控制系统课程设计--哈工大-倒立摆

哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 HarbinHarbinHarbin InstituteInstituteInstitute ofofof TechnologyTechnologyTechnology 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程名称 控制系统设计课程设计 设计题目 直线一级倒立摆控制器设计 院 系 航天学院自动化专业 班 级 设 计 者 学 号 指导教师 设计时间 09 08 31 09 09 18 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 哈尔滨工业大学 目目 录录 1 任务书任务书 2 2 理论模型建立和分析理论模型建立和分析 4 3 PID 控制器设计与调节控制器设计与调节 9 4 状态空间极点配置控制器设计状态空间极点配置控制器设计 15 5 问题的进一步讨论问题的进一步讨论 24 6 设计结论与心得体会设计结论与心得体会 25 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 注 此任务书由课程设计指导教师填写 注 此任务书由课程设计指导教师填写 第一章第一章 理论模型的建立及分析理论模型的建立及分析 1 1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 系统建模可以分为两种 机理建模和实验建模 实验建模就是通过在研究对象上加上 一系列的研究者事先确定的输入信号 激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出 应用数学手段建立起系统的输入 输出关系 这里面包括输入信号的设计选取 输出信号 的精确检测 数学算法的研究等等内容 机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上 通过物理 化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入 状态关系 对于倒立摆系统 由于其本身是自不稳定的系统 实验建模存在一定的困难 但 是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后 倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统 可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型 在忽略了空气阻力 各种摩擦之后 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质 杆组成的系统 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图 其中 N 和 P 为小车与摆杆水平 和垂直方向的分量 M M P P N N F Fb b p p m mg g N N I x x 图 1 1 a 小车隔离受力图 b 摆杆隔离受力图 本系统相关参数定义如下 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑到摆杆初始位置为竖直向下 注意 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定 因而矢量方 向定义如图所示 图示方向为矢量正方向 应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下 分析小车水平方向受到的合力 可以得到下面等式 1 1 MxFbxN 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 1 2 2 2 sin d Nmxl dt 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 3 2 cossinNmxmlml 把这个等式代入上式中 就得到系统的第一个运动方程 1 4 2 cossinMm xbxmlmlF 为了推出系统的第二个运动方程 我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析 可以 得到下面方程 1 5 2 2 cos d Pmgml dt 1 6 2 sincosPmgmlml 力矩平衡方程如下 1 7 sincosPlNlI 注意 此方程中力矩的方向 由于 coscos sinsin 故等式前面有负号 合并这两个方程 约去P和N 得到第二个运动方程 1 8 22 sincosImlmglmlx 1 1 11 1 1 微分方程模型微分方程模型 设 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 假设与 1 单位是弧度 相 比很小 即 则可以进行近似处理 用u来1 2 cos1 sin 0 d dt 代表被控对象的输入力 F 线性化后两个运动方程如下 1 9 2 Mm xbxmlu Imlmglmlx 1 1 21 1 2 传递函数传递函数 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 对以上微分方程组进行拉普拉斯变换 得到 1 10 22 222 Mm X s sbX smls sU s Imls smglsmlX s s 注意 推导传递函数时假设初始条件为 0 由于输出为角度为 求解方程组上述方程组的第一个方程 可以得到 1 11 2 2 Iml g X ss mls 或者 1 12 2 22 smls X sImlsmgl 如果令 则有x 1 13 2 22 0 06 0 0240 588 sml V ssImlsmgl 把上式代入 10 式 则有 22 22 22 ImlIml gg Mms sbs smls sU s mlsmls 1 14 整理得到以输入力为输入量 摆杆角度为输出量的传递函数 1 15 2 1 2 432 ml s sq G s U sb Iml Mm mglbmgl ssss qqq 其中 2 2 qMmImlml 1 1 31 1 3 状态空间数学模型状态空间数学模型 由现代控制原理可知 控制系统的状态方程可写成如下形式 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 16 XAXBu YCXDu 可得代数方程 得到如下解 22 22 222 222 xx ImlbIml m gl xxu I MmMmlI MmMmlI MmMml mgl Mmmlbml xu I MmMmlI MmMmlI MmMml 1 17 整理后得到系统状态空间方程 22 22 222 222 01000 00 00010 00 1000 0010 xx ImlbIml m gl xx I MmMmlI MmMmlI MmMml u mlbmgl Mmml I MmMmlI MmMmlI MmMml x y 0 0 x x u 1 18 由 1 9 的第二个方程为 2 Imlmglmlx 对于质量均匀分布的摆杆有 2 1 3 Iml 于是可以得到 22 1 3 mlmlmglmlx 化简得到 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 19 33 44 g x ll 设 则有 T Xxx ux 1 20 01000 00001 00010 000 10000 00100 33 44 xx xx x xx yu u g ll 实际系统参数如下 M 小车质量 0 5kg m 摆杆质量 0 2kg b 小车摩擦系数 0 1N m sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0 3m I 摆杆惯量 0 006kg m m 把上述参数带入 可以得到系统的实际模型 摆杆角度和小车位移的传递函数 1 21 2 2 0 06 0 0240 588 ss X ss 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数 1 22 2 0 06 0 0240 588 s V ss 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数 1 23 2 432 50 11237349 ss U sssss 以外界作用力作为输入的系统状态方程 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 24 01000 14720 0 0 5511 00001 50343 0 0 1111 10000 00100 2 11 5 11 xx xx u x xx yu 以小车加速度作为输入系统的系统状态方程 1 25 01000 00001 00010 000 10000 00100 24 52 5 xx xx x xx yu u 1 2 系统阶跃响应分析 在 matlab 中键入以下命令 得到如下结果 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 图 1 2 直线一阶校正前倒立摆单位阶跃响应仿真 可以看出 在单位阶跃响应作用下 小车位置和摆杆角度都是发散的 第二章第二章 直线一级倒立摆直线一级倒立摆 PIDPID 控制器设计控制器设计 本章主要利用 PID 控制算法对直线一级倒立摆系统进行控制器设计 在设计的过程中 要求熟悉控制参数 对系统性能的影响 然后按照所要求的控制指标并综合 P K I K D K 实际响应结果恰当地调整参数 运用 MATLAB 仿真软件可以快捷地进行系统仿真和参数调整 本章第 2 节的内容即是运用 MATLAB 软件对 PID 控制系统的设计和仿真 第 3 节中 将对控 制系统进行实际的运行和参数调试 以获得一组最佳的 PID 控制参数 设计目的 设计目的 学习 PID 控制器的设计方法 了解控制器各个参数对系统性能的影响 学会根据控制 指标要求和实际响应调整 PID 控制器的参数 设计要求 设计要求 设计 PID 控制器 使得当在小车上施加 0 1N 的阶跃信号时 闭环系统的响应指标为 1 稳定时间小于 5 秒 2 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 0 1 弧度 设计报告要求 设计报告要求 1 给出系统摆杆角度和小车位置的仿真图形及控制器参数 并对各个参数对系统控 制效果的影响进行说明 2 给出实际控制曲线和控制器参数 对响应的动态和静态指标进行分析 D 控制系统原理框图如下所示 系统由模拟 PID 控制器 KD S 和被控对象 G S 组 成 PID 控制器是一种线性控制器 它根据给定值 r t 与实际输出值 y t 构成控制偏差 e t e tr ty t 将偏差的比例 P 积分 I 和微分 D 通过线性组个构成控制量 对被控对象进 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 行控制 谷称为 PID 控制器 其控制规律为 0 1 t pD I de t u tKe te t dtT Tdt 或写成传递函数的形式 1 1 pD I U s G sKT s E sT s 在控制系统设计和仿真中 也将传递函数写成 I pD KU s G sKK s E ss 简单来说 PID 控制器各个校正环节的作用如下 1 1 比例环节 成比例的反应控制系统的偏差信号e t 偏差一旦产生 控制器立 即产生控制作用 以减少偏差 2 2 积分环节 主要用于消除稳态误差 提高系统的型别 积分作用的强弱取决于积 分时间常数 T1 T1 越大 积分作用越弱 反之则越强 3 3 微分环节 反映偏差信号的变化趋势 变化速率 并能在偏差信号值变得太 大之前 在系统中引入一个有效的早期修正信号 从而加快系统的动作速度 减小调节时 间 这个控制问题 输出量为摆杆的位置 它的初始位置为垂直向上 我们给系统一 个扰动 观察摆杆的响应 系统框图如下 图 2 1 直线一级倒立摆 PID 控制系统框 图中KD s 是控制器传递函数 G s 是被控对象传递函数 考虑到输入r s 0 结构图可以很容易的变换成 图 2 2 直线一级倒立摆 PID 控制简化系统框图 该系统的输出为 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 1 sF numnumPIDdendenPID denPIDnum sF dendenPID numnumPID den num sF sGsKD sG sy 其中 num 被控对象传递函数的分子项 den 被控对象传递函数的分母项 numPID PID 控制器传递函数的分子项 denPID PID 控制器传递函数的分母项 通过分析上式可以得到系统的各项性能 由 2 13 可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数 22 sml V sImlsmgl PID 控制器的传递函数为 2 IDPI pD KK sK sKnumPID KD sKK s ssdenPID 只需调节 PID 控制器的参数 就可以得到满意的效果 小车的位置输出为 2 X ss V s 通过对控制量双重积分可以得到小车的位置 2 2 PID 控制参数设定及 MATLAB 仿真 通过不断的调试 最后 80 20 15 p K I K D K 系统 MATLAB 仿真模型如下 图 2 3 一阶倒立摆 PID 控制 MATLAB 仿真模型 其输入 0 1N 的脉冲响应如下 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 图 2 4 直线一阶倒立摆 PID 控制仿真结果图 可以看出 在 3 68s 的时候系统已经稳定了 并且在稳态时摆杆与垂直方向的夹角变 化小于 0 1 弧度 由于 PID 控制器为单输入单输出系统 所以只能控制小车摆杆的角度 并不能控制小车的位置 2 3 PID 控制实验 MATLAB 版实验软件下的实验步骤 1 打开直线一级倒立摆 PID 控制界面如图 2 5 所示 进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱 Googol Education Products 打开 Inverted Pendulum Linear Inverted Pendulum Linear 1 Stage IP Experiment PID Experiments 中的 PID Control Demo 2 双击 PID 模块进入 PID 参数设置 如图 2 6 所示 把仿真得到的参数输 入 PID 控制器 点击 OK 保存参数 图 2 5 直线一级倒立摆 MATLAB 实时控制界 面 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 图 2 6 参数设计调整 3 点击编译程序 完成后点击使计算机和倒立摆建立连接 4 点击运行程序 检查电机是否上伺服 缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位 置 在程序进入自动控制后松开 当小车运动到正负限位的位置时 用工具挡一下摆杆 使小车反向运动 5 实验结果如下图所示 图 2 7 PID 控制实验结果 1 图 2 8 PID 控制实验结果 2 施加干扰 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 从图 2 7 中可以看出 倒立摆可以实现较好的稳定性 摆杆的角度在 3 14 弧度 左 右 PID 控制器并不能对小车的位置进行控制 小车会沿滑杆有稍微的移动 在给定干扰 的情况下 小车位置和摆杆角度的变化曲线如图 2 8 所示 可以看出 系统可以较好的抵 换外界干扰 在干扰停止作用后 系统大约 3 2s 达到稳态 稳态时摆杆与垂直方向的夹角 变化远小于 0 1 弧度 最后 选择实验室结果的最佳数据取 100 40 10 2 4 PID 系统的优缺点 优点 PID 控制优点明显 应用广泛 PID 能消除稳态误差 同时可以减少超调量 克 服振荡 使系统的稳定性提高 并且能加快系统的动态响应速度 减小调整时间 从而改 善系统的动态性能 缺点 PID 控制的过度期比较长 上升过程中波动明显 当然 较好的 PID 控制效果 是以已知被控对象的精确数学模型为前提的 当被控对象的数学模型未知时 PID 控制的 调试将会有很大的难度 第三章第三章 状态空间极点配置控制器设计状态空间极点配置控制器设计 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统 控制器设计时一般需要有关被 控对象的较精确模型 现代控制理论主要是依据现代数学工具 将经典控制理论的概念扩 展到多输入多输出系统 极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极 点配置在期望的位置上 从而使系统满足瞬态和稳态性能指标 设计目的 设计目的 学习状态空间极点配置控制器的设计方法 分析各个极点变化对系统性能的影响 学 会根据控制指标要求和实际响应调整极点的位置和控制器的参数 设计要求 设计要求 设计状态空间极点配置控制器 使得当在小车上施加 0 2m 的阶跃信号时 闭环系统的 响应指标为 1 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于 3 秒 x 2 的上升时间小于 1 秒x 3 的超调量小于 20 度 0 35 弧度 4 稳态误差小于 2 设计报告要求 设计报告要求 1 给出系统摆杆角度和小车位置的仿真控制图形及控制器参数 并对极点的位置和 各个参数对系统控制效果的影响进行分析 2 给出实际控制曲线和控制器参数 并对响应的动态和静态指标进行分析 3 1 状态空间分析 状态反馈闭环控制系统原理图如图 3 1 所示 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 图 3 1 状态反馈闭环控制原理图 状态方程为 XAXBu 式中 为状态向量 维 为控制向量 纯量 为维常数矩阵 为XnuAn n B 维常数矩阵 1n 选择控制信号 uKX 求解上式 得到 x tABK x t 方程解为 0 A BK t x tex 可以看出 如果系统状态完全可控 选择适当 对于任意的初始状态 当 趋于无Kt 穷时 都可以使趋于 0 x t 极点配置的设计步骤 1 检验系统的可控性条件 2 从矩阵的特征多项式A 1 11 nn nn sIAsa sasa 来确定的值 12 n a aa 3 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T TMW 其中为可控性矩阵 M 1n MB ABAB 121 23 1 1 100 100 1000 nn nn aaa aa W a 4 利用所期望的特征值 写出期望的多项式 1 11111 nn nn ssssss 并确定的值 12 n 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 5 需要的状态反馈增益矩阵由以下方程确定 K 1 112211nnnn Kaaaa T 3 2 极点配置及 MATLAB 仿真 前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型 以小车加速度作为输入的系统 状态方程为 01000 00001 00010 0024 502 5 xx xx u 10000 00100 x xx yu 于是有 0100 0000 0001 0024 50 A 0 1 0 2 5 B 1000 0010 C 0 0 D 直线一级倒立摆的极点配置转化为 选 解得 2 1 0 1pe 4 2 n ts w 0 59 wn 3 39 0 804 符合要求 2 1 r n t w 求得闭环主导极点为 选取另两个极点为 14 14 则 22 74i 对于如上所述的系统 设计控制器 要求系统具有较短的调整时间 约 3 秒 和合适 的阻尼 方法一 方法一 倒立摆极点配置原理图如图 3 2 所示 图 3 2 倒立摆极点配置原理图 极点配置步骤如下 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 1 检验系统可控性 略 2 计算特征值 根据要求 并留有一定的裕量 设调整时间为 2 秒 我们选取期望的闭环极点 其中 1 2 3 4 i si 1234 14 1422 74 22 74jj 其中 是一对具有的主导闭环极点 位于主导闭环 34 0 59 3 39 n 12 极点的左边 因此其影响较小 因此期望的特征方程为 1234 432 141422 7422 74 32319 511106 212255 49 sssssssjsj ssss 因此可以得到 1234 32 329 51 1106 21 2255 49 由系统的特征方程 42 100 000 24 5 001 0024 5 s s sIAss s ss 因此有 1234 0 24 5 0 0aaaa 系统的反馈增益矩阵为 1 44332211 Kaaaa T 3 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T TMW 式中 23 0100 1000 02 5061 25 2 5061 250 MB AB A B A B 321 21 1 1024 501 1024 5010 1000100 10001000 aaa aa W a 于是可以得到 24 5010 024 501 002 50 0002 5 TMW 1 0 040800 01630 00 040800 0163 000 400 0000 40 T 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 4 状态反馈增益矩阵为 K 1 44332211 0 040800 01630 00 040800 0163 2255 4901106 210319 5124 5320 000 400 0000 40 92 024045 1334174 368530 8231 KaaaaT 得到控制量为 以上计算可以采用92 02445 1334174 368530 8231uKXxx MATLAB 编程计算 直线一级倒立摆状态空间极点配置 MATLAB 程序 1 clear A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 24 5 0 B 0 1 0 2 5 C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 0 J 14 0 0 0 0 14 0 0 0 0 2 2 74 i 0 0 0 0 2 2 74 i pa poly A pj poly J M B A B A 2 B A 3 B W pa 4 pa 3 pa 2 1 pa 3 pa 2 1 0 pa 2 1 0 0 1 0 0 0 T M W K pj 5 pa 5 pj 4 pa 4 pj 3 pa 3 pj 2 pa 2 inv T Ac A B K Bc B Cc C Dc D T 0 0 005 5 U 0 2 ones size T Cn 1 0 0 0 Nbar rscale A B Cn 0 K Bcn Nbar B Y X lsim Ac Bcn Cc Dc U T plot T X 1 hold on plot T X 2 hold on plot T X 3 hold on plot T X 4 hold on legend CartPos CartSpd PendAng PendSpd 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱 Googol Education Products 打开 Inverted Pendulum Linear Inverted Pendulum Linear 1 Stage IP Experiment Poles Experiments 中的 Poles Control M File1 运行得到以下结果 运行结果如下 K 92 0608 45 1515 174 4274 30 8606 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 可以看出 给定系统干扰后 倒立摆可以在 2s 内很好的回到平衡位置 方法二 方法二 矩阵 A BK 的特征值是方程式的根 0sIABK 1234 00001000 00000001 0 00000010 000000 s s kkkk s sab 这是 s 的四次代数方程式 可表示为 432 241321 0skbksakbksak sak 适当选择反馈系数系统的特征根可以取得所希望的值 1234 k kk k 把四个特征根设为四次代数方程式的根 则有 1234 432 1234122334411324 1232343414121234 0 sss s 比较两式有下列联立方程式 241234 kbks 13122334411324 akbk 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 2123234341412 ak 11234 ak 如果给出的是实数或共轭复数 则联立方程式的右边全部为实数 据此可 1234 求解出实数 1234 k kk k 当将特征根指定为下列两组共轭复数时 1234 22 74 14 14j 又 24 5 2 5ab 利用方程式可列出关于的方程组 1234 k kk k 24 332kk 13 24 53319 51kk 2 24 51106 21k 1 24 52255 49k 利用如下直线一级倒立摆状态空间极点配置 MATLAB 程序 2 clear syms a s b k1 k2 k3 k4 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 a 0 B 0 1 0 b SS s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 s K k1 k2 k3 k4 J 14 0 0 0 0 14 0 0 0 0 2 2 74 i 0 0 0 0 2 2 74 i ans A B K P poly ans PJ poly J 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱 Googol Education Products 打开 Inverted Pendulum Linear Inverted Pendulum Linear 1 Stage IP Experiment Poles Experiments 中的 Poles Control M File2 求解后得 K 92 0608 45 1515 174 4274 30 8606 即施加在小车水平方向的控制力 u 92 060845 1515174 427430 8606uKXxx 可以看出 和方法一的计算结果一样 3 3极点配置实验 实验步骤如下 1 进入 MATLAB Simulink 中 matlab6p5 toolbox GoogolTech InvertedPendulum Linear Inverted Pendulum 目录 打开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱 Googol Education Products 打开 Inverted Pendulum Linear Inverted Pendulum Linear 1 Stage IP Experiment Poles Experiments 中的 Poles Control Demo 图 3 8 状态空间极点配置实时控制程序 图 3 9 极点配置控