（江西版）2013年高考数学总复习 第二章2.8 对数与对数函数教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第二章理第二章 2 82 8 对数与对数对数与对数 函数函数 考纲要求考纲要求 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图像通过的特殊点 3 知道对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数y ax与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 知识梳理知识梳理 1 对数的概念与性质 对数的 定义 如果 那么数b叫作以a为底N的对数 记作 其中 叫作对数的底数 叫作真数 对数的 性质 1 没有对数 2 loga1 a 0 且a 1 3 logaa a 0 且a 1 4 a 0 且a 1 N 0 logaN a 2 对数的运算 1 对数的运算性质 如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN loga M N logaMn n R R 2 换底公式 logab 3 对数函数的图像和性质 1 对数函数的定义 一般地 我们把函数y 叫作对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 0 2 对数函数y logax a 0 且a 1 的图像和性质 a 10 a 1 图 像 定义域 值域 过定点 即x 1 时 y 单调性 在 0 上是 单调性 在 0 上是 性 质 当 0 x 1 时 y 当 x 1 时 y 当 0 x 1 时 y 当 x 1 时 y 4 指数函数与对数函数的关系 函数y ax a 0 且a 1 与函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 2 基础自测基础自测 1 若a 0 a 1 x y 0 n N N 则下列各式 logax n nlogax logax n logaxn logax loga 1 x logax n logax 1 n loga logax n n x loga loga x y x y x y x y 其中正确的有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 函数y 的定义域是 2 x lg x A x 0 x 2 B x 0 x 1 或 1 x 2 C x 0 x 2 D x 0 x 1 或 1 x 2 3 已知 0 loga2 logb2 则a b的关系是 A 0 a b 1 B 0 b a 1 C b a 1 D a b 1 4 已知 a 0 则a 2 3 a 4 9 2 3 log 5 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的图像恒过一定点是 思维拓展思维拓展 1 试结合换底公式探究 logab与 logba 与 logab之间的关系 log m n a b 提示 提示 logab logab 1 logba log m n a b n m 2 如何确定图中各函数的底数a b c d与 1 的大小关系 你能得到什么规律 提示提示 图中直线y 1 与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数 0 c d 1 a b 在x轴上方由左到右底数逐渐增大 在x轴下方由左到右底数逐渐减 小 一 对数式的化简与求值 例 1 若xlog32 1 则 4x 4 x 方法提炼方法提炼对数式化简求值的基本思路 1 利用换底公式及 logaN尽量地转化为同底的和 差 积 商的运算 log m n a N n m 2 利用对数的运算法则 将对数的和 差 倍数运算 转化为对数真数的积 商 幂 3 再运算 3 利用约分 合并同类项 尽量地求出具体值 提醒 提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成 立 请做请做 针对训练针对训练 4 4 二 对数函数的图像与性质 例 2 1 已知函数y f x x R R 满足f x 1 f x 1 且x 1 1 时 f x x2 则函数y f x 与y log5x的图像的交点个数为 例 2 2 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论函数f x 的单调性 方法提炼方法提炼利用复合函数 只限由两个函数复合而成的 判断函数单调性的方法 1 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的 2 当外函数为对数函数时 找出内函数的定义域 3 分别求出两函数的单调区间 4 按照 同增异减 确定函数的单调区间 提醒 提醒 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行 请做请做 针对训练针对训练 1 1 三 对数函数性质的综合应用 例 3 1 函数f x log3x 在区间 a b 上的值域为 0 1 则b a的最小值为 A 2 B C D 1 2 3 1 3 例 3 2 已知函数f x x log2 1 x 1 x 1 求f f的值 1 2 012 1 2 012 2 当x a a 其中a 0 1 a是常数时 函数f x 是否存在最小值 若存在 求出f x 的最小值 若不存在 请说明理由 例 3 3 已知f x logax a 0 且a 1 如果对于任意的x 都有 f x 1 1 3 2 成立 试求a的取值范围 方法提炼方法提炼 1 求f a f a 的值 常常联想到函数的奇偶性 因此 解此类问题一般 先判断奇偶性 再求值 2 求形如f 2 012 f 2 011 的值往往与函数的周期有关 求此类函数值一般先研究 函数的周期性 3 已知函数的最值或求函数的最值 往往探究函数的单调性 请做请做 针对训练针对训练 2 2 考情分析考情分析 从近两年的高考试题看 对数函数的性质是高考的热点 题型一般为选择题 填空题 属中低档题 主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小 求定义域 值域 最值以及对 数函数与相应指数函数的关系 预测 2013 年高考仍将以对数函数的性质为主要考点 重点考查运用知识解决问题的能 力 针对训练针对训练 1 2011 天津高考 文 5 已知a log23 6 b log43 2 c log43 6 则 A a b c B a c b C b a c D c a b 4 2 已知函数f x alog2x blog3x 2 且f 4 则f 2 012 的值为 1 2 012 3 2012 江西赣州联考 已知函数f x logsin 1 x2 6x 5 在 a 上是减少的 则实数a的取值范围是 4 已知 lg x lg y 2lg 2x 3y 求的值 3 2 log x y 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 ab N a 0 且a 1 b logaN a N 1 负数和零 2 0 3 1 4 N 2 1 logaM logaN logaM logaN nlogaM 2 a 0 且a 1 c 0 logcb logca 且c 1 b 0 3 1 logax a 0 且a 1 2 0 R R 1 0 0 增函数 减函数 0 0 0 0 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 由对数运算性质可知 正确 2 D 解析 解析 由Error 得 0 x 1 或 1 x 2 3 D 解析 解析 由 0 loga2 logb2 知 a b均大于 1 又 log2a log2b a b a b 1 4 3 解析 解析 由 2 3 a 4 9 得 loga 4 9 2 3 即 2loga loga 2 3 2 3 2 3 1 3 故 3 2 3 log a 1 loga2 3 5 2 2 考点探究突破考点探究突破 例 1 解析 解析 由xlog32 1 得x log23 82 9 4x 4 x 9 22 log 3log 3 44 1 9 82 9 例 2 1 4 解析 解析 由f x 1 f x 1 得f x f x 2 则函数f x 是以 2 为 周期的函数 作出函数y f x 与y log5x的图像 如图 可知函数y f x 与y log5x的 图像的交点个数为 4 例 2 2 解 解 1 由ax 1 0 得ax 1 当a 1 时 x 0 当 0 a 1 时 x 0 当a 1 时 f x 的定义域为 0 当 0 a 1 时 f x 的定义域为 0 2 当a 1 时 设 0 x1 x2 则 1 故 0 1 1 1 x a 2 x a 1 x a 2 x a loga 1 loga 1 1 x a 2 x a f x1 f x2 故当a 1 时 f x 在 0 上是增加的 6 类似地 当 0 a 1 时 f x 在 0 上为增加的 例 3 1 B 解析 解析 由题知函数f x log3x 在区间 a b 上的值域为 0 1 当 f x 0 时x 1 当f x 1 时x 3 或 所以要使值域为 0 1 定义域可以为 x 3 1 3 1 x 3 所以b a的最小值为 1 3 x 1 1 3 x 2 3 例 3 2 解 解 1 f x 的定义域是 1 1 f x x log2 1 x 1 x f x x log2 1 x 1 x x log2 1 1 x 1 x f x x log2 1 x 1 x 即f x f x 0 所以f f 0 1 2 012 1 2 012 2 令t 1 在 1 1 内是减少的 y log2t在t 0 上是增加的 1 x 1 x 2 1 x 所以f x x log2在 1 1 内是减少的 1 x 1 x 所以当x a a 其中a 0 1 函数f x 存在最小值f a a log2 1 a 1 a 例 3 3 解 解 f x logax 当 0 a 1 时 f 2 loga loga2 loga 0 f 1 3 1 3 2 3 当a 1 时 f 2 loga loga2 loga 0 f 1 3 1 3 2 3 f 2 总成立 f 1 3 要使x 时恒有 f x 1 1 3 2 只需 1 即 1 loga 1 f 1 3 1 3 即 logaa 1 loga logaa 1 3 亦当a 1 时 得a 1 a 即a 3 1 3 当 0 a 1 时 得a 1 a 1 3 得 0 a 1 3 综上所述 a的取值范围是 3 0 1 3 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 B 解析 解析 a log23 6 log43 62 log412 96 b log43 2 c log43 6 函数y log4x是 0 上的增函数 而且 12 96 3 6 3 2 log412 96 log43 6 log43 2 即a c b 7 2 0 解析 解析 f f 2 012 alog2 blog3 2 alog22 1 2 012 1 2 012 1 2 012 012 blog32 0