高中数学 第2章《推理与证明》素材 苏教版选修2-2

用心 爱心 专心 推理与证明推理与证明 中的数学思想中的数学思想 有关 推理与证明 中的问题蕴含着许多数学思想 若根据题设特点 灵活地运用相 应的数学思想 往往能迅速找到解题思路 从而使问题简捷 准确地获解 一 类比思想 所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似 从而推断出这两个对象 之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式 由特殊到一般 是解决这类问题 的思维主线 例 1 已知 12 i xin 且 12 1 n xxx 求证 12 1 n xxxn 分析 我们可先把它类比为一简单题目 已知 1 0 x 1 0 x 且 12 1xx 求 证 12 12xx 该题的证明思路为 1212 21x xxx 12 01x x 则 12 12xx 即 2 12 12xx 12 12xx 这一证明过程中用到了基本不等式和配方法 这正是要寻找的证 明原命题的思路和方法 证明 由基本不等式有02 ijij x xxx 则 112 01 1 ijnijn x ynxxxn 121 12 nijnij xxxx yn 即 2 12 1 n xxxn 12 1 n xxxn 二 转化思想 转化思想就是在解决数学问题时 将有待解决的问题 通过某种转化 归结为一个已 经解决或比较容易解决的问题 并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答 例如 分析法是证明命题的一种方法 当问题直接证明思路不明显时 常常考虑运用分析法 而 运用分析法解题的关键是将结论适当转化 例 2 设实数xy 满足 2 0yx 若01a 求证 1 log log 2 8 xy aa aa 分析 直接证明思路不明显 因此可以先结合条件将结论适当转化 由01a 只 需转化为证2 xy aaa 又2 xyx y aaa 因此只需转化为证明 1 4 xy 再由 用心 爱心 专心 2 yx 转化为证明 2 1 4 xx 因此运用分析法即可简捷得证 证明 要证 1 log log 2 8 xy aa aa 因为01a 所以只需证 1 8 xy aaa 又 xyx y aaa 因此只需证 1 8 xy aaa 只需证 1 4 xy 即证 2 1 4 xx 式显然成立 故原不等式成立 点评 本题在寻找使结论成立的条件 时 是先根据函数的单调性 将对数不等式 指数不等式逐步转化为 从而把问题化难为易 三 正难则反思想 有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时 可从其反面进行思考 通过否定结论的反 面来肯定结论正确 这就是正难则反的思想 运用这一数学思想解决问题 往往能收到化 难为易 化繁为简的奇效 反证法就是 正难则反 的一种证明方法 它不是直接证明命 题结论正确 而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性 因而对于那些 结论的 反面 比结论本身更具体 更明确 更简单的命题 则适宜用反证法来证 例 3 设函数 f x的定义域是区间 01 0 1 ff 且对 1 x 1 01 x 12 xx 均有 2121 2f xf xxx 求证 对 1 x 2 01 x 12 xx 均有 21 1f xf x 分析 因直接证明较为困难 于是考虑使用反证法 证明 假设 1 x 2 01 x 12 xx 使得 21 1f xf x 不妨设 12 xx 则 2121 0 1 f xf xf xfff x 21212112 0 0 202122222 f f xfff xxxxxxx 所以 12 1 0 2 xx 又由条件可得 2121 1 221 2 f xf xxx 这与假设矛盾 故原命题成立 点评 运用反证法证题时 须注意三点 1 必须周密考察原结论 防止否定有所遗漏 2 推理过程必须完全正确 否则不能判定非命题是错误的 3 在推理过程中 可以使用已知条件 推出的矛盾必须很明确 毫不含糊 用心 爱心 专心 四 归纳递推思想 归纳递推思想就是在解决问题时 从特殊情况入手 通过观察 分析 概括 猜想出 一般性结论 然后用数学归纳法予以证明 这一数学思想方法在解决探索性问题 存在性 问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 其思维模式是 观察 归纳 猜 想 证明 解题的关键在于正确的归纳猜想 例 4 已知点的序列 0 nn A x n N 其中 1 0 x 2 0 xa a 3 A是线段 12 A A的中点 4 A是线段 23 A A的中点 n A是线段 21nn AA 的中点 1 写出 n x与 1n x 2n x 之间的关系式 3 n 2 设 1nnn axx 计算 1 a 2 a 3 a 由此推测数列 n a的通项公式 分析 利用递推公式及归纳猜想是解题的关键 解 1 当3n 时 12 2 nn n xx x