高中数学《函数表示法》素材2 新人教B版必修1

用心 爱心 专心 专题一专题一 函函 数数 考点聚焦考点聚焦 考点 1 函数的概念 表示法 定义域 值域 最值 考点 2 函数的单调性 奇偶性 周期性 考点 3 指数函数和对数函数的定义 性质 尤其是单调性 图象和应用 考点 4 反函数的定义 求反函数 函数图象的位置关系 考点 5 抽象函数问题的求解 考点 6 运用函数的思想 数形结合思想和分类讨论思想解决问题 考点 7 导数的概念及运算 导数的应用 自我检测自我检测 1 函数的定义是 2 对于函数定义域内任意x 若有 则f x 为奇函数 若有 则f x 为偶函数 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象 关于 对称 3 给定区间 D 上的函数f x 若对于任意x1 x2 D 当x10 y ax2 bx c a x h 2 k a x x1 x x2 a0 且a 1 对数函数y logax a 0 且a 1 图 象 a 10 a10 a 1 定义域 值 域 过点 过点 单调性 11 导数的定义是 12 写出常见函数的导数 13 导数与单调性 f x 0 f x 0 重点重点 难点难点 热点热点 问题 函数的定义域问题问题 函数的定义域问题 函数由定义域 解析式 值域三要素构成 而注重解析式同时还要注意定 义域的限制 定义域的求法主要是使得解析式有意义 另外含参数函数以及复 合函数的定义域是难点 含参数函数定义域往往需要分类讨论 复合函数定义 域求法 f x定义域为 a b f g x的定义域是指满足 ag xb 的x的 取值范围 而若已知 f g x定义域为 a b是指 xa b 此时求 f x定义 域是指在 xa b 的条件下 求 g x的值域 1 函数 22 1 ln 3234 yxxxx x 的定义域为 2 含参数 求函数 1 0 1 0 1 xx aabb akb y 的定义域 0 1 0 2 0 0 log 0 0 log 01 0 xx x a b a b akb a k b kxR kabxx xk kab xx xk kabxR 3 06 湖北高考 2 2 lg x x f x 则 2 2 x x ff 的定义域为 用心 爱心 专心 4 1 1 4 4 lg 1 fx 的定义域为 0 9 则函数 2 x f的定义域为 0 5 逆向思维 2 1 mxmxf x 的定义域为 R 则求m的取值范围 答案 0 4 专题小结 1 求解函数解析式是高考重点考查内容之一 求解函数解析式的方法主要 有 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 待定系数法 2 换元法或配凑法 已知复合函数 f g x 的表达 式可用换元法 当表达式较简单时也可用配凑法 3 消参法 若已知抽象的 函数表达式 则用解方程组消参的方法求解f x 另外 在解题过程中经常用 到分类讨论 等价转化等数学思想方法 2 函数值域的常用求法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 配方法 分离变量法 单调性法 图象法 换 元法 不等式法等无论用什么方法求函数的值域 都必须考虑函数的定义域 3 函数的单调性 奇偶性是高考的重点内容之一 考查内容灵活多样 判 断函数的奇偶性与单调性方法 若为具体函数 严格按照定义判断 若为抽象 函数 用好赋值法 注意赋值的科学性 合理性 复合函数的奇偶性 单调性 解决的关键在于 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 既把握复合过程 又掌握基本函数 4 三个 二次 是中学数学的重要内容 具有丰富的内涵和密切的联系 同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与 这三个 二次 问题有关 复习时要理解三者之间的区别及联系 掌握函数 方 程及不等式的思想和方法 5 掌握指数函数 对数函数函数的概念 图象和性质并能灵活应用图象和 性质分析问题 解决问题 特别是底是参数时 一定要区分底是大于 1 还是小 于 1 与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域 6 求函数的导数有两种方法 一种方法是用定义求 先求函数的改变量 再求平均变化率 最后取极限 得导数 另一种方法是利用公式与法则求导数 利用函数的导数研究函数的性质 先对函数求导 再利用导数y 的正负判断 函数的单调性或求函数的极值 或最值 挑战自我挑战自我 设函数 0 1 2 2 2 Rbaa x baxx xf 试证明 1 存在两个实数 2121 mmmm 满足 2 1 1 1 1 2 2 i xm axm mxf i i i 2 2 21 1 1 amm 3 21 mxfm 思路 由 存在两个实数 21 m m 联想到构造一个关于m的二次方程 只 需证明该方程有两个 不等的实根 21 m m即可 用心 爱心 专心 证明 1 令 1 1 1 2 2 xm axm mxf 将f x 的解析式代入化简得关于 m的一元二次方程 0 1 22 abmbm 因为 0 04 1 22 aab 所以方程 有两个不等实根 记为 2121 mmmm 故实数 2121 mmmm 满足方程 2 因为 2121 mmmm 是方程 方程的两实根 所以 2 2121 1abmmbmm 2 212121 1 1 1 ammmmmm 3 由 1 知 1 1 1 2 1 2 1 1 xm axm mxf 1 1 1 2 2 2 2 2 xm axm mxf 所以 1 1 1 2 1 2 1 21 xm axm mxfmxf 1 1 1 2 2 2 2 xm axm 1 1 1 1 1 2 21 2 2 2 1 xmm axmaxm 1 1 1 22 2 2 2 1 xa axmaxm 0 所以 21 mxfm 点评点评 本题以全新的面目考查了二次方程 二次不等式的有关内容 从而 将函数 方程 不等式融为一体 这里的处理由 到 再到 是循序渐进的 若 将 变为0 1 1 1 22 ambm 这是一个关于 1 m的一元二次方程 这的两个实根为 21 1 1 mm 且两根之积为 2 21 1 1 amm 这就同 时证明了 1 和 2 再将已知条件变形为y f x 变形为02 1 2 ybaxxy 由 0 得 0 1 22 abyby 与 比较可得 21 mym 即 21 mxfm 可见这里的 2121 mmmm 实质上是函数f x 的最小值 最大值 这从题 3 中可以悟出来 对题目的要求 有较大的难度 有特别的解题思路 演变角度 要有一定 的梯度 答案及点拨答案及点拨 演变题要有点拨 原创题有详解 一般题给答案 演变演变 1 1 解法一 换元法 f 2 cosx cos2x cosx 2cos2x cosx 1 用心 爱心 专心 令u 2 cosx 1 u 3 则cosx 2 u f 2 cosx f u 2 2 u 2 2 u 1 2u2 7u 5 1 u 3 f x 1 2 x 1 2 7 x 1 5 2x2 11x 4 2 x 4 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 配凑法 f 2 cosx 2cos2x cosx 1 2 2 cosx 2 7 2 cosx 5 f x 2x2 7x 5 1 x 3 即f x 1 2x2 11x 14 2 x 4 演变演变 2 2 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 当 x 1 时 设f x x b 射线过点 2 0 0 2 b即b 2 f x x 2 2 当 1 x1 x m 2 m 1 1 m 0 恒成立 故f x 的定义域为 R R 反之 若f x 对所有实数x都有意义 则只须x2 4mx 4m2 m 1 1 m 0 令 0 即 16m2 4 4m2 m 1 1 m 0 解得m 1 故m M 2 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 u x2 4mx 4m2 m 1 1 m y log3u是增函数 当u最小时 f x 最小 而u x 2m 2 m 1 1 m 显然 当x m时 u取最小值为m 1 1 m 此时f 2m log3 m 1 1 m 为最小值 3 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 m M时 m 1 1 m m 1 1 1 m 1 3 当且仅当m 2 时等号成立 log3 m 1 1 m log33 1 演变演变 4 4 1 令a b 0 则f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 令a x b x 则 f 0 f x f x x f 1 x f 由已知x 0 时 f x 1 0 当x0 f x 0 0 x f 1 x f 又x 0 时 f 0 1 0 对任意x R f x 0 用心 爱心 专心 3 任取x2 x1 则f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 1 xx f x f x f x f x f 1212 1 2 f x2 f x1 f x 在 R 上是增函数 演变演变 5 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f x 是 R R 上的奇函数 且在 0 上是增函数 f x 是 R R 上的增函数于是不等式可等价地转化为f cos2 3 f 2mcos 4m 即cos2 3 2mcos 4m 即cos2 mcos 2m 2 0 设t cos 则问题等价地转化为函数 g t t2 mt 2m 2 t 2 m 2 4 2 m 2m 2 在 0 1 上的值恒为正 又转化为函数g t 在 0 1 上的最小值为正 当 2 m 0 即m0 m 1 与m0 4 22 m 4 22 4 221 即m 2 时 g 1 m 1 0 m 1 m 2 综上 符合题目要求的m的值存在 其取值范围是m 4 22 演变演变 6 6 由条件知 0 即 4a 2 4 2a 12 0 2 3 a 2 1 当 2 3 a 1 时 原方程化为 x a2 a 6 a2 a 6 a 2 1 2 4 25 a 2 3 时 xmin 4 9 a 2 1 时 xmax 4 25 4 9 x 4 25 2 当 1 a 2 时 x a2 3a 2 a 2 3 2 4 1 当a 1 时 xmin 6 当a 2 时 xmax 12 6 x 12 综上所述 4 9 x 12 演变演变 7 7 1 由 x x 1 1 0 且 2 x 0 得F x 的定义域为 1 1 设 1 x1 x2 1 则F x2 F x1 12 2 1 2 1 xx 1 1 2 2 2 2 1 1 log 1 1 log x x x x 1 1 1 1 log 2 2 21 21 2 21 12 xx xx xx xx 用心 爱心 专心 x2 x1 0 2 x1 0 2 x2 0 上式第 2 项中对数的真数大于 1 因此F x2 F x1 0 F x2 F x1 F x 在 1 1 上是增函数 2 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 y f x x x 1 1 log2得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2y 12 12 1 1 y y x x x f 1 x 12 12 x x f x 的值域为 R R f 1 x 的定义域为 R R 当n 3 时 f 1 n 122 1 1 1 12 2 1 112 12 1 n nn n n n n nn n 用二项式定理或数学归纳法易证 2n 2n 1 n 3 证略 3 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 F 0 2 1 F 1 2 1 0 x 2 1 是F 1 x 0 的一个根 假设F 1 x 0 还有一个解x0 x0 2 1 则F 1 x0 0 于 是F 0 x0 x0 2 1 这是不可能的 故F 1 x 0 有惟一解 演变演变 8 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 由题意得 f f x f x2 c x2 c 2 c f x2 1 x2 1 2 c f f x f x2 1 x2 c 2 c x2 1 2 c x2 c x2 1 c 1 f