高中数学 圆的方程（2）教师用 苏教版必修2

用心 爱心 专心1 课题 圆的方程课题 圆的方程 2 2 一 教学目标 一 教学目标 一 知识与技能 1 掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程 2 能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题 3 解题过程中能分析和运用圆的几何性质 二 过程与方法 三 情感态度与价值观 二 教学重点难点 二 教学重点难点 重点 圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用 难点 圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程 三 教学过程 三 教学过程 一 问题情景 一 问题情景 1 情境 方程 22 1 2 4xy 表示怎样的图形 2 问题 方程 22 1 2 4xy 是几元几次方程 二元二次方程一定 表示圆吗 3 观察方程 22 1 2 4xy 整理后的形式 22 2410 xyxy 得到是关于 x y的二元二次方程 且 22 xy项的系数相等不为零 不含有 xy项 反过来 像这样的二元二次方程 22 0 xyDxEyF 一定表 示圆吗 二 建构数学 二 建构数学 1 圆的一般方程 将方程 22 0 xyDxEyF 配方 得 2222 1 4 224 DE xyDEF 与圆的标准方程进行比较得到 1 当 22 40DEF 时 方程表示以 22 DE 为圆心 用心 爱心 专心2 22 4 2 DEF 为半径的圆 2 当 22 40DEF 时 方程表示一个点 22 DE 3 当 22 40DEF 时 方程无实数解 即方程不表示任何图形 方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 叫做圆的一般方程 说明 圆的一般方程的特点 当二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF 具有条件 1 2 x和 2 y的系数相同 不等于零 即0AC 2 没有xy项 即0B 3 22 40DEAF 它才表示圆 条件 3 通过将方程同除以A或C配方不难得出 三 数学运用 三 数学运用 例 1 求过三点 12 0 0 1 1 4 2 OMM的圆的方程 分析 由于 12 0 0 1 1 4 2 OMM不在同一条直线上 因此经过 12 O M M三点有唯一的圆 解 法一 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF 12 O M M三点都在圆上 12 O M M三点坐标都满足所设方程 把 12 0 0 1 1 4 2 OMM代入 所设方程 得 0 20 42200 F DEF DEF 解之得 8 6 0 D E F 所以 所求圆的方程为 22 860 xyxy 法二 也可以求 1 OM和 2 OM中垂线的交点即为圆心 圆心到O的距离就 是半径也可以求的圆的方程 22 860 xyxy 法三 也可以设圆的标准方程 222 xaybr 将点的坐标代入后 解方程组也可以解得 22 4 3 25xy 例 2 若方程 222 22220 xymxmym 表示一个圆 且该圆 的圆心位于第一象限 求实数m的取值范围 用心 爱心 专心3 解 将圆方程配方得 2 2 11 2xmymm 则1 20m 1 2 m 又圆心 1mm 在第一象限 0 01 10 m m m 综上 1 0 2 m 例 3 圆C过点 1 2 3 4AB 且在x轴上截得的弦长为6 求圆C的 方程 解 设所求圆为 22 0 xyDxEyF 令0y 得 2 0 xDxF 则 1212 xxD x xF 由 2 211212 46xxxxx x 得 2 436DF 将点 1 2 3 4AB代入 22 0 xyDxEyF 得25 3425DEFDEF 解方程组得 12 22 27DEF 或8 2 7DEF 则所求圆为 22 1222270 xyxy 或所求圆为 22 8270 xyxy 思考 是否有其他方法 例 4 求圆心在直线 0l xy 上 且过两圆 22 1 210240Cxyxy 和 2 2 Cx 2 2280yxy 交点的圆的方程 略解 联立两圆方程解得交点为 4 0 0 2 从而可求圆方程 22 3310 xy 思考 类似直线系 能否用圆系方程来解 四 巩固练习 四 巩固练习 用心 爱心 专心4 1 圆方程 22 40 xyx 的圆心坐标 半径 2 圆方程 22 4250 xyxy 的圆心方程坐标 半径 3 求经过点 A 4 1 B 6 3 C 3 0 的圆的方程 4 如果方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 所表示的曲线关 于直线 y x 对称 则 D E F 有何关系 五 课堂小结 五 课