湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第26课时《化归与转化》学生用书

1 湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第第 2626 课时课时 化归与转化化归与转化 学生用书学生用书 高考趋势高考趋势 解决数学问题时 常遇到一些问题直接求解较为困难 通过观察 分析 类比 联想 等思维过程 选择运用恰 当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说 对自己较熟悉的问题 通过新问题的求解 达到解决原问题的目的 这一思想方法我们称 之为 化归与转化的思想方法 化归与转化思想的实质是揭示联系 实现转化 除极简单的数学问题外 每个数学问 题的解决都是通过转化为已知的问题实现的 从这个意义上讲 解决数学问题就是从未知 向已知转化的过程 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想 解题的过程实际上就 是一步步转化的过程 数学中的转化比比皆是 如未知向已知转化 复杂问题向简单问题 转化 新知识向旧知识的转化 命题之间的转化 数与形的转化 空间向平面的转化 高 维向低维转化 多元向一元转化 高次向低次转化 超越式向代数式的转化 函数与方程 的转化等 都是转化思想的体现 转化有等价转化和非等价转化 等价转化前后是充要条件 所以尽可能使转化具有等 价性 在不得已的情况下 进行不等价转化 应附加限制条件 以保持等价性 或对所得 结论进行必要的验证 化归与转化应遵循的基本原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验 和问题来解决 2 简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复 杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 化归问题的条件或结 论 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式 或者转化命题 使其推演有利 于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题 转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑 问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获解 一一 基础再现基础再现 1 2007 云南昆明市质检题 若 x y 3 0 22 3 1 xy 则点M x y 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 2 某厂 2006 年生产利润逐月增加 且每月增加的利润相同 但由于厂方正在改造建设 元 月份投入资金建设恰好与元月的利润相等 随着投入资金的逐月增加 且每月增加投入的 百分率相同 到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同 问全年总利润 m 与全 年总投入 N 的大小关系是 2 3 若关于x的方程 cos2x 4asinx a 2 0 在区间 0 上有两个不同的解 则实数a 的取值范围是 二二 感悟解答感悟解答 1 1 答案 答案 由原式可以变形为 即可以看作是动点 x y 到点 22 3 1 2 3 2 xy xy 3 1 的距离与到定直线x y 3 0 的距离的比为 故点M x y 的轨迹是双曲线 2 评析 评析 本题如果直接对原式进行变形 是有一定运算量的 效率也不高 但将式子转化为 这种公式之后 它的几何意义就凸现出来了 解题时要有一定的转化能力与数形结合的能 力 2 2 答案 答案 每月的利润组成一个等差数列 an 且公差 d 0 每月的投资额组成一个等比数 列 bn 且公比 q 1 且 比较与的大小 若直接求和 很难比 11 ab 1212 ab 12 S 12 T 较出其大小 但注意到等差数列的通项公式 an a1 n 1 d 是关于 n 的一次函数 其图象 是一条直线上的一些点列 等比数列的通项公式 bn a1qn 1是关于 n 的指数函数 其图象 是指数函数上的一些点列 在同一坐标系中画出图象 直观地可以看出 ai bi 则 12 S 即 m N 12 T 评析 评析 把一个原本是求和的问题 退化到各项的逐一比较大小 而一次函数 指数函数的 图象又是每个学生所熟悉的 在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵 通 过对问题的反思 再加工后 使问题直观 形象 使解答更清新 2 答案 cos2x 4asinx a 2 1 2sin2x 4asinx a 2 2sin2x 4asinx a 1 令t sinx t 0 1 则原题转化为方程 2t2 4at a 1 0 在 0 1 上有两个根 令f x 2t2 4at a 1 由二次函数图象可知 解得 0 0 0 1 0 4 01 4 f f a 13 25 a 评析 本题涉及到多种转化 一是三角函数的异名化同名 三角函数转化为代数问题 二 3 是方程的问题转化为函数的问题 三三 范例剖析范例剖析 例例 1 1 正三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两成 400角 侧棱长为 6 D E 为 PB PC 上的点 则 ADE 的周长的最小值是 变式 变式 0606 江西卷 江西卷 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 P是BC1上一动点 则CP PA1的最小值是 2 例例 2 2 已知奇函数的定义域为全体实数 且当时 问是否存在这样的实 f x0 x 0fx 数 使得对所有的均成立 若存在 则 cos23 42 cos 0 fff 0 2 求出所有适合条件的实数 若不存在 试说明理由 辨析 辨析 若不等式对一切均成立 试求实数的取值范围 2 43xpxxp 04p x AC B C1 B1 A1 P 4 例例 3 3 设二次函数 方程的两根和满 2 f xxaxa 0f xx 1 x 2 x 足 12 01xx I 求实数的取值范围 a II 试比较与的大小 并说明理由 0 1 0 fff 1 16 辨析 辨析 已知二次函数f x ax2 2x 2a 1 其中x 2sin 0 若二次方 7 6 程f x 0 恰有两个不相等的实根x1和x2 求实数a的取值范围 四四 巩固训练巩固训练 1 1 已知正方体 的棱长为 4 则其内切球的体积为 若点 E 是DCBAABCD BB 上的动点 则 AE EC 的最小值是 2 2 0707 山东卷 山东卷 当时 不等式恒成立 则的取值范围是 12 x 2 40 xmx m 3 3 若存在a 1 3 使得不等式ax2 a 2 x 2 0 成立 则实数 x 的取值范围是 4 4 已知 若恒成立 则的最大值 432 0 1f xaxba x 2f x tab 为 5 5 0707 山东卷 山东卷 函数的图象恒过定点 若点log 3 1 a yx 01 aa 且 AA 在直线上 其中 则的最小值为 10mxny 0mn 12 mn 6 6 已知函数