小学奥数16数阵图

1 10 5 数阵图数阵图 1 10 5 1 基础知识基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图 幻方一般均为正方形 图中纵 横 对角线 数字和相等 数阵则不仅有正方形 长方形 还有三角形 圆 多边形 星形 花瓣形 十字形 甚至多种图形的组合 变幻多姿 奇趣迷人 一般按数字的组合形式 将其分为 三类 即辐射型数阵 封闭型数阵 复合型数阵 数阵的特点是 每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等 它的表达形式多为给出一定数量的数字 要求填入指定的图中 使其具备数阵的特点 解数阵问题的一般思路是 1 求出条件中若干已知数字的和 2 根据 和相等 列出关系式 找出关键数 重复使用的数 3 确定重复用数后 对照 和相等 的条件 用尝试的方法 求出其他各数 有时 因数字存在不同的组合方法 答案往往不是唯一的 1 10 5 2 辐射型数阵辐射型数阵 例 1 将 1 5 五个数字 分别填入下图的五个 中 使横 竖线上的三个数字和都是 10 解 已给出的五个数字和是 1 2 3 4 5 15 题中要求横 竖每条线上数字和都是 10 两条线合起来便是 20 了 20 15 5 怎样 才能增加 5 呢 因为中心的一个数是个重复使用数 只有 5 连加两次才能使五个数字的和 增加 5 关键找到了 中心数必须填 5 确定中心数后 按余下的 1 2 3 4 分别填在 横 竖线的两端 使每条线上数的和是 10 便可 例 2 将 1 7 七个数字 分别填入图中的各个 内 使每条线上的三个数和相等 解 图中共有 3 条线 若每条线数字和相等 三条线的数字总和必为 3 的倍数 设中 心数为 a 则 a 被重复使用了 2 次 即 1 2 3 4 5 6 7 2a 28 2a 28 2a 应能 被 3 整除 28 2a 3 28 3 2a 3 其中 28 3 9 余 1 所以 2a 3 应余 2 由此 便可推得 a 只能是 1 4 7 三数 当 a 1 时 28 2a 30 30 3 10 其他两数的和是 10 1 9 只要把余下的 2 3 4 5 6 7 按和为 9 分成三组填入两端即可 同理可求得 a 4 a 7 两端应填入 的数 例 3 将从 1 开始的连续自然数填入各 中 使每条线上的数字和相等 解 图中共有三条线 若每条线数字和相等 三条线的数字总和必为 3 的倍数 设中 心数为 a a 被重复使用了两次 即 1 2 3 10 2a 55 2a 55 2a 应能被 3 整除 55 2a 3 55 3 2a 3 其中 55 3 18 余 1 所以 2a 3 应余 2 由此 可推知 a 只能在 1 4 7 中挑选 在 a 1 时 55 2a 57 57 3 19 即中心数若填 1 各条线上的数字和应为 19 但是除掉 中心数 1 在其余九个数字中 只有两组可满足这一条件 即 9 7 2 18 8 6 4 18 7 5 3 15 所以 a 不能填 1 经试验 a 7 时 余下的数 组合为 12 19 7 12 也不能满足条件 因此 确定 a 只能填 4 例 4 将 1 9 九个数字 填入下图各 中 使纵 横两条线上的数字和相等 解 1 9 九个数字和是 1 2 3 9 5 9 45 把 45 平分成两份 45 2 22 余 1 这就是说 若使每行数字和为 23 则需把 1 重复加一次 即中心数填 1 若使数字和 为 24 中心数应填 3 总之 因 45 2 余数是 1 只能使 1 3 5 7 9 各个奇数重复 使用 才有可能使横 竖行的数字和相等 因而 此题可有多种解法 但中心数必须是 9 以内的奇数 例 5 将 1 11 十一个数字 填入下图各 中 使每条线段上的数字和相等 解 图中共有五条线段 全部数字的总和必须是 5 的倍数 每条线上的数字和才能相 等 1 11 十一个数字和为 66 66 5 13 余 1 必须再增加 4 可使各线上数字和为 14 共五条线 中心数重复使用 4 次 填 1 恰符合条件 此题的基本解法是 中心数重复使用次数与中心数的积 加上原余数 1 所得的和必 须是 5 的倍数 据此 中心数填 6 11 均可得解 1 10 5 3 封闭型数阵封闭型数阵 例 1 把 2 3 4 5 6 7 六个数字 分别填入 中 使三角形各边上的数字和都是 12 解 要使三角形每边上的数字和都是 12 则三条边的数字和便是 12 3 36 而 2 3 4 5 6 7 27 36 与 27 相差 9 三个角顶的数字都重复使用两次 只有这三个数字的和是 9 才能符合条件 确定了角顶的数字 其他各数通过尝试便容易求得了 这题还可有许多解法 上图只是其中一种 例 2 把 1 9 九个数字 分别填入下图 中 使每边上四个数的和都是 21 解 要使三角形每条边上的数字和是 21 则三条边的数字和便是 21 3 63 而 1 9 九个数字的和只有 45 45 比 63 少 18 只有使三角形三个顶角的数字和为 18 重复使用两次 才能使总和增加 18 所以应确定顶点的三个数 下面是填法中的一种 确定了顶角的数后 其他各数便容 易了 例 3 下图是四个互相联系的三角形 把 1 9 九个数字 填入 中 使每个三角形中数 字的和都是 15 解 每个三角形数字和都是 15 四个三角形的数字和便是 15 4 60 而 1 9 九个 数字和只有 45 45 比 60 少 15 怎样才能使它增加 15 呢 靠数字重复使用才能解决 中间的一个三角形 每个顶角都联着其他三角形 每个数字都被重复使用两次 因此 只要使中间的一个三角形数字和为 15 便可以符合条件 因此 它的三个顶角数字 可以 分别为 1 9 5 2 8 5 2 7 6 4 6 5 及 2 9 4 3 8 4 3 7 5 8 6 1 把中间的三角形各顶角数字先填出 其他各个三角形便容易解决了 前页下图是其中 的一种 例 4 把 2 10 九个数字 分别填入下图 中 使每条直线上的三个数和为 15 解 2 10 九个数字的和为 2 3 4 10 6 9 54 若排成每个三角形每边的数字和都是 15 图中含有每边都三个数字的三角形有两个 共六条边 数字总和应是 15 6 90 54 比 90 少 36 在外围的六个数都被重复使用了两次 它们又分属于两个三角形 所以 每个三角形 三个顶角的数和应为 36 2 18 这样 便可以先填外三角形三个顶角的数 三个数和为 18 的有很多组 可以通过试验筛选出适宜的一组 填好了外围三角形各个 数后 里面的三角形 因为顶角的数已知 其他各数便容易填写了 上面是填法中的一种 例 5 把 1 10 十个数字 分别填入下图 中 使每个三角形三个顶角的三个数字和相 等 解 图中有三个三角形 顶角数字互不联系 中心的一个数独立于各个三角形之外 因此 要使各三角形顶角的数字和相等 去掉中心数后 数字总和应是 3 的倍数 而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复 如 以 10 为中心数 可填为如上图样 例 6 将 1 12 分别填入下图 中 使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等 解 图中共有四个三角形 共有六个边 1 12 的数字和是 78 每条边上的数字和应 为 78 6 13 这样 我们可以推想 因为内部的三条边都被重复计算两次 只要每个数增加 1 十 二个数的总和便增加 6 它们同样可以填出来 因而 本题的解法是很多的 7 把九个数分别填入下图 中 使每条直线上的三个 12 7 12 5 4 3 3 2 12 1 6 1 4 1 3 1 2 1 数的和都相等 解 九个分数排成方阵 使纵 横 对角线的三个数和相等 这已经符合幻方的要求 了 因此 可以按幻方的制作方法求解 这十二个分数 按从小到大的顺序排列是 4 3 3 2 12 7 2 1 12 5 3 1 4 1 6 1 12 1 把它们按序排列为斜方形 将上 下两数 左 右两数对调 再把中间四数向外拉出 这样重新组成的数阵 便是求得的解了 例 8 将 1 8 八个数字 分别填入下图 中 使每个小三角形顶点上三数之和为 12 解 图中共有四个小三角形 每个三角形顶点数字的和若都是 12 数字总和便是 12 4 48 可是 1 8 八个数字总和只有 36 36 比 48 少 12 只有靠共用顶角上数的重复 使用 才能解决 因此 必须把四个公用顶角的数字和填成 12 把 1 8 八个数四个一组 和为 12 的有 6 3 2 1 5 4 2 1 上述两组中 经验证 只有 6 3 2 1 可以作公用顶点的数字 例 9 在下图五个 内 各填入一个自然数 使图中八个三角形中顶点的数字和各不相 同 求能满足这个条件的自然数中最小的五个数 解 能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组 但自然数中能 满足这个条件的最小自然数却只有一组 最小的一组自然数中的五个数 若有两个相同的 其中三个数的和可以多到有 7 个不同值 因此 五个数互不相同 如果这五个数是 1 2 3 4 5 则其中三个数的和有如下组合方式 1 2 3 6 2 3 4 9 3 4 5 12 1 2 4 7 1 3 4 8 2 3 5 10 2 4 5 11 这样 总共只有七种不同的和 而图中共八个三角形 可知 1 2 3 4 5 五个自然 数不能满足条件 例 10 在下列图中三个正方形中 每个正方形的四个顶点上 只填入 1 2 3 4 四数 使图中八个三角形顶点数字和互不相同 解 图中 顶角在大正方形边上的四个三角形 顶角都分别为两个三角形共用 只有 正方形的四个角分别只属于一个三角形 所以 四个三角形顶点数字的和应等于 1 2 3 4 3 30 30 不是 4 的倍数 因而 外面的四个三角形顶点数字和不可能相等 同理 里面的四 个三角形顶点数字和也不可能相等 题中要求 每个三角形顶点数字和不相同 1 4 四个数之和最小值是 1 1 2 4 最 大值是