抽屉原理精华及习题

第九讲第九讲 抽屉原理抽屉原理 一 一 知识点 知识点 1 把 27 个苹果放进 4 个抽屉中 能否使每个抽屉中苹果数均小于等于 6 那么至少有 一个抽屉中的苹果数大于等于几 2 把 25 个苹果放进 5 个抽屉中 能否使每个抽屉中苹果数均小于等于 4 那么至少有 一个抽屉中的苹果数大于等于几 上述两个结论你是如何计算出来的 规律 规律 用苹果数除以抽屉数 若余数不为零 则 答案 为商加 1 若余数为零 则 答案 为商 抽屉原则一抽屉原则一 把个以上的苹果放到个抽屉中 无论怎样放 一定能找到一个抽屉 它里面至nn 少有两个苹果 抽屉原则二 抽屉原则二 把多于 个苹果放到个抽屉中 无论怎样放 一定能找到一个抽屉 它里面至少mnn 有 1 个苹果 m 二 二 基础知识训练 再蓝皮书 基础知识训练 再蓝皮书 1 把 98 个苹果放到 10 个抽屉中 无论怎么放 我们一定能找到一个含苹果 最多的抽屉 它里面至少含有 个苹果 2 1000 只鸽子飞进 50 个巢 无论怎么飞 我们一定能找到一个含鸽子最多的巢 它里面至少含有 只鸽子 3 从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果 无论怎么拿 我们一定能找到一个拿苹果最多 的 抽屉 从它里面至少拿出了 个苹果 4 从 个抽屉中 填最大数 拿出 25 个苹果 才能保证一定能找到一个抽屉 从它当中至少拿了 7 个苹果 三 三 思路与方法 思路与方法 在抽屉原理问题 难在有些题目抽屉没有直接给出 要求我们自己根据题意去造抽屉 但我们也不要为此感到困难 往往在题目有一句关键的话 告诉我们抽屉的性质 我 们可以根据此性质来构造抽屉即可 训训 练练 题题 1 六 1 班有 49 名学生 数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除 3 人外均在 86 分以上后就说 我可以断定 本班同学至少有 4 人成绩相同 请问王老师说的对 吗 为什么 2 从这 100 个数中任意挑选出 51 个数来 证明在这 51 个数中 一定 100 3 2 1 1 有 2 个数互质 2 有两个数的差为 50 3 圆周上有 2000 个点 在其上任意地标上 每一点只标一个数 不同的1999 2 1 0 点标上不同的数 求证 必然存在一点 与它紧相邻的 两个点和这点上所标的三个 数之和不小于 2999 4 有一批四种颜色的小旗 任意取出三面排成一行 表示各种信号 证明 在 200 个信号中至 少有 4 个信号完全相同 5 在 3 7 的方格表中 有 11 个白格 证明 1 若仅含一个白格的列只有 3 列 则在其余的 4 列中每列都恰有两个白格 2 只有一个白格的列至少有 3 列 6 一个车间有一条生产流水线 由 5 台机器组成 只有每台机器都开动时 这篛流水线才 能工作 总共有 8 个工人在这条流水线上工作 在每一个工作日内 这些工人中只有 5 名到场 为了保证生产 要对这 8 名工人进行培训 每人学一种机器的操作方法称为一 轮 问 最少要进行多少轮培训 才能使任意 5 个工人上班而流水线总能工作 7 在圆周上放着 100 个筹码 其中有 41 个红的和 59 个蓝的 那么总可以找到两个红筹码 在它们之间刚好放有 19 个筹码 为什么 8 试卷上共有 4 道选择题 每题有 3 个可供选择的答案 一群学生参加考试 结果是对于 其中任何 3 人 都有一道题目的答案互不相同 问 参加考试的学生最多有多少人 9 某个委员会开了 40 次会议 每次会议有 10 人出席 已知任何两个委员不会同时开两次 或更多的会议 问 这个委员会的人数能够多于 60 人吗 为什么 10 某此选举 有 5 名候选人 每人只能选其中的一人或几人 至少有 人参加选举 才能保证有 4 人选票选的人相同 11 一次考试有 20 道题 有 20 分基础分 答对一题加 3 分 不达不加分也不减分 答错 一题减 1 分 若有 100 人参加考试 至少有多少人得分相同 12 一次数学竞赛 有 75 人参加 满分 20 分 参赛者得分都是整数 75 人的总分是 980 分 问至少有几个人得分相同 第九讲第九讲 抽屉原理提示与答案抽屉原理提示与答案 提示 提示 1 关键词 成绩相同 抽屉性质 有相同成绩的人在同一个抽屉中 所以我们要根据成 绩来造抽屉 2 关键词 数互质 抽屉性质 抽屉中已有数 并且同一抽屉中的数互质 关键词 差为 50 抽屉性质 抽屉中已有数 并且同一抽屉中的数差为 50 3 从反面考虑问题 假设所有这样的和均小于 2999 这样每个和最大为 2998 我们用两 种方法来计算一下所有数的和即可 4 关键词 信号完全相同 抽屉性质 同一抽屉中放的信号均相同 5 反证法 6 想想一个车床至少要有几个人会 假设有一个车床只有 3 个人会可以吗 那这 3 个人 如果有一天都没来 会怎样 7 关键词 选票选的人完全相同 抽屉性质 选的人完全相同的人在一个抽屉中 8 想想一共有多少种分值 注意有些分值得不到 9 先不考虑总分 你能算出至少有几人得分相同吗 然后再考虑总分 注意此时从最好 或最外的方面来考虑 答案 答案 1 对 2 1 相邻两数为一组 构成一个抽屉 共 50 个抽屉 2 差为 51 的两数为一组 构成一个抽屉 共 50 个抽屉 3 假设所有这样的和均小于 2999 这样每个和最大为 2998 这样一共 2000 个和的最大可 能值为 2998 2000 在上述算法中 0 至 2000 这 2000 个数 每个数都算了 3 次 这 样上述的 2000 个和应该等于 0 1 2 2000 3 与最大可能值为矛盾 所以假设 不成立 4 四种颜色的小旗 任意取出三面后排列共可组成 4 4 4 64 个信号 这将 64 个信号 作为抽屉即可 5 略 6 假设有一个车床只有 3 个人会使用 这样某一在这 3 个人都没来 这时这条流水线就 不能正常运转 所以每个车床至少应有 4 个会使用 这样需进行 4 5 20 轮培训 下面说明 进行 20 轮培训一定可以 若对 3 个人进行全能培训 使他们对这 5 个车床 均会使用 对剩下的 5 个人 分别进行 1 2 3 4 5 这 5 号车床中的一个车床的培 训 使他们 5 个人在场可使流水线正常运转 这样任意五人在场就都可使流水线正常 运转 则此时对工人进行的培训正好是 20 轮 7 从 5 人中选 1 人有 5 种选法 从 5 人中选出 2 人有 10 种选法 从 5 人中选中 3 人也有 10 种选法 从 5 人中选出 4 人有 5 种选法 从 5 人中选出 5 人有 1 种选法 综上 共 有 31 种不同的选法 将这 31 种不同的选法做为 31 个抽屉 由抽屉原理知 答案为 31 3 1 94 8 分别计算一下第一名 第二名 第三名 各得多少分 会发现 最高分为 80 分 最低分为 0 分 但中间有一些分值得不到 它们是 79 78 75 所以共有 81 3 78 种分 值 将这 78 种分值做为 78 个抽屉 抽屉原理得答案为 2 9 如果不考虑总分 980 易得至少有 4 人得分相同 现加入条件 980 分 1 若最多有 4 人得分相同 此时这 75 人得分最高可能为 4 个 20 分 4 个 19 分 4 个 3 分 3 个 2 分 总和为 83