 c2 b2 a2 a2 b2 c2 ABC 为直角三角形 2 2 1 对数与对数运算对数与对数运算 一一 学习目标 1 理解对数的概念 能进行指数式与对数式的互化 2 了解常用对数与自然对数的意义 3 理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引 1 如果 a a 0 且 a 1 的 b 次幂等于 N 就是 ab N 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 b logaN 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 对数的性质有 1 1 的对数为零 2 底的对数为 1 3 零和负数没有对数 3 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 以 e 为底的对数叫做自然对数 log10N 可 简记为 lgN logeN 简记为 lnN 4 若 a 0 且 a 1 则 ab N 等价于 logaN b 5 对数恒等式 alogaN N a 0 且 a 1 一 对数式有意义的条件 例 1 求下列各式中 x 的取值范围 1 log2 x 10 2 log x 1 x 2 3 log x 1 x 1 2 分析 由真数大于零 底数大于零且不等于 1 可得到关于 x 的不等式 组 解之即 可 解 1 由题意有 x 10 0 x 10 即为所求 2 由题意有Error 即Error x 1 且 x 2 3 由题意有Error 解得 x 1 且 x 0 x 1 点评 在解决与对数有关的问题时 一定要注意 对数真数大于零 对数的底数大于 零且不等于 1 变式迁移 1 在 b log a 2 5 a 中 实数 a 的取值范围是 A a 5 或 a 2 B 2 a 5 C 2 a 3 或 3 a 5 D 3 a 4 答案 C 解析 由题意得Error 2 a0 2 4 log29 log25 1 2 解 1 原式 alogab logbc logcN blogbc logcN blogbc logcN clogcN N 2 原式 2 log29 log25 2log29 2log25 9 5 点评 对数恒等式 alogaN N 中要注意格式 1 它们是同底的 2 指数中含有对数形 式 3 其值为真数 变式迁移 3 计算 3log3 log3 53 1 5 解 原式 3 log3 3log3 5 1 2 1 55 1 5 1 2 5 1 5 6 5 5 1 一般地 如果 a a 0 a 1 的 b 次幂等于 N 就是 ab N 那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 logaN b 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 利用 ab N b logaN 其中 a 0 a 1 N 0 可以进行指数与对数式的互化 3 对数恒等式 alogaN N a 0 且 a 1 一 选择题 1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是 A 100 1 与 lg1 0 B 27 与 log27 1 3 1 3 1 3 1 3 C log3 9 与 9 3 1 2 1 2 D log55 1 与 51 5 答案 C 2 指数式 b6 a b 0 b 1 所对应的对数式是 A log6a a B log6b a C logab 6 D logba 6 答案 D 3 若 logx 2 1 则 x 的值为 5 A 2 B 2 55 C 2 或 2 D 2 555 答案 B 4 如果 f 10 x x 则 f 3 等于 A log310 B lg3 C 103 D 310 答案 B 解析 方法一 令 10 x t 则 x lgt f t lgt f 3 lg3 方法二 令 10 x 3 则 x lg3 f 3 lg3 5 21 log25 的值等于 1 2 A 2 B 2 55 C 2 D 1 5 2 5 2 答案 B 解析 21 log25 2 2 log25 2 2log25 1 2 1 2 1 2 2 5 2 1 25 二 填空题 6 若 5lgx 25 则 x 的值为 答案 100 解析 5lgx 52 lgx 2 x 102 100 7 设 loga2 m loga3 n 则 a2m n的值为 答案 12 解析 loga2 m loga3 n am 2 an 3 a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 8 已知 lg6 0 778 2 则 102 778 2 答案 600 解析 102 778 2 102 10lg6 600 三 解答题 9 求下列各式中 x 的值 1 若 log3 1 则求 x 值 1 2x 9 2 若 log2 003 x2 1 0 则求 x 值 解 1 log3 1 3 1 2x 9 1 2x 9 1 2x 27 即 x 13 2 log2 003 x2 1 0 x2 1 1 即 x2 2 x 2 10 求 x 的值 1 x log4 2 x log9 3 x 71 log75 2 23 4 logx8 3 5 log x 4 1 2 解 1 由已知得 x 4 2 2 2 x 22 2 x 4 1 2 x 2 2 由已知得 9x 即 32x 3 3 1 2 2x x 1 2 1 4 3 x 7 7log75 7 5 7 5 4 由已知得 x 3 8 即 3 23 2 x 1 x 1 x 1 2 5 由已知得 x 4 2 2 1 对数与对数运算 二 1 2 1 16 学习目标 1 掌握对数的运算性质及其推导 2 能运用对数运算性质进行化简 求值和证明 自学导引 1 对数的运算性质 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 那么 1 loga MN logaM logaN 2 loga logaM logaN M N 3 logaMn nlogaM n R 2 对数换底公式 logab logcb logca 一 正确理解对数运算性质 例 1 若 a 0 a 1 x 0 y 0 x y 下列式子中正确的个数有 logax logay loga x y logax logay loga x y loga logax logay x y loga xy logax logay A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积 商 幂的对数运算分别转化为对数的加 减 乘的运 算 在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算 如 logax loga x logax 是不可分开的一个整体 四个选项都把对数符号当作字母参与运算 因而都是错误的 点评 正确理解对数运算性质公式 是利用对数运算性质公式解题的前提条件 变式迁移 1 若 a 0 且 a 1 x 0 n N 则下列各式正确的是 A logax loga B logax n nlogax 1 x C logax n logaxn D logax loga 1 x 答案 A 二 对数运算性质的应用 例 2 计算 1 log535 2log5 log57 log51 8 7 3 2 2 lg 2 lg lg5 22 lg r 2 2 lg2 1 3 lg 27 lg8 lg 1 000 lg1 2 4 lg5 2 lg2 lg50 分析 利用对数运算性质计算 解 1 原式 log5 5 7 2 log57 log53 log57 log5 9 5 log55 log57 2log57 2log53 log57 2log53 log55 2log55 2 2 原式 lg 2lg lg5 22 lg r 2 1 2 lg lg2 lg5 1 lg lg 1 lg 1 2222 3 原式 3 2lg3 3lg2 3 2 lg3 2lg2 1 3lg3 6lg2 3 2 lg3 2lg2 1 3 2 4 原式 lg5 2 lg2 lg2 2lg5 lg5 2 2lg5 lg2 lg2 2 lg5 lg2 2 1 点评 要灵活运用有关公式 注意公式的正用 逆用及变形使用 变式迁移 2 求下列各式的值 1 log535 2log log5 log514 1 2 2 1 50 2 1 log63 2 log62 log618 log64 解 1 原式 log5 5 7 2log22 log5 52 2 log5 2 7 1 2 1 log57 1 2 log52 log52 log57 2 2 原式 log 2 log62 log6 3 6 log622 2 6 log62 log62 log63 1 2log62 1 三 换底公式的应用 例 3 1 设 3x 4y 36 求 的值 2 x 1 y 2 已知 log189 a 18b 5 求 log3645 解 1 由已知分别求出 x 和 y 3x 36 4y 36 x log336 y log436 由换底公式得 x y log3636 log363 1 log363 log3636 log364 1 log364 log363 log364 1 x 1 y 2log363 log364 2 x 1 y log36 32 4 log3636 1 2 log189 a 18b 5 log185 b log3645 log1845 log1836 log18 9 5 log18 18 2 log189 log185 1 log182 a b 1 log1818 9 a b 2 a 点评 指数式化为对数式后 两对数式的底不同 但式子两端取倒数后 利用对数的 换底公式可将差异消除 变式迁移 3 1 设 log34 log48 log8m log416 求 m 2 已知 log1227 a 求 log616 的值 解 1 利用换底公式 得 2 lg4 lg3 lg8 lg4 lgm lg8 lgm 2lg3 于是 m 9 2 由 log1227 a 得 a 3lg3 2lg2 lg3 lg3 2alg2 3 a lg3 lg2 2a 3 a log616 4lg2 lg3 lg2 4 2a 3 a 1 4 3 a 3 a 1 对于同底的对数的化简常用方法是 1 收 将同底的两对数的和 差 化成积 商 的对数 2 拆 将积 商 的对数拆成对数的和 差 2 对于常用对数的化简要充分利用 lg5 lg2 1 来解题 3 对于多重对数符号对数的化简 应从内向外逐层化简求值 一 选择题 1 lg8 3lg5 的值为 A 3 B 1 C 1 D 3 答案 D 解析 lg8 3lg5 lg8 lg53 lg1 000 3 2 已知 lg2 a lg3 b 则 log36 等于 A B a b a a b b C D a a b b a b 答案 B 解析 log36 lg6 lg3 lg2 lg3 lg3 a b b 3 若 lga lgb 是方程 2x2 4x 1 0 的两个根 则 2的值等于 lg a b A 2 B C 4 D 1 2 1 4 答案 A 解析 由根与系数的关系 得 lga lgb 2 lga lgb 1 2 2 lga lgb 2 lg a b lga lgb 2 4lga lgb 22 4 2 1 2 4 若 2 5x 1 000 0 25y 1 000 则 等于 1 x 1 y A B 3 C D 3 1 3 1 3 答案 A 解析 由指数式转化为对数式 x log2 51 000 y log0 251 000 则 log1 0002 5 log1 0000 25 log1 00010 1 x 1 y 1 3 5 设函数 f x logax a 0 且 a 1 若 f x1x2 x2 005 8 则 f x f x f x 2 12 2 的值等于 22 005 A 4 B 8 C 16 D 2loga8 答案 C 解析 因为 f x logax f x1x2 x2 005 8 所以 f x f x f x 2 12 222 005 logax logax logax 2 12 222 005 2loga x1 2loga x2 2loga x2 005 2loga x1x2 x2 005 2f x1x2 x2 005 2 8 16 二 填空题 6 设 lg2 a lg3 b 那么 lg 1 8 答案 a 2b 1 2 解析 lg lg1 8 lg lg 1 8 1 2 1 2 18 10 1 2 2 9 10 lg2 lg9 1 a 2b 1 1 2 1 2 7 若 logax 2 logbx 3 logcx 6 则 logabcx 的值为 答案 1 解析 logabcx 1 logxabc 1 logxa logxb logxc logax 2 logbx 3 logcx 6 logxa logxb logxc 1 2 1 3 1 6 logabcx 1 1 1 2 1 3 1 6 1 1 8 已知 log63 0 613 1 log6x 0 386 9 则 x 答案 2 解析 由 log63 log6x 0 613 1 0 386 9 1 得 log6 3x 1 故 3x 6 x 2 三 解答题 9 求下列各式的值 1 lg lg lg 1 2 32 49 4 38245 2 lg5 2 2lg2 lg2 2 解 1 方法一 原式 5lg2 2lg7 lg2 1 2 4 3 3 2 2lg7 lg5 1 2 lg2 lg7 2lg2 lg7 lg5 5 2 1 2 lg2 lg5 lg2 lg5 1 2 1 2 1 2 lg10 1 2 1 2 方法二 原式 lg lg4 lg7 4 2 75 lg 4 2 7 5 7 4 lg lg 2510 1 2 2 方法一 原式 lg5 lg2 lg5 lg2 2lg2 lg10 lg lg4 lg lg10 1 5 2 5 2 4 方法二 原式 lg10 lg2 2 2lg2 lg22 1 2lg2 lg22 2lg2 lg22 1 10 若 26a 33b 62c 求证 1 a 2 b 3 c 证明 设 26a 33b 62c k k 0 那么 Error Error 6 logk2 2 3logk3 1 a 2 b logk 26 36 6logk6 3 2logk6 3 c 即 1 a 2 b 3 c 2 2 2 对数函数及其性质对数函数及其性质 1 对数函数的概念 形如 y logax a 0 且 a 1 的函数叫做对数函数 对于对数函数定义的理解 要注意 1 对数函数是由指数函数变化而来的 由指数式与对数式关系知 对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的函数值 y 所以对数函数的定义域是 0 2 对数函数的解析式 y logax 中 logax 前面的系数为 1 自变量在真数的位置 底数 a 必须满足 a 0 且 a 1 3 以 10 为底的对数函数为 y lgx 以 e 为底的对数函数为 y lnx 2 对数函数的图象及性质 a 10 a1 时 恒有 y 0 当 0 x 1 时 恒有 y1 时 恒有 y 0 当 0 x0 性质 函数在定义域 0 上为增函数 函数在定义域 0 上为减函 数 3 指数函数与对数函数的关系比较 名称指数函数对数函数 解析式y ax a 0 且 a 1 y logax a 0 且 a 1 定义域 0 值域 0 函数值变 化情况 a 1 时 01 11 01 x x x a x 0 a1 时 logax 100 10 10 x x x 0 a1 时 y ax是增函 数 0 a1 时 y logax 是增函数 0 a0 即 m n 范围相同 相对于 1 而言 则 logmn 0 2 当 m 1 n 1 0 即 m n 范围相反 相对于 1 而言 则 logmn 0 有了这个规律 我们再判断对数 值的正负就很简单了 如 log20 等 一眼就看出来了 1 3 题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域 1 y log3x 1 2x 3 x 1 2 y a 0 a 1 1 1 loga x a 分析 定义域即使函数解析式有意义的 x 的范围 解 1 要使函数有意义 必须Error 同时成立 解得Error x 1 定义域为 1 2 要使原函数有意义 需 1 loga x a 0 即 loga x a 1 时 0 x a a a x 0 当 0 aa x 0 当 a 1 时 原函数定义域为 x a x 0 当 0 a0 点评 求与对数函数有关的定义域问题 首先要考虑 真数大于零 底数大于零且不 等于 1 若分母中含有 x 还要考虑不能使分母为零 题型二 对数单调性的应用 1 log43 log34 log的大小顺序为 4 3 3 4 A log34 log43log43 log 4 3 3 4 C log34 log log43 4 3 3 4 D log log34 log43 4 3 3 4 2 若 a2 b a 1 试比较 loga logb logba logab 的大小 a b b a 1 解析 log34 1 0 log43log43 log 4 3 3 4 答案 B 2 解 b a 1 0 1 a b loga 1 且 b 1 logb logba b a b a 故有 loga logb logba1 为增 0 a0 a1 1 a2 0 a2 1 当 a1 a2 1 时 曲线 y1比 y2的图象 在第一象限内 上升得慢 即当 x 1 时 y1 y2 当 0 xy2 而在第一象限内 图象越靠近 x 轴对数函数的底数越大 当 0 a2 a11 时 y1 y2 当 0 xy2即在第四象限内 图象越靠近 x 轴的对数函数的底数越小 已知 loga 1 那么 a 的取值范围是 1 2 分析 利用函数单调性或利用数形结合求解 解析 由 loga1 时 显然符合上述不等式 a 1 当 0 a 1 时 1 2 a 0 a1 或 0 a1 或 0 a1 时 logax 0 x 1 logax 0 0 x 1 2 当 0 a0 0 x 1 logax1 题型三 函数图象的应用 若不等式 2x logax 0 当 x 时恒成立 求实数 a 的取值范围 0 1 2 解 要使不等式 2x 2 2 1 2 1 2 显然这里 0 a log a 即 a 2 1 2 2 a a 2 2 1 2 2 2 1 所求的 a 的取值范围为 a1 时 显然 y20 对 x R 恒成立 即Error Error a 1 错因分析 出错的原因是分不清定义域为 R 与值域为 R 的区别 正解 函数 f x lg ax2 2x 1 的值域是 R 真数 t ax2 2x 1 能取到所有的正数 当 a 0 时 只要 x 即可使真数 t 取到所有的正数 符合要求 1 2 当 a 0 时 必须有Error Error 0 1 B x x 1 C x 1 x 1 D 解析 由题意知 M x x 1 故 M N x 1 x 1 答案 C 2 湖南高考 下列不等式成立的是 A log32 log23 log25 B log32 log25 log23 C log23 log32 log25 D log23 log25log23 log22 1 又 y log3x 在 0 上为增函数 log32 log33 1 log32 log23 log25 答案 A 3 全国高考 若 x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 则 A a b c B c a b C b a c D b c a 解析 x 1 1 lnx 0 1 e 令 t lnx 则 1 t0 a b c a t3 t t t2 1 t t 1 t 1 又 1 t 0 0 t 1 1 2 t 10 c a c a b 答案 C 1 已知函数 f x 的定义域为集合 M g x ln 1 x 的定义域为集合 N 则 1 2x M N 等于 A x x 1 B x x 1 C D x 1 2 x 1 答案 C 2 已知函数 f x lg 若 f a 则 f a 等于 1 x 1 x 1 2 A B C 2 D 2 1 2 1 2 答案 B 解析 f a lg lg 1 1 a 1 a 1 a 1 a lg f a 1 a 1 a 1 2 3 已知 a log23 b log32 c log42 则 a b c 的大小关系是 A c b a B a b c C b c a D c a1 b log3 2b 又因为 2 则 log32 log3 33 1 2 而 log42 log2 2 1 2 所以 b c 即 b c 从而 a b c 1 2 1 2 4 函数 f x lg x 为 A 奇函数 在区间 0 上是减函数 B 奇函数 在区间 0 上是增函数 C 偶函数 在区间 0 上是增函数 D 偶函数 在区间 0 上是减函数 答案 D 解析 已知函数定义域为 0 0 关于坐标原点对称 且 f x lg x lg x f x 所以它是偶函数 又当 x 0 时 x x 即函数 y lg x 在区间 0 上是增函数 又 f x 为偶函数 所以 f x lg x 在区间 0 上是减函数 5 函数 y ax与 y logax a 0 且 a 1 在同一坐标系中的图象只可能为 答案 A 解析 方法一 若 0 a1 则曲线 y ax上升且过 0 1 而曲线 y logax 下降且过 1 0 只有选项 A 满足条件 方法二 注意到 y logax 的图象关于 x 轴对称的图象的表达式为 y logax 又 y logax 与 y ax互为反函数 图象关于直线 y x 对称 则可直接选定选项 A 6 设函数 f x log2a x 1 若对于区间 1 0 内的每一个 x 值都有 f x 0 则实数 a 的取值范围为 A 0 B 1 2 C D 1 2 1 0 1 2 答案 D 解析 已知 1 x 0 则 0 x 1 1 又当 1 x0 即 0 x 10 所以 0 2a 1 即 0 a 1 2 7 若指数函数 f x ax x R 的部分对应值如下表 x 202 f x 0 69411 44 则不等式 loga x 1 0 的解集为 答案 x 1 x 2 解析 由题可知 a 1 2 log1 2 x 1 0 log1 2 x 1 log1 21 解得 x0 即 x 1 1 x 2 故原不等式的解集为 x 1 x1 则函数 y logax 在区间 1 2 上为增函数 其值域不可能为 1 0 故 0 a 1 此时当 x 2 时 y 取最小值 1 即 loga2 1 得 a 1 2 所以 a 1 2 9 已知函数 f x Error 是实数集 R 上的减函数 那么实数 a 的取值范围为 答案 1 7 1 3 解析 函数 f x 为实数集 R 上的减函数 一方面 0 a 1 且 3a 1 0 所以 0 a 1 3 另一方面 由于 f x 在 R 上为减函数 因此应有 3a 1 1 4a loga 1 即 a 1 7 因此满足题意的实数 a 的取值范围为 a0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域是 0 2 对数函数的图象与性质 定义y logax a 0 且 a 1 底数a 10 a0 且 a 1 和指数函数 y ax a 0 且 a 1 互为反函数 一 对数函数的图象 例 1 下图是对数函数 y logax 的图象 已知 a 值取 则图象 3 4 3 3 5 1 10 C1 C2 C3 C4相应的 a 值依次是 A 10 1 5 3 3 4 3 B 5 3 10 1 3 4 3 C 10 1 5 3 3 3 4 D 5 3 10 1 3 3 4 答案 A 解析 方法一 因为对数的底数越大 函数的图象越远离 y 轴的正方向 所以 C1 C2 C3 C4 的 a 值依次由大到小 即 C1 C2 C3 C4 的 a 值依次为 10 1 5 3 3 4 3 方法二 过 0 1 作平行于 x 轴的直线 与 C1 C2 C3 C4 的交点的横坐标为 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 其中 a1 a2 a3 a4 分别为各对数的底 显然 a1 a2 a3 a4 所以 C1 C2 C3 C4 的底值依次由大到小 点评 函数 y logax a 0 且 a 1 的底数 a 的变化对图象位置的影响如下 上下比较 在直线 x 1 的右侧 底数大于 1 时 底数越大 图象越靠近 x 轴 底数 大于 0 且小于 1 时 底数越小 图象越靠近 x 轴 左右比较 比较图象与 y 1 的交点 交点的横坐标越大 对应的对数函数的底数越 大 变式迁移 1 借助图象比较 m n 的大小关系 1 若 logm5 logn5 则 m n 2 若 logm0 5 logn0 5 则 m n 答案 1 二 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 1 y 3 log2x 2 y log0 5 4x 3 3 y log x 1 2 x 分析 定义域即使函数解析式有意义的 x 的范围 解 1 该函数是奇次根式 要使函数有意义 只要对数的真数是正数即可 定义域是 x x 0 2 要使函数 y 有意义 log0 5 4x 3 必须 log0 5 4x 3 0 log0 51 0 4x 3 1 解得 x 1 3 4 定义域是 x 3 4 x 1 3 由Error 得Error 即 0 x 2 或 1 x0 a 1 的定义域 loga 4x 3 解 loga 4x 3 0 当 a 1 时 可化为 loga 4x 3 loga1 4x 3 1 x 1 当 0 a 1 时 可化为 loga 4x 3 loga1 0 4x 3 1 1 时 函数定义域为 1 当 0 a 1 时 函数定义域为 3 4 1 三 对数函数单调性的应用 例 3 比较大小 1 log0 81 5 与 log0 82 2 log35 与 log64 分析 从比较底数 真数是否相同入手 解 1 考查对数函数 y log0 8x 在 0 内是减函数 1 5log0 82 2 log35 和 log64 的底数和真数都不相同 找出中间量 搭桥 再利用对数函数的单调 性 即可求解 l