高中数学 第三章 第五课时 两角和与差的余弦、正弦、正切（二）教案 苏教版必修3

1 第五课时第五课时 两角和与差的余弦 正弦 正切两角和与差的余弦 正弦 正切 二二 教学目标 熟练掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式的运用 理解公式 asin bcos sin 其中 cos sin 为任意角 灵活应用上述公式 a2 b2 解决相关问题 培养学生的创新意识 提高学生的思维素质 教学重点 利用两角和与差的正 余弦公式将asin bcos 形式的三角函数式化为某一个角的 三角函数形式 教学难点 使学生理解并掌握将asin bcos 形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式 并能灵活应用其解决一些问题 教学过程 复习回顾 同学们 观察这些关系式 不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式 的倒写形式 有时 直接利用这种形式可使问题简化 这节课 我们就来探讨一下它的运用 讲授新课 例 1 求证 cos sin 2sin 3 6 证明 右边 2sin 2 sincos cossin 6 6 6 2 cos sin 左边 1 2 3 2 由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉 所以要证此式容易想到从右边往左边推证 只要将右边按照两角和的正弦公式展开 化简便可推出左边 也可这样考虑 左边 cos sin 2 cos sin 3 1 2 3 2 2 sincos cossin 2sin 右边 6 6 6 其中令 sin cos 1 2 6 3 2 6 例 2 求证 cos sin 2cos 3 3 分析 要证此式 可从右边按照两角差的余弦公式展开 化简整理可证此式 若从左边推证 则要仔细分析 构造形式 即 左 cos sin 2 cos sin 2 coscos sinsin 2cos 3 1 2 3 2 3 3 2 3 其中令 cos sin 1 2 3 3 2 3 综合上两例可看出对于左式 cos sin 可化为两种形式 2sin 或 3 6 2cos 右边的两种形式均为一个角的三角函数形式 那么 对于asin bcos 的 3 式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢 推导公式 asin bcos sin cos a2 b2 由于 2 2 1 sin2 cos2 1 1 若令 sin 则 cos asin bcos sin sin cos cos cos a2 b2a2 b2 或原式 cos a2 b2 2 若令 cos 则 sin asin bcos sin cos cos sin sin a2 b2 a2 b2 例如 2sin cos sin cos 22 12 2 5 5 5 5 若令 cos 则 sin 2 5 5 5 5 2sin cos sin cos cos sin sin 5 5 若令 sin 则 cos 2 5 5 5 5 2sin cos cos cos sin sin 5 cos 或原式 cos 55 看来 asin bcos 均可化为某一个角的三角函数形式 且有两种形式 课堂练习 1 求证 1 sin cos sin 2 cos sin sin 3 2 1 2 62 4 3 sinx cosx 2cos x 2 4 3 证明 1 sin cos sin 3 2 1 2 6 证法一 左边 sin cos cos sin sin 右边 6 6 6 证法二 右边 sin cos cos sin sin cos 左边 6 6 3 2 1 2 2 cos sin sin 2 4 证法一 左边 cos sin sincos cossin 2 2 2 2 22 4 4 sin 右边 2 4 证法二 右边 sin cos cos sin 2 4 4 sin cos cos sin 左边 2 2 2 2 2 3 sinx cosx 2cos x 2 4 证法一 左边 sinx cosx 2 sinx cosx 2 2 2 2 2 2 cosxcos sinxsin 2cos x 右边 4 4 4 证法二 右边 2cos x 2 cosxcos sinxsin 4 4 4 2 cosx sinx cosx sinx 左边 2 2 2 22 2 利用和 差 角公式化简 1 sinx cosx 2 3sinx 3cosx 3 2 1 2155 3 sinx cosx 4 sin x cos x 3 2 6 3 6 6 3 解 1 sinx cosx sinxcos cosxsin sin x 3 2 1 2 6 6 6 或 原式 sinxsin cosxcos cos x 3 3 3 2 3sinx 3cosx 6 sinx cosx 1555 3 2 1 2 6 sinxcos cosxsin 6sin x 5 6 65 6 4 或 原式 6 sinsinx cos cosx 6cos x 5 3 35 3 3 sinx cosx 2 sinx cosx 3 3 2 1 2 2sin x 2cos x 6 3 4 sin x cos x 2 6 3 6 6 3 sin x cos x 2 3 1 2 3 3 2 3 sinsin x coscos x 2 3 6 3 6 3 cos x cos x 2 3 6 3 2 3 6 或 原式 sin x cos cos x sin 2 3 3 3 3 3 sin x sin x 2 3 3 3 2 3 2 3 课时小结 通过本节的学习 要在熟练掌握两角和与差的余弦 正弦 正切公式的基础上 推导并 理解公式 asin bcos sin 其中 cos sin a2 b2 mcos nsin cos 其中 cos sin m2 n2 进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形 解决一些问题 课后作业 课本 P96 4 6 P101 4 5 5 两角和与差的余弦 正弦 正切 一 1 若 0 sin cos a sin cos b 则 4 A ab 1 B a b C a b D ab 2 2 已知 为锐角 cos cos 求 的值 1 7 11 14 3 已知 cos sin 求 sin2 的值 2 3 4 12 13 3 5 4 若A B 求 1 tanA 1 tanB 的值 4 5 化简 6 6 化简 tan10 3 cos100 sin500 7 求证 tan x sinx cosx sinx cosx 4 8 已知 tanA与 tan A 是x2 px q 0 的解 若 3tanA 2tan A 求p和q的 4 4 值 7 两角和与差的余弦 正弦 正切 一 答案 1 C 2 已知 为锐角 cos cos 求 的值 1 7 11 14 分析 注意观察 及 间的关系 先求角 的一个三角函数值 再根据 为锐角求出 解 为锐角 且 cos sin 1 71 cos2 43 7 又 均为锐角 0 且 cos 11 14 sin 1 cos2 53 14 则 cos cos cos cos sin sin 11 14 1 7 53 14 43 7 1 2 3 评述 1 在和 差 角公式的运用中 要注意和 差的相对关系 如 2 求角的基本步骤 求角的范围 求角的一个三角函数值 写出满足条件的角 3 已知 cos sin 求 sin2 的值 2 3 4 12 13 3 5 分析 注意观察 和 2 间的关系 再选择适当的公式进行计算 解 由题设知 为锐角 所以 sin 5 13 又 是第三象限角 cos 4 5 由 2 得 sin2 sin sin cos cos sin 56 65 评述 在三角变换中 角的变换是常用技巧 本题是将角 2 变换成 使已知式中的角与待求式中的角联系起来 4 若A B 求 1 tanA 1 tanB 的值 4 分析 注意待求式与正切和角公式间的联系 将正切和角公式变形解题 解 1 tanA 1 tanB 1 tanA tanB tanAtanB 又 tan A B 且A B tanA tanB 1 tanAtanB 4 8 tan A B 1 tanA tanB 1 tanAtanB 即 tanA tanB tanAtanB 1 1 tanA 1 tanB 2 评述 在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系 并将公式 进行变形加以运用 5 化简 分析 注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较 解 tan 60 18 tan42 tan600 tan180 1 tan600tan180 评述 在三角函数的化简与求值时 通常将常数写成角的一个三角函数 再根据有关公 式进行变形 6 化简 tan10 3 cos100 sin500 分析 切 弦混合式在不能直接运用公式的情况下 考虑将切化弦 解 原式 tan10 tan60 cos100 sin500 sin100 cos100 sin600 cos600 cos100 sin500 2 sin 500 cos100 cos600 cos100 sin500 1 cos600 评述 1 切化弦是三角函数化简的常用方法之一 2 把函数值化成 tan60 在本题的化简中是必经之路 7 求证 tan x sinx cosx sinx cosx 4 证明 左边 tan x 右边 4 或 右边 tan x 4 左边 sinx cosx sinx cosx 8 已知 tanA与 tan A 是x2 px q 0 的解 若 3tanA 2tan A 求p和q的 4 4 值 分析 因为p和q是两个未知数 所以须根据题设条件列出关于p q的方程组 解出 p q 解 设t tanA 则 tan A 4 1 tanA 1 tanA 1 t 1 t 由 3tanA 2tan A 得 3t 4 2 1 t 1 t 解之得t 或t 2 1 3 9 当t 时 tan A 1 3 4 1 t 1 t 1 2 P tanA tan A q tanAtan A 4 5 6 4 1