高考数学知识模块复习能力训练——直线与平面

用心 爱心 专心 高考数学知识模块复习能力提升综合训练 直线与平面直线与平面 1 如图 7 20 点 P Q R S 分别在正方体的四条棱上 并且是所在棱的中点 则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是 2 如图 7 21 正方体 ABCD A1B1C1D1中 EF 为异面直线 A1D 和 AC 的公垂线 则直线 EF 与 BD1的关系是 A 异面直线B 平行 C 相交且垂直D 相交且不垂直 3 有三个命题 垂直于同一个平面的两条直线平行 过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直 异面直线 a b 不垂直 那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 4 a b 是异面直线 以下面四个命题 正确命题的个数是 过 a 至少有一个平面平行于 b 过 a 至少有一个平面垂直于 b 至多有一条直线与 a b 都垂直 至少有一个平面分别与 a b 都平行 A 0B 1C 2D 3 5 对于已知直线 a 如果直线 b 同时满足下列三个条件 1 与 a 是异面直线 2 与 a 所成的角为定值 3 与 a 的距离为定值 d 那么 这样的直线 b 有 A 1 条B 2 条C 3 条D 无数条 6 如图 7 22 点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外 PD 平面 ABCD PD AD 则 PA 与 BD 所成角的度数为 A 30 B 45 C 60 D 90 用心 爱心 专心 7 如图 7 23 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是一个正方形 PD 垂直于 ABCD 则这个四 棱锥的五个面中 互相垂直的平面共有 A 3 对B 4 对C 5 对D 6 对 8 设有不同的直线 a b 和不同的平面 给出下列三个命题 若 a b 则 a b 若 a a 则 若 则 其中正确的个数是 A 0B 1C 2D 3 9 若有平面 与 且 l P P l 则下列命题中的假命题为 A 过点 P 且垂直于 的直线平行于 B 过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 C 过点 P 且垂直于 的直线在 内D 过点 P 且垂直于 l 的直线在 内 10 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 A A 平面 ABCD 若 A A AB 则平面 A AB 与平 面 A CD 所成角的度数是 A 30 B 45 C 60 D 90 11 已知相交直线 l m 都在平面 内 并且都不在平面 内 若命题 p l m 中至少 有一条与 相交 命题 q 与 相交 则 p 是 q 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 不充分也不必要条件 12 如图 7 24 PA O 所在平面 AB 为底面圆的直径 C 为下底面圆周上一点 CAB PBA CPB 则 A cos sin sin B sin sin sin C cos cos cos D cos sin cos 二 填空题 13 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是 用心 爱心 专心 14 在平面 内有一个正三角形 ABC 以 BC 边为轴把 ABC 旋转 角 0 2 得到 A BC 当 时 A BC 在平面 内的射影是直角三角形 15 已知 正方体 ABCD A1B1C1D1 过点 A 作截面 使正方体的 12 条棱所在直线与截 面所成的角皆相等 试写出满足这样条件的一个截面 注 只需任意写一个 16 如图 7 25 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点 O 是 AC 与 BD 的交点 且 PO 平面 ABCD 当四边形 ABCD 具有条件时 点 P 到四边形四条边的距离相等 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的 情况 三 解答题 17 在如图 7 26 所示的三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC PA AC 1 PC BC PB 和平面 ABC 所成的角为 30 1 求证 平面 PBC 平面 PAC 2 比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小 3 求 AB 的中点 M 到直线 PC 的距离 18 如图 7 27 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E F 分别在 BB1 DD1上 且 AE A1B AF A1D 1 求证 A1C 平面 AEF 2 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角 或直角 则在 空间中有定理 若两条直线分别垂直于两个平面 则这两条直线所成的角与两个平面所成的 用心 爱心 专心 角相等 试根据上述定理 在 AB 4 AD 3 AA1 5 时 求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角的大 小 用反三角函数值表示 19 已知边长为 a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G 如图 7 28 将此三 角形沿 DE 折成二面角 A DE B 1 求证 平面 A GF 平面 BCED 2 当二面角 A DE B 为多大时 异面直线 A E 与 BD 互相垂直 证明你的结论 20 如图 7 29 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 BAD 60 AB 4 AD 2 侧棱 PB 15 PD 3 1 求证 BD 平面 PAD 2 若 PD 与底面 ABCD 成 60 的角 试求二面角 P BC A 的大小 用心 爱心 专心 21 如图 7 30 已知 VC 是 ABC 所在平面的一条斜线 点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影 且 N 位于 ABC 的高 CD 上 AB a VC 与 AB 之间的距离为 h M VC 1 证明 MDC 是二面角 M AB C 的平面角 2 当 MDC CVN 时 证明 VC 平面 AMB 3 若 MDC CVN 0 0 三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值 3 如图 过 M 作 MD AC 垂足为 D 平面 PAC 平面 ABC 且相交于 AC MD 平面 PAC 过 D 作 DE PC 垂足为 E 连结 ME 则 DE 是 ME 在平面 PBC 上的射影 DE PC ME PC ME 的长度即是 M 到 PC 的距离 在 Rt ABC 中 MD BC MD 2 1 BC 2 2 在等腰 Rt PAC 中 DE DCsin45 4 2 ME 22 DEMD 8 1 2 1 4 10 即点 M 到 PC 的距离为 4 10 18 1 证 因为 CB 平面 A1B 所以 A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B 由 A1B AE AE A1B 得 A1C AE 同理可证 A1C AF 因为 A1C AF A1C AE 又 AF AE A 所以 A1C 平面 AEF 2 解 过 A 作 BD 的垂线交 CD 于 G 因为 D1D AG 所以 AG 平面 D1B1BD 设 AG 与 A1C 所成的角为 则由定理知 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角 用心 爱心 专心 由已知 计算得 DG 4 9 如图建立直角坐标系 则得点及向量 A 0 0 0 G 4 9 3 0 A1 0 0 5 C 4 3 0 AG 4 9 3 0 CA1 4 3 5 因为 AG 与 A1C 所成的角为 所以 cos 1 1 CAAG CAAG 25 212 arccos 25 212 即平面 AEF 与平面 CEF 所成角的大小为 arccos 25 212 注 本题也可利用 平行转移法 求 AG 与 A1C 所成的角 19 解 1 ABC 是正三角形 AF 是 BC 边的中线 AF BC 又 D E 分别是 AB AC 的中点 DE 2 1 BC AF DE 又 AF DE G A G DE GF DE DE 平面 A FG 又 DE平面 BCED 平面 A FG 平面 BCED 2 A G DE GF DE A GF 是二面角 A DE B 的平面角 平面 A GF 平面 BCED AF 作 A H AG 于 H A H 平面 BCED 假设 A E BD 连 EH 并延长 AD 于 Q 则 EQ AD AG DE H 是正三角形 ADE 的重心 也是中心 AD DE AE 2 a 用心 爱心 专心 A G AG 4 3 a HG 3 1 AG 12 3 a 在 Rt A HG 中 cos A GH GA HG 3 1 A GF A GH cos A GF 3 1 A GF arcos 3 1 即当 A GF arcos 3 1 时 A E BD 20 解 1 由已知 AB 4 AD 2 BAD 60 得 BD2 AD2 AB2 2AD ABcos60 4 16 2 2 4 2 1 12 AB2 AD2 BD2 ABD 是直角三角形 ADB 90 即 AD BD 在 PDB 中 PD 3 PB 15 BD 12 PB2 PD2 BD2 故得 PD BD 又 PD AD D BD 平面 PAD 2 BD 平面 PAD BD平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD 作 PE AD 于 E 又 PE平面 PAD PE 平面 ABCD PDE 是 PD 与底面 BCD 所成的角 PDE 60 PE PDsin60 3 2 3 2 3 作 EF BC 于 F 连 PF 则 PF BC PFE 是二面角 P BC A 的平面角 又 EF BD 12 在 Rt PEF 中 用心 爱心 专心 tan PFE EF PE 32 2 3 4 3 故二面角 P BC A 的大小为 arctan 4 3 21 解 1 由已知 VN 平面 ABC N CD AB平面 ABC 得 VN AB 又 CD AB DC VN N AB 平面 VNC 又 V M N D 都在 VNC 所在平面内 所以 DM 与 VN 必相交 且 AB DM AB CD MDC 为二面角 M AB C 的平面角 2 由已知 MDC CVN 在 VNC 与 DMC 中 NCV MCD 且 VNC 90 DMC VNC 90 故有 DM VC 又 AB VC VC 平面 AMB 3 由 1 2 得 MD AB MD VC 且 D AB M VC MD h 又 MDC 在 Rt MDC 中 CM h tan V四面体 MABC V三棱锥 C ABM 3 1 CM S ABM 3 1 h tan 2 1 ah 6 1 ah2tan 用心 爱心 专心 22 解 1 D AE B 是直二面角 平面 D AE 平面 ABCE 作 D O AE 于 O 连 OB D O 平面 ABCE D BO 是直线 D B 与平面 ABCE 所成的角 D A D E a 且 D O AE 于 O AD E 90 O 是 AE 的中点 AO OE D O 2 2 a D AE BAO 45 在 OAB 中 OB ABcos452 22 OAABOA 2 2 2a 2 2 2 2 2 2 22 aaa 2 10 a 在直角 D OB 中 tan D BO OB OD 5 5 2 如图 连结 BE AED BEC 45 BEA 90 即 BE AE 于 E D O 平面 ABCE D O BE BE 平面 AD E BE AD 用心 爱心 专心 3 四边形 ABC