高三数学 圆锥曲线中的四心知识点分析 大纲人教版

1 圆锥曲线中的圆锥曲线中的 四心四心 摘要 通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合 达到训练学生的思维 提升学生的解题 能力 同时起到培养学生的说思路 练本领 强素质的作用 关键词 思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力 正文 圆锥曲线是每年高考的重点内容之一 从近几年的命题风格看 既注重知识又 注重能力 既突出圆锥曲线的本质特征 又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交 汇 而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水 面积 弦长 最值等成为研究的常规问题 四 心 走进圆锥曲线 让我们更是耳目一新 因此 在高考数学第二轮复习中 通过让学生 研究三角形的 四心 与圆锥曲线的结合问题 快速提高学生的数学解题能力 增强学生 的信心 从而战胜高考 例 1 已知椭圆E的中心在坐标原点 焦点在坐标轴上 且经过 2 0 A 2 0 B 3 1 2 C 三点 求椭圆E的方程 若点D为椭圆E上不同于A B的任意一点 1 0 1 0 FH 当 DFH内切圆的面积最大时 求 DFH内心的坐标 思维流程 思维流程 解题过程 解题过程 设椭圆方程为1 22 nymx 0 0 nm 得出点坐标为D 3 3 0 由椭圆经过 A B C 三 点 设方程为1 22 nymx 得到的方程nm 组 解出nm 由内切圆面积最大DFH 转化为面积最大DFH 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点D 面积最大值为DFH 3 内切圆 周长rS DFH 2 1 3 3 内切圆 r 2 将 2 0 A 2 0 B 3 1 2 C代入椭圆E的方程 得 41 9 1 4 m mn 解得 11 43 mn 椭圆E的方程 22 1 43 xy 2FH 设 DFH边上的高为hhS DFH 2 2 1 当点D在椭圆的上顶点时 h最大为3 所以 DFH S 的最大值为3 设 DFH的内切圆的半径为R 因为 DFH的周长为定值 6 所以 6 2 1 RS DFH 所以R的最大值为 3 3 所以内切圆圆心的坐标为 3 0 3 点石成金 点石成金 的内切圆的内切圆 的周长 rS 2 1 例 2 椭圆长轴端点为BA O为椭圆中心 F为椭圆的右焦点 且1 FBAF 1 OF 求椭圆的标准方程 记椭圆的上顶点为M 直线l交椭圆于QP 两点 问 是否存在直线l 使点 F恰为PQM 的垂心 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 思维流程 思维流程 消元 2 1ab 写出椭圆方程 由 1AFFB 1OF 1ac ac 1c 1 PQ k 由 F 为的重心PQM PQMF MPFQ 22 22 yxm xy 22 34220 xmxm 两根之和 两根之积 0MPFQ 得出关于 m 的方程 解出 m 3 解题过程 解题过程 如图建系 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 则1c 又 1 FBAF即 22 1acacac 2 2a 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y 假设存在直线l交椭圆于QP 两点 且F恰为PQM 的垂心 则 设 1122 P x yQ xy 0 1 1 0 MF 故1 PQ k 于是设直线l为 yxm 由 22 22 yxm xy 得 22 34220 xmxm 1221 0 1 1 MP FQx xyy 又 1 2 ii yxm i 得 1221 1 1 0 x xxm xm 即 2 1212 2 1 0 x xxxmmm 由韦达定理得 2 2 224 2 1 0 33 mm mmm 解得 4 3 m 或1m 舍 经检验 4 3 m 符合条件 点石成金 点石成金 垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边 然后转化为两向量乘积为零 例 3 在椭圆 C 1 34 22 yx 中 21 FF 分别为椭圆 C 的左右两个焦点 P 为椭圆 C 上的且在第一象限内的一点 21F PF 的重心为 G 内心为I 求证 21F FIG 已知A为椭圆 C 上的左顶点 直线l过右焦点 2 F与椭圆 C 交于NM 两点 若 4 ANAM 的斜率 21 k k满足 2 1 21 kk 求直线l的方程 思维流程 思维流程 解题过程 解题过程 设 00 yxP 重心 yxG 由已知可知 0 1 1 F 0 1 2 F 则 3 1 1 0 x x 3 00 0 y y 3 3 00 yx G 由 0021 2 1 21 yyFFS FPF 又 内切圆 rFFPFPFS FPF 2 1 2121 21 0 3 21 yrS FPF 内切圆 内心 I 的纵坐标为 3 0 y IG 21F F 即 21F FIG 若直线l斜率不存在 显然 12 0kk 不合题意 由已知得 设 1 1 0 F 2 1 0 F 00 P xy重心 00 33 xy G 12 1200 1 2 PF F SFFyy 内切圆 rFFPFPFS FPF 2 1 2121 21 0 3 21 yrS FPF 内切圆 3 0 y r 内 I 的纵坐标为 3 0 y IG 21F F 21F FIG 由 可知 的斜率一定存在且不为 0 设为 k 2 1 21 kk l 的方程为l 1 xky 消去 y 1 34 1 22 yx xky 得01248 43 2222 kxkxk 2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 利用 2 1 21 kk 得的方程k解出k 5 则直线 l 的斜率存在 设直线l为 1 xky 直线l和椭交于 11 M x y 22 N xy 将 1243 1 22 中得到代入 yxxky 01248 43 2222 kxkxk 依题意 11099 2 kkk或得 由韦达定理可知 2 2 11 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 又 2 1 2 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x k x y x y kk ANAM 12 11 23 22 k xx 而 4 2 4 2 1 2 1 2121 21 21 xxxx xx xx 2 2 222 22 3 12 43 416124 43 48 k k kkk kk 从而 2 11 3 12 32 2 2 kk k kkk ANAM 求得2k 符合 1 k 故所求直线 MN 的方程为 1 2 xy 点石成金 点石成金 重心的特点为坐标 3 3 321321 yyyxxx 例 4 已知双曲线 C 以椭圆 1 34 22 yx 的焦点为顶点 以椭圆的左右顶点为焦点 求双曲线 C 的方程 若 21 F F为双曲线 C 的左右焦点 P为双曲线 C 上任意一点 M为 21F PF 的外心 且 60 21 PFF 求点M的坐标 思维流程 思维流程 由已知易得双曲线中3 2 1 bca写出双曲线的方程 6 解题过程 解题过程 由已知可知 双曲线的2 3 1 cba 则双曲线的方程为1 3 2 2 y x 因为M为外心 所以 21 MFMF 则点M在线段 21F F的垂直平分线上即在y轴上 又同弧上的圆心角是圆周角的 2 倍 2121 2PFFMFF 则 0 21 0 21 30 120 FMFMFF 在OMFRt 1 中 0 11 30 2 OMFOF 则 3 32 MO 即 3 32 0 M 点石成金 点石成金 外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点 能力提升 1 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程 解 如图 1 设点P 00 y x 内心I为 yx 焦点 0 0 21 cFcF 11 rPF 22 rPF 则 021 2exrr 过内心I作IFIEID 垂直 2121 PFPFFF 于点FED 点I是 PFF 21 的内心 点FED 是内切圆的切点 图 1 是是的外心M 21F PF 在 y 轴上 且M 2121 2PFFMFF 0 21 0 21 30 120 FMFMFF 在中 OMFRt 1 0 11 30 2 OMFOF 2 3 3 MO 2 3 0 3 M 7 由切线长定理 得方程组 cDFDF rFFPF rEFPE 2 21 22 11 结合 021 2exrr 解得 01 excDF 而xcDF 1 0 exx 既 e x x 0 又 PFF 21 面积 0 ycS ycayPFPFFFS F 2 1 121 0 ycyca 既 0 y y c ca 将 代入 0 1 2 2 0 2 2 0 ba b y a x 得1 2 22 2 2 2 ca cb y c x 可知 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆 它的离心率是 e e 1 2 已知双曲线的中心在原点 右顶点为 1 0A 点P Q在双曲线的右支上 点 0M m到直线AP的距离为1 1若直线AP的斜率为k 且 3 3 3 k 求实数m的取值范围 2当21m 时 APQ 的内心恰好是点M 求此双曲线的方程 2 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程 解 如图 2 设点P 00 xy 垂心H为 yx 焦 点 0 0 21 cFcF 则 1 ycxHF 002 yxcPF HF1 2 PF 8 ycx 00 cxy A 0 图 2 又 0 xx 22 0 0cxyy 而 22 00 22 1 0 xy ab ab 22 22222 00 22 bb yaxax aa 将 式代入 式 整理得 22 22 a cx y b ax 由方程可以看出 椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线 它与哪些初等函数图 象有关 请大家思考 3 已知动圆过定点F 1 0 且与定直线1 y相切 求动圆圆心P的轨迹W的方程 设过点F的直线l与轨迹W相交于A B两点 若在直线1 y存在点C 使 ABC 为正三角形 求直线l方程 当直线l得斜率大于零时 求ABC 外心的坐标 解 设动圆圆心为 yxP 根据题意 得1 1 22 yyx 化简得yx4 2 故动圆圆心P的轨迹W的方程为yx4 2 设直线l的方程为1 kxy 2211 yxByxA 弦AB中点为 00 yxM 当0 k时 由 yx y 4 1 2 得 1 2 1 2 BA 此时4 AB 有图形的对称性可知 1 y上的点C只可能是 1 0 而22 11 20 22 AC 故ACAB 不合题意 当0 k时 由 yx kxy 4 1 2 得044 2 kxx 242 4 4 2 21212121 kxxkyyxxkxx 9 则12 2 2 2 221 0 21 0 k yy yk xx x 即 12 2 2 kkM 若在直线1 y上存在点C 使ABC 为正三角形 则设直线 12 2 1 2 kkx k yMC 与1 y联立 解得 3 24kkx 即 1 24 3 kkC 由ABCM 2 3 得 2 2 3 22 22 21 2223 yykkk 即 222223 44 4 3 22 22 kkkk 化简得 22222 1 2 1 kkk 即2 2 2 kk 故直线l的方程为12 xy 由 知 2 k 直线l的方程为12 xy 点 1 28 C yx xy 4 12 2 得0