文道专升本高数模拟试题

1 文道专升本高等数学模拟试卷文道专升本高等数学模拟试卷 1 单项选择题 每小题 2 分 共 60 分 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 在选涂其他答 案标号 1 下列各项函数中表示同一函数的是 A B xxgxxf 2 xxgxxf 2 C D xxgxxfln2 ln 2 xxgexf x ln 2 下列函数是奇函数的为 A B 2 xx ee xf xxxftan C D 1ln 2 xxxf x x xf 1 3 设函数 则是 0 0 0 1 sin x x x x xf0 x A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点 4 当时 下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 0 x A B C D 2 xxcos1 xxtan 1ln 2 x 5 下列极限存在的是 A B 2 1 lim x xx x 12 1 lim 0 x x C D x x e 1 0 lim x x x 1 lim 2 6 在处有定义是存在的 xf 0 xx lim 0 xf x A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件也不是必要条件 7 设 则在处的 1 1 3 2 2 3 xx xx xf xf1 x A 左右导数都存在 B 左导数存在 右导数不存在 C 左导数不存在 D 左右导数都不存在 8 下列函数中 在区间上满足罗尔定理条件的是 1 1 A B ey xyln 2 C D 2 1xy 2 1 x y 9 设常数 函数在内的零点的个数为 0 kk e x xxf ln 0 A 1 B 2 C 3 D 4 10 下列各式中正确运用罗比达法则求极限的是 A 0 2 lim ln2 lim ln lim 2 xx x x x xxx B x x xx xx xx cos1 cos1 lim sin sin lim 00 C 不存在 x x xx xx xx sin1 sin1 lim cos cos lim D 0 1 1 lim ln lim 00 x x x xx 11 设函数具有四阶导数 且 则 xfxxf 4 xf A B C 1 D x2 1 x 2 3 4 1 x 12 设函数在有定义 则在与处 xf ba xfax bx A 可能取得最小值 B 可能取得最大值 C 可能取得最大值或最小值 D 既不能取得最大值 也不能取得最小 值 13 dxxxf A B cxfxxf cxfxxf C D cxfxxf dxxfxxf 14 且 2 sin 1 0 cos 1 2 2 xb x bx x xf bdxxf 则2 2 0 A B C D 2 3 4 6 15 下列等式中正确的是 A B xfdxxf dx d b a Cxfdxxf dx d 3 C D xfdxxf dx d x a xfdxxf 16 设区域由直线 曲线及曲线所围成 则区D abbxax xfy xgy 域的面积为 D A B b a dxxgxf b a dxxgxf C D b a dxxfxg b a dxxgxf 17 设有直线 则该直线必定 340 zyx A 过原点且垂直于轴 B 过原点且平行于轴xx C 不过原点但垂直于轴 D 不过原点但平行于轴xx 18 在空间直角坐标系下 方程表示 0 1 4 22 yx A 两个平面 B 双曲柱面 C 椭圆柱面 D 圆柱面 19 已知平面方程为 则该平面与面的夹角余弦为 0522 zyxxoy A B C D 3 2 3 2 3 1 3 1 20 曲线上相应于的一段弧长为 1ln 2 xy 2 1 0 x A B 2 1 2ln 3 1 2ln C D 2 1 3ln 3 1 3ln 21 x xy y x sin lim 1 0 A 0 B C D 11 22 有且仅有一个间断点的函数的是 A B C D x y ln 22 yxex yx x xyarctan 23 已知 则 0 x f A 关于为单调递增 B yxfx0 yxf C D 0 2 2 x f 1 2 yxyxf 24 设为连续函数 则 xf t y t dxxfdytF 1 2 F A B C D 2 2 f 2 f 2 f 0 4 25 设是由围成的平面区域 则 D09 2 yxy和 dxdyyaxI A B 0 I0 I C D 的符号与参数有关0 IIa 26 已知为某个函数的全微分 则 2 yx ydydxayx a A B 0 C 1 D 21 27 函数 其中是任意常数 对微分方程而言 6 3 x Cxy Cx dx yd 2 2 A 是通解 B 是特解 C 是解 既非通解也非特解 D 不是解 28 以为特解的方程是 xyxysincos 21 A B 0 yy0 yy C D 0 yy0 yy 29 当收敛时 与 1 n nn ba 1n n a 1n n b A 必同时收敛 B 必同时发散 C 可能不同时收敛 D 不可能同时收敛 30 幂级数的和函数是 1 1 n nn x A B C D x 1 1 x 1 1 x x 1x 1 1 二 填空题 每空 2 分 共 20 分 31 设的定义域为 则的定义域为 xf 1 1 12 2 1 2 xfxf 32 x x x 1 0 sin21 lim 33 与椭圆相切 且与垂直的直线方程为 54 22 yx 4 3 4 1 xy 34 若 则 xxyyx sin 22 y 35 函数的单调增区间是 xxxfln 36 dx x x cos tan 5 37 dxxx sin 32 38 若曲线是上半圆 取顺时针方向 则的值为 L 0 222 yayx L xdyydx 39 已知 则该微分方程的解为 0 0 2 0 044 yyyyy 40 幂级数的收敛半径为 1 5 n n n x 3 计算题 每小题 5 分 共 45 分 41 求 22 lim 22 xxxxxx x 42 设函数由方程所确定 求 xyy exye y 0 0 yy 43 求不定积分 sin 3 dxxe x 44 已知 求广义积分 2 sin 0 dx x x sin 0 2 2 dx x x 6 45 设 求二阶偏导数 x y zarctan 46 求函数的极值 xyyxyxf3 33 47 其中是从沿抛物线到 L dyxydx y ln2 1 L 1 1 A 2 xy 4 2 B 48 设 其中为连续函数 求 xx dttfxdtttfxxf 00 sin xf xf 49 将函数展开成的幂级数 x xf 1 3 x 7 四 应用题 每小题 8 分 共 16 分 50 过平面上点引一直线 使它在两坐标轴上的截距都为正数 且乘积最小 1 1 P 51 过曲线上一点作切线 平面图形由曲线 切线 及 0 2 xxy 1 1 MlD 2 xy l 轴围成 x 求 1 平面图形的面积 D 2 平面图形绕轴旋转一周所围成的旋转体的体积 Dx 五 证明题 9 分 52 试证 当时 有0 x 11 ln 1 1 xx x x 8 参考答案 一 单项选择题 1 C 解析 同一函数必须满足 定义域与对应法则均相同 故选 C 2 C 解析 对 C 选项有 1ln 1 1 ln 1 1 1 ln 1ln 2 22 22 2 xfxx xxxx xxxx xxxf 3 D 解析 因为 则根据函数连续性定义可知 是0 0 0 1 sinlim 0 f x x x 0 x 的连续点 xf 4 C 解析 因为 所以 B 和 D 不满足题设条件 又因 222 1ln 2 1 cos1xxxx 为 所0 cos 1 2 sin lim cos 1 2 1cos lim 2 cos 1 1 lim tan lim 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 xx x xx x x x x xx xxxx 以当时函数是其他三个函数的高阶无穷小 0 xxxtan 5 A 解析 1 1 1 lim 1 lim 2 xx xx xx 6 D 解析 函数在某点处有定义与函数在这一点处极限存在没有关系 故 D 7 B 解析 1 3 2 lim 1 1 lim 1 2 11 x x x fxf f xx 2 1 3 2 lim 1 3 2 3 2 lim 1 1 lim 1 2 1 3 11 xx x x x fxf f xxx 8 C 解析 对于选项 C 函数在闭区间上连续 且在开区间 2 1xy 1 1 内可导 又因 所以在区间上满足罗尔定理条件 1 1 1 0 1 ff 2 1xy 1 1 9 B 解析 可知函数的单调性 在上单增 在上单减 又知 ex xf 11 0 e e 当时 当时 由此可判断 0 x xf0 kef x xf 有 2 个零点 10 B 解析 当极限型为 且满足存在或为无穷大时才可用罗比达法 或 0 0 lim 0 xg xf xx 则 故首先排除 C D 而 A 分别在时没有定义 即它们的极限是不存在的 9 11 D 解析 因为 所以 则xxf x xf 2 1 4 xf 2 3 4 1 x 12 C 解析 函数在闭区间上有定义 则该函数在端点处可能取得最大值或最小值 13 A 解析 由分部积分法可得 dxxfxxfxxdfdxxxf cxfxxf 14 C 解析 2cottancottan sin 1 cos 1 2 0 2 2 0 2 2 0 bbxxdx x dx x dxxf b b b b 15 C 解析 A 选项 B 选项 D 选项中不定0 b a dxxf dx d xfdxxf dx d 积分的值应有常数 即Cxfdxxf 16 D 解析 根据定积分的几何意义知 选项 D 正确 17 A 解析 由直线的标准式方程知 该直线过原点 又该直线的方向为 0 4 3 它 与 1 0 0 垂直 即直线垂直于轴 x 18 A 解析 原方程可化为为两个平面 1 2 1 2 yxyx或 19 D 解析 此平面法向量 平面法向量为 所以 1 2 2 1 nxoy 1 0 0 2 n 3 1 122 1 cos 22 21 21 nn nn 20 C 解析 2 1 3ln 1 2 11 2 1 0 2 2 2 1 0 2 dx x x dxyl 21 B 解析 原式 1 sin lim 1 0 y xy xy y x 22 B 解析 对于 A 当为任意实数 则它有无穷间断点 D 没有间断点 yx 0 对于 C 极限不存在 故 B 正确 kkxx x yx x x kxy yx 1 1 limlim 0 0 0 23 A 解析 用排除法 24 B 解析 设 则1 t txtt y t dxxfxdydxxfdxxfdytF 1111 1 故 1 tfttF 2 F 2 f 25 C 解析 为区域的边界 且00 SSS ydxdyydxdyaxdxdyISD 10 关于轴对称 y 26 D 解析 令 因为原式是全微分满足 可 2 yx ayx P 2 yx y Q x Q y P 求得2 a 27 C 解析 因原方程阶数为 2 通解应该含两个独立的任意常数 所以 A 不对 特 解里不应该有任意常数 所以不选 B 将函数代入方程是满足的 所以 D 是不正确的 28 B 解析 故 xyxysincos 2 1 0 yy 29 C 解析 例如 当时 可排除 A n b n a n nn 2 1 12 1 当 则可排除 B n n n n ba 3 1 2 1 30 C 解析 和函数 n S n m mm x 1 1 x x 1 二 填空题 31 解析 由题意得 解得 4 1 0 x 1121 1 2 1 21 x x 4 1 0 x 32 解析 2 e 2 sin2 sin2 1 0 1 0 sin21 lim sin21 limexx x x x x x x 33 5454 xyxy或 解析 设椭圆任一点处切线的斜率为54 22 yx k 方程两边对求导 得54 22 yxx 028 yyx 4 y x yk 又已知该切线与垂直 可知 4 3 4 1 xy 4 k 即 4 4 y x xy 联立 解得 54 22 yx xy 1 1 1 1 y x y x 或 11 所以该直线方程为 1 41 1 41 xyxy或 即5454 xyxy或 34 xyxy yxxy cos 2 cos 21 22 22 解析 xxyyx sin 22 对两边直接求导 得 1 22 cos 22 xyyyyxyx 1 cos 2 cos 2 2222 yyxxxyxyy xyxy yxxy y cos 2 cos 21 22 22 35 解析 因为函数的定义域为 又因 1xxxfln 0 当时 11 1 x x x xf 1 x0 xf 36 cos 2 C x 解析 cos 2 cos cos coscos sin cos tan 2 3 C x x xd dx xx x dx x x 37 3 2 3 解析 因为偶函数 是奇函数 所以 2 xx 3 sin 0 3 0 232 3 2 2 sin xdxxdxxx 3 2 3 38 解析 将曲线方程化为参数式 2 a tay tax sin cos 0 t 则 0 2 coscos sin sin adttatatataxdyydx L 39 x exy 2 1 2 解析 特征方程 解得 0144 2 rr 2 1 2 1 r 12 所以 x exCCy 2 1 21 由 得 0 0 2 0 yy 12 21 CC 故方程的解为 x exy 2 1 2 40 解析 因幂级数的系数为 所以1 n an 1 1 1 lim 1 1 1 limlim 1 n n n n a a nn n n n 故收敛半径1 1 R 三 计算题 41 4 1 解析 设 则 t x 1 12121 1 4 121 11221 122 2 2 2 22 ttt tt t tt xxxxx 22 2 2 211 12121 211 121 2 12121 121 2 tttt ttt ttt tt 2 211 12121 4 ttt 当时 于是上式趋于 即 x 0 1 t4 1 4 1 22 lim 22 xxxxxx x 42 e 1 2 e 解析 把 代入方程得 0 xexye y 1 y 0 xyyye y 当 代入上式得 0 x1 y e y 1 0 又 0 2 xyyyyeye yy 13 将 和代入上式得0 x1 y e y 1 0 2 0 ey 43 Cxxe x cossin3 10 1 3 解析 xx dexdxxe 33 sin 3 1 sin xxdexxe xxdexexe xdexe xdxexe xdxexe xx xxx xx xx xx sin 9 1 cossin3 9 1 sincos 9 1 sin 3 1 cos 9 1 sin 3 1 cos 3 1 sin 3 1 cossin 3 1 33 333 33 33 33 故 1 33 cossin3 9 1 sin 9 10 Cxxedxxe xx dxxe x sin 3 Cxxe x cossin3 10 1 3 44 2 解析 1 sin sin 0 2 0 2 2 x dxdx x x 0 0 0 0 2 2 2 2 2sin cossin2 0 cossin2sin xd x x dx x xx dx x xx x x 45 2222 2 2 yx xy x z 222 2222 yx xy xy z yx z 2222 2 2 yx xy y z 解析 222 2 1 1 yx y x y x y x z 22 2 1 1 1 yx x x x y y z 14 2222 2 2 yx xy x z 222 22 222 22222 2 yx xy yx xyx xy z yx z 2222 2 2 yx xy y z 46 在点 1 1 处取得极小值 yxf1 解析 33 33 22 xyyxfyxyxf yx 令 得驻点 033 033 2 2 xyyxf yxyxf y x 1 1 0 0 yyxfyxfxyxf yyxyxx 6 3 6 所以 369 2 xyACB 于是在点处 故在处无极值 0 0 0 2 ACB yxf 0 0 在点处 且 故在处有极小值 1 1 0 2 ACB06 A yxf 1 1 1 1 1 f 47 2ln414 解析 由 可得 则 2 xy x dx dy 2 xdxdy2 L dyxydx y ln2 1 2ln414 2 ln 1 ln24 1 2 ln2 2 1 2 24 2 1 3 2 2 1 2 2 x xxx x dxxxx x xdxxx x dx 48 cos sin 2 1 xxxxf 解析 由 xx dttfxdtttfxxf 00 sin 15 x dttfxxf 0 cos sin xfxxf 记 有 对应的特征方程为则对应齐次方程通 xfy xyysin i 01 2 1 rr 解为 xCxCysincos 21 由此 设特解 将其代入方程有 展开 对应 si