高中数学：排列问题的常用技巧知识点分析新课标人教A版必修5

1 排列问题的常用技巧排列问题的常用技巧 解解排排列列问问题题的的常常用用技技巧巧 解解排排列列问问题题 首首先先必必须须认认真真审审题题 明明确确问问 题题是是否否是是排排列列问问题题 其其次次是是抓抓住住问问题题的的本本质质 特特征征 灵灵活活运运用用基基本本原原理理和和公公式式进进行行分分析析解解 答答 同同时时 还还要要注注意意讲讲究究一一些些基基本本策策略略和和方方 法法技技巧巧 使使一一些些看看似似复复杂杂的的问问题题迎迎刃刃而而解解 下下面面就就不不同同的的题题型型介介绍绍几几种种常常用用的的解解题题 技技巧巧 总总的的原原则则 合合理理分分类类和和准准确确分分步步 解排列 或 组合问题 应按元素的性质进行 分类 事情的发生的连续过程分步 做到分类标准 明确 分步层次清楚 不重不漏 解解法法1分分析析 先先安安排排甲甲 按按照照要要求求对对其其进进行行分分类类 分分两两类类 根根据据分分步步及及分分类类计计数数原原理理 不不同同的的站站法法共共有有 例例1 6个个同同学学和和2个个老老师师排排成成一一排排照照相相 2个个 老老师师站站中中间间 学学生生甲甲不不站站排排头头 学学生生乙乙不不站站排排 尾尾 共共有有多多少少种种不不同同的的排排法法 1 若若甲甲在在排排尾尾上上 则则剩剩下下的的5人人可可自自由由安安排排 有有种种方方法法 5 5 A 2 若若甲甲在在第第2 3 6 7位位 则则排排尾尾的的排排法法有有种种 1位位的的排排法法 有有种种 第第2 3 6 7位位的的排排法法有有种种 根根据据分分步步计计数数 原原理理 不不同同的的站站法法有有种种 1 4 A 1 4 A 4 4 A 4 4 1 4 1 4 AAA 再再安安排排老老师师 有有2种种方方法法 1008 2 4 4 1 4 1 4 5 5 种 AAAA解解法法2 见见练练习习3 2 1 0 1 2 3 4 5可可组组成成多多少少个个无无重重复复数数字字 的的五五位位偶偶数数 个个位位数数为为零零 个个位位数数为为2或或4 4 5 A 3 4 1 4 1 2 AAA 3 4 1 4 1 2 4 5 AAAA 所所以以 练练 习习 1 2 0 1 2 3 4 5可可组组成成多多少少个个无无重重复复数数字字 且且能能被被五五整整除除的的五五位位数数 分分类类 后后两两位位数数字字为为5或或0 个个位位数数为为0 4 5 A 个个位位数数为为5 216 3 4 1 4 4 5 AAA 3 4 1 4 AA 3 0 1 2 3 4 5可可组组成成多多少少个个无无重重复复数数 字字且且大大于于31250的的五五位位数数 分分类类 4 31250是是由由0 1 2 3 4 5组组成成的的无无重重复复 数数字字的的五五位位数数中中从从小小到到大大第第几几个个数数 3251 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 AAAAAA 275325 4 5 1 5 AA 275122 1 2 2 3 3 4 4 5 AAAA 方方法法一一 排排除除法法 方方法法二二 直直接接法法 一一 特特殊殊元元素素的的 优优先先安安排排法法 对对于于特特殊殊元元素素的的排排列列组组合合问问题题 一一般般应应先先考考虑虑特特殊殊元元 素素 再再考考虑虑其其它它元元素素 例例2 用用0 1 2 3 4这这五五个个数数 组组成成没没有有重重复复数数字字 的的三三位位数数 其其中中偶偶数数共共有有 A 24 B 30 C 40 D 60 分分析析 由由于于该该三三位位数数是是偶偶数数 所所以以末末尾尾数数字字必必须须是是偶偶 数数 又又因因为为0不不能能排排首首位位 故故0就就是是其其中中的的 特特殊殊 元元素素 应应 优优先先安安排排 按按0排排在在末末尾尾和和不不排排在在末末尾尾分分为为两两类类 1 0排排在在末末尾尾时时 有有个个 2 0不不排排在在末末尾尾时时 先先用用偶偶数数排排个个位位 再再排排百百位位 最最后后排排 十十位位有有个个 由由分分类类计计数数原原理理 共共有有偶偶数数 30 个个 2 A4 111 233A A A B 解解题题技技巧巧 1 0 1 2 3 4 5这这六六个个数数字字可可组组成成多多少少个个无无重重复复 数数字字的的五五位位数数 4 5 1 5 AA 2 0 1 2 3 4 5可可组组成成多多少少个个无无重重复复数数 字字的的五五位位奇奇数数 3 4 1 4 1 3 AAA 练练 习习 2 2 例例3 用用0 1 2 3 4这这五五个个数数 组组成成没没有有重重复复 数数字字的的三三位位数数 其其中中1不不在在个个位位的的数数共共有有 种种 二二 总总体体淘淘汰汰法法 间间接接法法 对于含有否定词语的问题 还可以从总体中把不 符合要求的减去 此时应注意既不能多减又不能少减 3 5 A 分分析析 五五个个数数组组成成三三位位数数的的全全排排列列有有个个 0排排在在首首位位的的 有有个个 1排排在在末末尾尾的的有有 减减掉掉这这两两种种不不合合条条件件的的排排 法法数数 再再加加回回百百位位为为0同同时时个个位位为为1的的排排列列数数 为为什什么么 故故共共有有种种 2 4 A 2 4 A 3 5 A 1 3 A 392 1 3 2 4 3 5 AAA 2 4 A 2 4 A 1 3 A 种排法 各不能排某位 则有 个位 个不同元素排若 2 2 1 1 2 m n m n m n AAA b amn 1 三三个个男男生生 四四个个女女生生排排成成一一排排 甲甲不不 在在最最左左 乙乙不不在在最最右右 有有几几种种不不同同方方法法 5 5 6 6 7 7 2AAA 2 五五人人从从左左到到右右站站成成一一排排 其其中中甲甲不不站站排排头头 乙乙不不站站第第二二个个位位置置 那那么么不不同同的的站站法法有有 A 120 B 96 C 78 D 72 782 3 3 4 4 5 5 AAA间接 4113 4333 78 AA A A 种 直接 练练 习习 3 3 0 1 2 3 4 5这这六六个个数数字字可可组组成成多多少少个个无无重重复复数数字字 且且个个位位数数字字不不是是4的的五五位位数数 个 2 3 4 4 5 5 6 AAA 种 1008 4 52 6 2 4 用用间间接接法法解解例例1 6个个同同学学和和2个个老老师师排排成成一一排排 照照相相 2个个老老师师站站中中间间 学学生生甲甲不不站站排排头头 学学生生乙乙不不 站站排排尾尾 共共有有多多少少种种不不同同的的排排法法 三三 相相邻邻问问题题 捆捆绑绑法法 对对于于某某几几个个元元素素要要求求相相邻邻的的排排列列问问题题 可可先先将将相相 邻邻的的元元素素 捆捆绑绑 在在一一起起 看看作作一一个个 大大 的的元元 组组 与与其其它它元元素素排排列列 然然后后再再对对相相邻邻的的元元素素 组组 内内部部进进 行行排排列列 例例4 7人人站站成成一一排排照照相相 要要求求甲甲 乙乙 丙丙三三人人相相邻邻 分分别别有有多多少少种种站站法法 分分析析 先先将将甲甲 乙乙 丙丙三三人人捆捆绑绑在在一一起起看看作作一一个个元元 素素 与与其其余余4人人共共有有5个个元元素素做做全全排排列列 有有种种排排法法 然然后后对对甲甲 乙乙 丙丙三三人人进进行行全全排排列列 5 5A 由由分分步步计计数数原原理理可可得得 种种不不同同排排法法 53 53A A 四四 不不相相邻邻问问题题 插插空空法法 对对于于某某几几个个元元素素不不相相邻邻得得排排列列问问题题 可可先先将将其其它它 元元素素排排好好 然然后后再再将将不不相相邻邻的的元元素素在在已已排排好好的的元元素素 之之间间及及两两端端的的空空隙隙之之间间插插入入即即可可 例例5 7人人站站成成一一排排照照相相 要要求求甲甲 乙乙 丙丙三三人人不不相相邻邻 分分别别有有多多少少种种站站法法 分分析析 可可先先让让其其余余4人人站站好好 共共有有种种排排法法 再再在在 这这4人人之之间间及及两两端端的的5个个 空空隙隙 中中选选三三个个位位置置让让甲甲 乙乙 丙丙插插入入 则则有有种种方方法法 这这样样共共有有种种不不 同同的的排排法法 4 4A 3 5A 3 5 4 4A A 1 三三个个男男生生 四四个个女女生生排排成成一一排排 男男生生 女女生生 各各站站一一起起 有有几几种种不不同同方方法法 2 三三个个男男生生 四四个个女女生生排排成成一一排排 男男生生之之间间 女女生生之之间间不不相相邻邻 有有几几种种不不同同排排法法 捆捆绑绑法法 4 4 3 3 2 2 AAA 4 4 3 3 AA 插插空空法法 3 如如果果有有两两个个男男生生 四四个个女女生生排排成成一一排排 要要 求求男男 生生之之间间不不相相邻邻 有有几几种种不不同同排排法法 2 5 4 4 AA 插插空空法法 练练 习习 4 例例6 有有4名名男男生生 3名名女女生生 3名名女女生生高高矮矮互互不不等等 将将7名名学学生生排排成成一一行行 要要求求从从左左到到右右 女女生生从从矮矮到到高高 排排列列 有有多多少少种种排排法法 五五 顺顺序序固固定定问问题题用用 除除法法 对对于于某某几几个个元元素素顺顺序序一一定定的的排排列列问问题题 可可先先将将 这这几几个个元元素素与与其其它它元元素素一一同同进进行行排排列列 然然后后用用总总的的 排排列列数数除除以以这这几几个个元元素素的的全全排排列列数数 所所以以共共有有种种 4 7 3 3 7 7 A A A 分分析析 先先在在7个个位位置置上上作作全全排排列列 有有种种排排法法 其其中中 3个个女女生生因因要要求求 从从矮矮到到高高 排排 只只有有一一种种顺顺序序故故只只 对对应应一一种种排排法法 3 3 A 7 7 A 1 五五人人排排队队 甲甲在在乙乙前前面面的的排排法法有有几几种种 练练 习习 5 2 三三个个男男生生 四四个个女女生生排排成成一一排排 其其中中甲甲 乙乙 丙丙 三三人人的的顺顺序序不不变变 有有几几种种不不同同排排法法 4 7 3 3 7 7 A A A 分分析析 若若不不考考虑虑限限制制条条件件 则则有有种种排排法法 而而甲甲 乙乙之之间间排排法法有有种种 故故甲甲在在乙乙前前面面的的排排法法只只有有一一种种 符符合合条条件件 故故 符符合合条条件件的的排排法法有有种种 5 5A 2 2A 5 5 2 2 A A 3 5 A即 3 六六 分分排排问问题题用用 直直排排法法 把把n个个元元素素排排成成若若干干排排的的问问题题 若若没没有有其其他他 的的特特殊殊要要求求 可可采采用用统统一一排排成成一一排排的的方方法法来来处处理理 例例7 七七人人坐坐两两排排座座位位 第第一一排排坐坐3人人 第第二二排排坐坐 4人人 则则有有多多少少种种不不同同的的坐坐法法 分分析析 7个个人人 可可以以在在前前后后排排随随意意就就坐坐 再再无无 其其他他限限制制条条件件 故故两两排排可可看看作作一一排排处处理理 所所以以 不不同同的的坐坐法法有有种种 7 7A 1 三三个个男男生生 四四个个女女生生排排成成两两排排 前前排排三三人人 后后排排四四人人 有有几几种种不不同同排排法法 或或 七七个个人人可可以以在在前前后后两两排排随随意意就就坐坐 再再无无其其他他条条件件 所所以以 两两排排可可看看作作一一排排来来处处理理 不不同同的的坐坐法法有有种种 7 7 A 7 7 4 4 3 7 AAA 2 八八个个人人排排成成两两排排 有有几几种种不不同同排排法法 8 8 A 练练 习习 6 七七 实实验验法法 题题中中附附加加条条件件增增多多 直直接接解解决决困困难难时时 用用实实验验逐逐 步步寻寻求求规规律律有有时时也也是是行行之之有有效效的的方方法法 例例8 将将数数字字1 2 3 4填填入入标标号号为为1 2 3 4的的 四四个个方方格格内内 每每个个方方格格填填1个个 则则每每个个方方格格的的标标号号与与 所所填填的的数数字字均均不不相相同同的的填填法法种种数数有有 A 6 B 9 C 11 D 23 分分析析 此此题题考考查查排排列列的的定定义义 由由于于附附加加条条件件较较多多 解解法法较较为为困困 难难 可可用用实实验验法法逐逐步步解解决决 第第一一方方格格内内可可填填2或或3或或4 如如填填2 则则第第二二方方格格中中内内可可填填1或或3或或4 若若第第二二方方格格内内填填1 则则第第三三方方格格只只能能填填4 第第四四方方格格应应填填3 若若第第二二方方格格内内填填3 则则第第三三方方格格只只能能填填4 第第四四方方格格应应填填1 同同理理 若若第第二二方方格格内内填填4 则则第第三三方方格格只只能能填填1 第第四四方方格格应应 填填3 因因而而 第第一一格格填填2有有3种种方方法法 不不难难得得到到 当当第第一一格格填填3或或4时时也也各各有有3种种 所所以以共共有有9种种 八八 住住店店法法 解解决决 允允许许重重复复排排列列问问题题 要要注注意意区区分分两两类类元元素素 一一类类元元素素可可以以重重复复 另另一一类类不不能能重重复复 把把不不能能重重复复 的的元元素素看看作作 客客 能能重重复复的的元元素素看看作作 店店 再再利利用用乘乘 法法原原理理直直接接求求解解 例例9 七七名名学学生生争争夺夺五五项项冠冠军军 每每项项冠冠军军只只能能由由一一人人 获获得得 获获得得冠冠军军的的可可能能的的种种数数有有 A B C D 分分析析 因因同同一一学学生生可可以以同同时时夺夺得得n项项冠冠军军 故故学学生生可可重重复复排排 列列 将将七七名名学学生生看看作作7家家 店店 五五项项冠冠军军看看作作5名名 客客 每每个个 客客 有有7种种住住宿宿法法 由由乘乘法法原原理理得得种种 注注 对对此此类类问问题题 常常有有疑疑惑惑 为为什什么么不不是是呢呢 5 7 5 7 7 5 5 7A 5 7C 7 5 用用分分步步计计数数原原理理看看 5是是步步骤骤数数 自自然然是是指指数数 九九 对对应应法法 例例10 在在100名名选选手手之之间间进进行行单单循循环环淘淘汰汰赛赛 即即一一场场 比比赛赛失失败败要要退退出出比比赛赛 最最后后产产生生一一名名冠冠军军 问问要要 举举行行几几场场 分分析析 要要产产生生一一名名冠冠军军 需需要要淘淘汰汰掉掉冠冠军军以以外外的的 所所有有选选手手 即即要要淘淘汰汰99名名选选手手 淘淘汰汰一一名名选选手手需需要要 进进行行一一场场比比赛赛 所所以以淘淘汰汰99名名选选手手就就需需要要99场场比比赛赛 十十 特特征征分分析析