抛物线知识点汇总及考点例题

1 标准方程 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppyx 0 2 2 ppyx 简图 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 焦点 0 2 p 0 2 p 2 0 p 2 0 p 对称轴x轴x轴y轴y轴 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p x 范围Ryx 0Ryx 0Rxy 0Rxy 0 离心率1 e 2 3 抛物线定义中的 转化 法 利用抛物线的定义解决此类问题 应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化 看到准 线想到焦点 看到焦点想到准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径 例 1 设 P 是抛物线 y2 4x 上的一个动点 1 求点 P 到点 A 1 1 的距离与点 P 到直线 x 1 的距离 之和的最小值 2 若 B 3 2 求 PB PF 的最小值 变式 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点 M 3 m 到焦点的距离等于 5 求抛物线的方 程和 m 的值 4 1 关键 利用抛物线方程确定及应用其焦点 准线等性质时 关键是将抛物线方程化成标准方 程 2 技巧 要结合图形分析 灵活运用平面几何的性质以图助解 例 2 2 1 2013 四川高考 抛物线 y2 4x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是 y2 3 变式 2 抛物线的焦点坐标是 2 1 4 yx A B 1 0 16 1 0 16 C D 01 10 变式 3 抛物线 2 xy 上一点到直线042 yx的距离最短的点的坐标是 A 1 1 B 4 1 2 1 C 4 9 2 3 D 2 4 5 直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2 2px p 0 过其焦点的直线交抛物线于 A B 两点 设 A x1 y1 B x2 y2 则有以下结论 1 AB x1 x2 p 或 AB 为 AB 所在直线的倾斜角 2 x1x2 3 y1y2 p2 2p sin2 p2 4 4 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径 抛物线的通径长为 2p 例 3 2012 福建高考 如图 等边三角形 OAB 的边长为 8 且其三个顶点均在抛物线 E x2 2py p 0 上 3 1 求抛物线 E 的方程 2 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P 与直线 y 1 相交于点 Q 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点 6 变式 4 已知过点 A 4 0 的动直线 l 与抛物线 G x2 2py p 0 相交于 B C 两点 当直线 l 的斜率是 时 4 1 2 AC 1 求抛物线 G 的方程 2 设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b 求 b 的取值范围 AB 7 1 抛物线是一种重要的圆锥曲线 在高考中 经常以抛物线为载体与直线 圆综合考查 主要考 查抛物线的方程及几何性质 直线与抛物线的综合应用 点到直线的距离等 2 直线与抛物线的综合问题 经常是将直线方程与抛物线方程联立 消去x 或y 利用方程的 根与系数的关系求解 但一定要注意直线与抛物线相交的条件 典例 2013 湖南高考 过抛物线 E x2 2py p 0 的焦点 F 作斜率分别为 k1 k2的两条不同直线 l1 l2 且 k1 k2 2 l1与 E 相交于点 A B l2与 E 相交于点 C D 以 AB CD 为直径的圆 M 圆 N M N 为圆心 的公共弦 所在直线记为 l 1 若 k1 0 k2 0 证明 0 到直线 l x y 2 0 的距离为 3 2 2 设 P 为直线 l 上的点 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 其中 A B 为切点 1 求抛物线 C 的方程 2 当点 P x0 y0 为直线 l 上的定点时 求直线 AB 的方程 3 当点 P 在直线 l 上移动时 求 AF BF 的最小值 9 变式 6 已知直线 y 2 上有一个动点 Q 过点 Q 作直线 l1垂直于 x 轴 动点 P 在 l1上 且满足 OP OQ O 为坐标原点 记点 P 的轨迹为 C 1 求曲线 C 的方程 2 若直线 l2是曲线 C 的一条切线 当点 0 2 到直线 l2的距离最短时 求直线 l2的方程 10 课后练习 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 如果抛物线 y 2 ax 的准线是直线 x 1 那么它的焦点坐标为 A 1 0 B 2 0 C 3 0 D 1 0 2 圆心在抛物线 y 2 2x 上 且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A x2 y 2 x 2 y 4 1 0B x2 y 2 x 2 y 1 0 C x2 y 2 x 2 y 1 0D x2 y 2 x 2 y 4 1 0 3 一抛物线形拱桥 当水面离桥顶 2m 时 水面宽 4m 若水面下降 1m 则水面宽为 A 6mB 26mC 4 5mD 9m 4 平面内过点 A 2 0 且与直线 x 2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 A y 2 2xB y 2 4xC y 2 8x D y 2 16x 5 抛物线的顶点在原点 对称轴是 x 轴 抛物线上点 5 m 到焦点距离是 6 则抛物线的方程是 A y 2 2xB y 2 4x C y 2 2xD y 2 4x 或 y 2 36x 6 过抛物线 y 2 4x 的焦点作直线 交抛物线于 A x1 y 1 B x2 y 2 两点 如果 x1 x2 6 那么 AB 11 A 8B 10C 6 D 4 7 把与抛物线 y 2 4x 关于原点对称的曲线按向量 a 3 2 平移 所得的曲线的方程是 A 2 4 3 2 xyB 2 4 3 2 xy C 2 4 3 2 xyD 2 4 3 2 xy 8 过点 M 2 4 作与抛物线 y 2 8x 只有一个