项分布与正态分布.ppt

了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 10 9二项分布与正态分布 1 相互独立事件的定义 设A B为两个事件 如果P AB P A P B 则称事件A与事件B相互独立 mutuallyindependent 若A与B是相互独立事件 则A与 与B 与也相互独立 2 独立重复试验的定义在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验 independentrepeatedtrials 3 独立重复试验的概率公式一般地 在n次独立重复试验中 设事件A发生的次数为X 如果在每次试验中事件A发生的概率是p 那么在n次独立重复试验 事件A恰好发生k次的概率P X k 此时称随机变量X服从二项分布 binomialdistribution 记作X B n p 并称p为成功概率 4 总体密度曲线 样本容量越大 所分组数越多 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率 设想样本容量无限增大 分组的组距无限缩小 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 这条曲线就是 或近似地是 下列函数的图象 f x x 其中实数 和 0 为参数 我们称 的图象为正态密度曲线 5 正态分布 一般地 如果对于任何实数a b 随机变量X满足P a X b x dx 则称X的分布为正态分布 normaldistribution 记作N 2 如果随机变量X服从正态分布 则记为X N 2 6 正态曲线的性质 1 曲线在x轴的上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 总体分布越分散 越小 曲线越 瘦高 总体分布越集中 1 标准正态分布的平均数与标准差分别为 A 0与1B 1与0C 0与0D 1与1解析 由标准正态分布的定义知 答案 A 2 坛子里放有3个白球 2个黑球 从中进行不放回地摸球 用A1表示第一次摸得白球 A2表示第二次摸得白球 则A1与A2是 A 互斥事件B 相互独立事件C 对立事件D 不相互独立事件答案 D 3 如果 B 则使P k 取最大值的k值为 A 3B 4C 5D 3或4解析 采取特殊值法 P 3 P 4 P 5 从而易知P 3 P 4 P 5 答案 D 4 接种某疫苗后 出现发热反应的概率为0 80 现有5人接种该疫苗 至少有3人出现发热反应的概率为 精确到0 01 解析 由已知p 0 80 则P5 3 P5 4 P5 5 0 94 答案 0 94 1 事件间的 互斥 与 相互独立 是两个不同的概念 常因为将它们弄混而发生计算错误 两个相互独立事件不一定互斥即可能同时发生 而互斥事件不可能同时发生 2 再如三个事件两两独立 但三个条件不一定独立 例1 3名战士射击敌机 1人专射驾驶员 1人专射油箱 1人专射发动机 命中的概率分别为 每个人射击是独立的 任1人射中 敌机被击落 求敌机被击落的概率 解答 解法一 本题等价于至少有1人射中的概率 而至少有1人射中的对立事件是3人都未射中 设A B C表示3人射击1次都击中的事件 则表示3人射击都未击中的事件 而至少有一人射中的概率为P P 1 P A 1 P B 1 P C 则P 1 P 解法二 至少有1人击中包括3种情况 1人击中 2人击中 3人都击中 射击1次 以上3种情况互斥 敌机被击落的概率是 P 变式1 在如右图所示的电路中 开关a b c开或关的概率都为 且相互独立 求灯亮的概率 解答 解法一 设事件A B C分别表示开关a b c关闭 则a b同时关合或c关合时灯亮 即A B A B C 或 B C A C C之一发生 又因它们是互斥的 所以 所求概率为 P P A B P B C P A B C P A C P C P A P B P P P B P C P A P P C P P P C P A P B P C 5 3 解法二 设A B C所表示的事件与解法一相同 若灯不亮则两条线路都不通 即c一定断开 a b中至少有一个断开 而a b中至少有一个断开的概率是 1 P A B 1 P A P B 所以两条线路皆不通的概率为 于是 灯亮的概率为P 1 独立重复试验是独立事件同时发生的特殊情况 2 独立重复试验 是在相同的条件下重复地 各次相互独立地进行的一种试验 在这种试验中 每一次试验中只有两种结果 即某事件要么发生 要么不发生 并且在任何一次试验中发生的概率都是一样的 牢记n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式 例2 9粒种子分种在甲 乙 丙3个坑内 每坑3粒 每粒种子发芽的概率为0 5 若一个坑内至少有1粒种子发芽 则这个坑不需要补种 若一个坑内的种子都没发芽 则这个坑需要补种 1 求甲坑不需要补种的概率 2 求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率 3 求有坑需要补种的概率 精确到0 001 解答 1 因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为 1 0 5 3 所以甲坑不需要补种的概率为1 0 875 2 3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 0 041 3 解法一 因为3个坑都不需要补种的概率为 3 所以有坑需要补种的概率为1 3 0 330 解法二 3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为 0 287 恰有2个坑需要补种的概率为 0 041 3个坑都需要补种的概率为 0 002 所以有坑需要补种的概率为0 287 0 041 0 002 0 330 变式2 甲 乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛 参赛同学成绩及格的概率都为0 6 且参赛同学的成绩相互之间没有影响 求 1 甲 乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率 2 甲 乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率 解答 1 P1 C0 6 0 4C0 6 0 4 0 2304 2 P2 1 1 0 6 4 0 9744 正态分布问题可利用变换公式转化为标准正态分布问题 标准正态分布可通过查表 或提供的数据 进行求解 正态分布有两个重要的参数 平均数 期望 数学期望 和标准差 我们不但要明白 和 在统计上的意义 还要对应到正态曲线上的曲线几何意义 做到从概率 统计 曲线 函数这四个方面来把握和理解 其中后两个方面是作为数学工具来为前两个方面服务的 例3 在N 2 下 求F F 2 2 F 3 3 解答 F 1 0 8413F 1 1 1 1 0 8413 0 1587F F F 0 8413 0 1587 0 6826F 2 2 F 2 F 2 0 954F 3 3 F 3 F 3 0 997 变式3 在某校举行的数学竞赛中 全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N 70 100 已知成绩在90分以上 含90分 的学生有12名 1 试问此次参赛学生总数约为多少人 2 若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生 试问设奖的分数线约为多少分 可供查阅的 部分 标准正态分布表 x0 P x x0 解答 2 设参赛学生的分数为 因为 N 70 100 由条件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 1 2 1 0 9772 0 228 这说明成绩在90分以上 含90分 的学生人数约占全体参赛人数的2 28 因此 参赛总人数约为 526 人 2 假定设奖的分数线为x分 则P x 1 P x 1 F 90 1 0 0951 即 0 9049 查表得 1 31 解得x 83 1 故设奖得分数线约为83 1分 1 古典概型中 A发生的条件下B发生的条件概率公式为P B A 其中 在实际应用中P B A 是一种重要的求条件概率的方法 2 运用公式P AB P A P B 时一定要注意公式成立的条件 只有当事件A B相互独立时 公式才成立 3 在解题过程中 要明确事件中的 至少一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 都发生 都不发生 不都发生 等词语的意义 已知两个事件A B 它们的概率分别为P A P B 那么 方法规律 A B中至少有一个发生的事件为A B A B都发生的事件为AB A B都不发生的事件为 A B恰有一个发生的事件为 A B中至多有一个发生的事件为 它们之间的概率关系如下表所示 4 在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为P X k k 0 1 2 n 其中p是一次试验中该事件发生的概率 实际上 正好是二项式 1 p p n的展开式中的第k 1项 本题满分12分 A B是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由4只小白鼠组成 其中2只服用A 另2只服用B 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多 就称该试验组为甲类组 设每只小白鼠服用A有效的概率为 服用B有效的概率为 1 求一个试验组为甲类组的概率 2 观察3个试验组 求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率 答题模板 解答 设每只小白鼠服用