乘法公式的灵活运用

1 乘法公式的灵活运用乘法公式的灵活运用 一 复习一 复习 a b a b a a b a b a2 2 b b2 2 a b a b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 a b a b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 a b a a b a2 2 ab b ab b2 2 a a3 3 b b3 3 a b a a b a2 2 ab b ab b2 2 a a3 3 b b3 3 归纳小结公式的变式 准确灵活运用公式 归纳小结公式的变式 准确灵活运用公式 位置变化 位置变化 x x y y y y x x x x2 2 y y2 2 符号变化 符号变化 x x y y x x y y x x 2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 指数变化 指数变化 x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x4 4 y y4 4 系数变化 系数变化 2 2a a b b 2 2a a b b 4 4a a2 2 b b2 2 换式变化 换式变化 xyxy z z m m xyxy z z m m xyxy 2 2 z z m m 2 2 x x2 2y y2 2 z z m m z z m m x x2 2y y2 2 z z2 2 zmzm zmzm m m2 2 x x2 2y y2 2 z z2 2 2 2zmzm m m2 2 增项变化 增项变化 x x y y z z x x y y z z x x y y 2 2 z z2 2 x x y y x x y y z z2 2 x x2 2 xyxy xyxy y y2 2 z z2 2 x x2 2 2 2xyxy y y2 2 z z2 2 连用公式变化 连用公式变化 x x y y x x y y x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x4 4 y y4 4 逆用公式变化 逆用公式变化 x x y y z z 2 2 x x y y z z 2 2 x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z 2 2x x 2 2y y 2 2z z 4 4xyxy 4 4xzxz 例例 1 1 已知 已知 求 求的值 的值 2 ba1 ab 22 ba 解 解 2 ba 22 2baba 22 ba abba2 2 2 ba1 ab 22 ba 21222 例例 2 2 已知 已知 求 求的值 的值 8 ba2 ab 2 ba 解 解 2 ba 22 2baba 2 ba 22 2baba 2 ba 2 baab4 2 baab4 2 ba 8 ba2 ab 2 ba562482 例例 3 3 计算 计算 199919992 2 2000 1998 2000 1998 解析解析 此题中此题中 2000 1999 12000 1999 1 1998 1999 11998 1999 1 正好符合平方差公式 正好符合平方差公式 解 解 199919992 2 2000 1998 2000 1998 1999 19992 2 1999 11999 1 1999 11999 1 1999 19992 2 199919992 2 1 12 2 1999 19992 2 1999 19992 2 1 1 1 1 例例 4 4 已知 已知 a b 2a b 2 ab 1ab 1 求 求 a a2 2 b b2 2和和 a b a b 2 2的值 的值 解析解析 此题可用完全平方公式的变形得解 此题可用完全平方公式的变形得解 解 解 a a2 2 b b2 2 a b a b 2 2 2ab 4 2 2 2ab 4 2 2 a b a b 2 2 a b a b 2 2 4ab 4 4 0 4ab 4 4 0 2 例例 5 5 已知 已知 x y 2x y 2 y z 2y z 2 x z 14x z 14 求 求 x x2 2 z z2 2的值 的值 解析解析 此题若想根据现有条件求出此题若想根据现有条件求出 x x y y z z 的值 比较麻烦 考虑到的值 比较麻烦 考虑到 x x2 2 z z2 2是由是由 x zx z 和和 x zx z 的积得来的 所的积得来的 所 以只要求出以只要求出 x zx z 的值即可 的值即可 解 因为解 因为 x y 2x y 2 y z 2y z 2 将两式相加得 将两式相加得 x z 4x z 4 所以 所以 x x2 2 z z2 2 x zx z x z 14 4 56 x z 14 4 56 例例 6 6 判断 判断 2 12 1 2 22 2 1 1 2 24 4 1 1 2 22048 2048 1 1 1 1 的个位数字是几 的个位数字是几 解析解析 此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案 故有一定的规律可循 观察到此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案 故有一定的规律可循 观察到 1 1 2 12 1 和上式可构 和上式可构 成循环平方差 成循环平方差 解 解 2 12 1 2 22 2 1 1 2 24 4 1 1 2 22048 2048 1 1 1 1 2 12 1 2 22 2 1 1 2 24 4 1 1 2 22048 2048 1 1 1 1 2 24096 4096 因为当一个数的个位数字是因为当一个数的个位数字是 6 6 的时候 这个数的任意正整数幂的个位数字都是的时候 这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6 6 所以上式的个位数字必为 所以上式的个位数字必为 6 6 例例 7 7 运用公式简便计算 运用公式简便计算 1 1 1031032 2 2 2 1981982 2 解 解 1 1 1031032 2 100100 3 3 2 2 1001002 2 2 2 100100 3 3 3 32 2 1000010000 600600 9 9 1060910609 2 2 1981982 2 200200 2 2 2 2 2002002 2 2 2 200200 2 2 2 22 2 4000040000 800800 4 4 3920439204 例例 8 8 计算 计算 1 1 a a 4 4b b 3 3c c a a 4 4b b 3 3c c 2 2 3 3x x y y 2 2 3 3x x y y 2 2 解 解 1 1 原式 原式 a a 3 3c c 4 4b b a a 3 3c c 4 4b b a a 3 3c c 2 2 4 4b b 2 2 a a2 2 6 6acac 9 9c c2 2 1616b b2 2 2 2 原式 原式 3 3x x y y 2 2 3 3x x y y 2 2 9 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 4 9 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 4 例例 9 9 解下列各式 解下列各式 1 1 已知 已知a a2 2 b b2 2 1313 abab 6 6 求 求 a a b b 2 2 a a b b 2 2的值 的值 2 2 已知 已知 a a b b 2 2 7 7 a a b b 2 2 4 4 求 求a a2 2 b b2 2 abab的值 的值 3 3 已知 已知a a a a 1 1 a a2 2 b b 2 2 求 求的值 的值 22 2 ab ab 4 4 已知 已知 求 求的值 的值 1 3x x 4 4 1 x x 分析 在公式分析 在公式 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab中 如果把中 如果把a a b b a a2 2 b b2 2和和abab分别看作是一个整体 则公式中有三个未知数 知分别看作是一个整体 则公式中有三个未知数 知 道了两个就可以求出第三个 道了两个就可以求出第三个 解 解 1 1 a a2 2 b b2 2 1313 abab 6 6 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 2525 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 1 1 2 2 a a b b 2 2 7 7 a a b b 2 2 4 4 a a2 2 2 2abab b b2 2 7 7 a a2 2 2 2abab b b2 2 4 4 得得 2 2 a a2 2 b b2 2 1111 即 即 22 11 2 ab 得得 4 4abab 3 3 即 即 3 4 ab 3 3 由 由a a a a 1 1 a a2 2 b b 2 2 得得a a b b 2 2 22 22 1 2 22 ab ababab 2211 22 22 ab 3 4 4 由 由 得 得 即即 1 3x x 1 9x x 2 2 1 29x x 2 2 1 11x x 即即 2 2 1 121x x 4 4 1 2121x x 4 4 1 119x x 例例 1010 四个连续自然数的乘积加上 四个连续自然数的乘积加上 1 1 一定是平方数吗 为什么 一定是平方数吗 为什么 分析 由于分析 由于 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2525 5 52 2 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 121121 11112 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 1 361361 19192 2 得猜想 任意四个连续自然数的乘积加上得猜想 任意四个连续自然数的乘积加上 1 1 都是平方数 都是平方数 解 设解 设n n n n 1 1 n n 2 2 n n 3 3 是四个连续自然数是四个连续自然数 则则n n n n 1 1 n n 2 2 n n 3 3 1 1 n n n n 3 3 n n 1 1 n n 2 2 1 1 n n2 2 3 3n n 2 2 2 2 n n2 2 3 3n n 1 1 n n2 2 3 3n n n n2 2 3 3n n 2 2 1 1 n n2 2 3 3n n 1 1 2 2 n n是整数 是整数 n n2 2 3 3n n都是整数都是整数 n n2 2 3 3n n 1 1 一定是整数一定是整数 n n2 2 3 3n n 1 1 是一个平方数是一个平方数 四个连续整数的积与四个连续整数的积与 1 1 的和必是一个完全平方数 的和必是一个完全平方数 例例 1111 计算 计算 1 1 x x2 2 x x 1 1 2 2 2 2 3 3m m n n p p 2 2 解 解 1 1 x x2 2 x x 1 1 2 2 x x2 2 2 2 x x 2 2 1 12 2 2 2 x x2 2 x x 2 2 x x2 2 1 1 2 2 x x 1 1 x x4 4 x x2 2 1 1 2 2x x3 3 2 2x x2 2 2 2x x x x4 4 2 2x x3 3 3 3x x2 2 2 2x x 1 1 2 2 3 3m m n n p p 2 2 3 3m m 2 2 n n2 2 p p 2 2 2 2 3 3m m n n 2 2 3 3m m p p 2 2 n n p p 9 9m m2 2 n n2 2 p p2 2 6 6mnmn 6 6mpmp 2 2npnp 分析 两数和的平方的推广分析 两数和的平方的推广 a a b b c c 2 2 a a b b c c 2 2 a a b b 2 2 2 2 a a b b c c c c2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 2 2acac 2 2bcbc c c2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2acac 即即 a a b b c c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2acac 几个数的和的平方 等于它们的平方和加上每两个数的积的几个数的和的平方 等于它们的平方和加上每两个数的积的 2 2 倍 倍 二 乘法公式的用法二 乘法公式的用法 一一 套用 套用 这是最初的公式运用阶段 在这个环节中 应弄清乘法公式的来龙去脉 准确地掌握其特征 为辨这是最初的公式运用阶段 在这个环节中 应弄清乘法公式的来龙去脉 准确地掌握其特征 为辨 认和运用公式打下基础 同时能提高学生的观察能力 认和运用公式打下基础 同时能提高学生的观察能力 例例 1 1 计算 计算 解 原式解 原式 5353 2222 xyxy 53259 2 2 2 2 44 xyxy 二二 连用 连用 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题 例例 2 2 计算 计算 1111 24 a aaa 解 原式解 原式 111 224 aaa 11 1 44 8 aa a 例例 3 3 计算 计算 32513251xyzxyz 解 原式解 原式 25312531yzxyzx 4 2531 49252061 22 222 yzx yxzyzx 三 逆用三 逆用 学习公式不能只会正向运用 有时还需要将公式左 右两边交换位置 得出公式的逆向形式 并运用学习公式不能只会正向运用 有时还需要将公式左 右两边交换位置 得出公式的逆向形式 并运用 其解决问题 其解决问题 例例 4 4 计算 计算 578578 22 abcabc 解 原式解 原式 578578578578abcabcabcabc 10 1416 140160 abc abac 四 变用四 变用 题目变形后运用公式解题 题目变形后运用公式解题 例例 5 5 计算 计算 xyz xyz 26 解 原式解 原式 xyzzxyzz2424 xyzz xyzxyxzyz 24 12244 22 222 五 活用五 活用 把公式本身适当变形后再用于解题 这里以完全平方公式为例 经过变形或重新组合 可得如下几把公式本身适当变形后再用于解题 这里以完全平方公式为例 经过变形或重新组合 可得如下几 个比较有用的派生公式 个比较有用的派生公式 12 22 32 44 2 22 2 22 22 22 22 ababab ababab ababab ababab 灵活运用这些公式 往往可以处理一些特殊的计算问题 培养综合运用知识的能力 灵活运用这些公式 往往可以处理一些特殊的计算问题 培养综合运用知识的能力 例例 6 6 已知已知 求 求的值 的值 abab 45 ab 22 解 解 ababab 22 2 2 242526 例例 7 7 计算 计算 abcdbcda 22 解 原式解 原式 bcadbcad 22 2 222244 22 2222 bcad abcdbcad 例例 8 8 已知实数已知实数 x x y y z z 满足满足 那么 那么 xyzxyy 59 2 xyz 23 5 解 由两个完全平方公式得 解 由两个完全平方公式得 ababab 1 4 22 从而从而 zxyy 22 21 4 59 25 4 1 4 529 69 69 3 2 2 2 2 yy yy yy y zy zy x xyz 2 2 30 03 2 2322308 三 学习乘法公式应注意的问题三 学习乘法公式应注意的问题 一 注意掌握公式的特征 认清公式中的 一 注意掌握公式的特征 认清公式中的 两数两数 例例 1 1 计算计算 2 2x x2 2 5 2 5 2x x2 2 5 5 分析 本题两个因式中分析 本题两个因式中 5 5 相同 相同 2 2x x2 2 符号相反 因而符号相反 因而 5 5 是公式是公式 a a b b a a b b a a2 2 b b2 2中的中的a a 而 而 2 2x x2 2 则是公式中的则是公式中的b b 解 原式解 原式 5 2 5 2x x2 2 5 2 5 2x x2 2 5 5 2 2 2 2x x2 2 2 2 25 4 25 4x x4 4 例例 2 2 计算计算 a a2 2 4 4b b 2 2 分析 运用公式分析 运用公式 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2时 时 a a2 2 就是公式中的就是公式中的a a 4 4b b 就是公式中的就是公式中的b b 若将题目变形为 若将题目变形为 4 4b b a a2 2 2 2 时 则时 则 4 4b b 是公式中的是公式中的a a 而 而 a a2 2 就是公式中的就是公式中的b b 解略 解略 二 注意为使用公式创造条件 二 注意为使用公式创造条件 例例 3 3 计算计算 2 2x x y y z z 5 2 5 2x x y y z z 5 5 分析 粗看不能运用公式计算 但注意观察 两个因式中的分析 粗看不能运用公式计算 但注意观察 两个因式中的 2 2x x 5 5 两项同号 两项同号 y y z z 两项异号 两项异号 因而 可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式 因而 可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式 解 原式解 原式 2 2x x 5 5 y y z z 2 2x x 5 5 y y z z 2 2x x 5 5 2 2 y y z z 2 2 4 4x x2 2 20 20 x x 25 25 y y 2 2yzyz z z2 2 例例 4 4 计算计算 a a 1 1 2 2 a a2 2 a a 1 1 2 2 a a6 6 a a3 3 1 1 2 2 分析 若先用完全平方公式展开 运算十分繁冗 但注意逆用幂的运算法则 则可利用乘法公式 使运算简分析 若先用完全平方公式展开 运算十分繁冗 但注意逆用幂的运算法则 则可利用乘法公式 使运算简 便 便 解 原式解 原式 a a 1 1 a a2 2 a a 1 1 a a6 6 a a3 3 1 1 2 2 a a3 3 1 1 a a6 6 a a3 3 1 1 2 2 a a9 9 1 1 2 2 a a18 18 2 2a a9 9 1 1 例例 5 5 计算计算 2 1 2 2 1 22 2 1 2 1 24 4 1 2 1 28 8 1 1 分析 此题乍看无公式可用 分析 此题乍看无公式可用 硬乘硬乘 太繁 但若添上一项 太繁 但若添上一项 2 12 1 则可运用公式 使问题化繁为简 则可运用公式 使问题化繁为简 6 解 原式解 原式 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 2 1 2 1 24 4 1 2 1 28 8 1 1 2 22 2 1 2 1 22 2 1 2 1 24 4 1 2 1 28 8 1 1 2 24 4 1 2 1 24 4 1 2 1 28 8 1 1 2 28 8 1 1 2 28 8 1 1 2 216 16 1 1 三 注意公式的推广 三 注意公式的推广 计算多项式的平方 由计算多项式的平方 由 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 可推广得到 可推广得到 a a b b c c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2acac 2 2bcbc 可叙述为 多项式的平方 等于各项的平方和 加上每两项乘积的可叙述为 多项式的平方 等于各项的平方和 加上每两项乘积的 2 2 倍 倍 例例 6 6 计算计算 2 2x x y y 3 3 2 2 解 原式解 原式 2 2x x 2 2 y y2 2 3 3 2 2 2 2 2 2x x y y 2 2 2 2x x 3 2 3 2 y y 3 3 4 4x x2 2 y y2 2 9 4 9 4xyxy 12 12x x 6 6y y 四 注意公式的变换 灵活运用变形公式 四 注意公式的变换 灵活运用变形公式 例例 7 7 1 1 已知已知x x y y 10 10 x x3 3 y y3 3 100 100 求 求x x2 2 y y2 2的值 的值 2 2 已知 已知 x x 2 2y y 7 7 xyxy 6 6 求 求 x x 2 2y y 2 2的值 的值 分析 粗看似乎无从下手 但注意到乘法公式的下列变形 分析 粗看似乎无从下手 但注意到乘法公式的下列变形 x x2 2 y y2 2 x x y y 2 2 2 2xyxy x x3 3 y y3 3 x x y y 3 3 3 3xyxy x x y y x x y y 2 2 x x y y 2 2 4 4xyxy 问题则十分简单 问题则十分简单 解 解 1 1 x x3 3 y y3 3 x x y y 3 3 3 3xyxy x x y y 将已知条件代入得 将已知条件代入得 100 10100 103 3 3 3xyxy 10 10 xyxy 30 30 故故x x2 2 y y2 2 x x y y 2 2 2 2xyxy 10 102 2 2 30 40 2 30 40 2 2 x x 2 2y y 2 2 x x 2 2y y 2 2 8 8xyxy 7 72 2 8 6 1 8 6 1 例例 8 8 计算计算 a a b b c c 2 2 a a b b c c 2 2 a a b b c c b b a a c c 2 2 分析 直接展开 运算较繁 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出分析 直接展开 运算较繁 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 a a b b 2 2 a a b b 2 2 2 2 a a2 2 b b2 2 因而问题容 因而问题容 易解决 易解决 解 原式解 原式 a a b b c c 2 2 a a b b c c 2 2 c c a a b b 2 2 c c a a b b 2 2 2 2 a a b b 2 2 c c2 2 2 2 c c2 2 a a b b 2 2 2 2 a a b b 2 2 a a b b 2 2 4 4c c2 2 4 4a a2 2 4 4b b2 2 4 4c c2 2 五 注意乘法公式的逆运用 五 注意乘法公式的逆运用 例例 9 9 计算计算 a a 2 2b b 3 3c c 2 2 a a 2 2b b 3 3c c 2 2 分析 若按完全平方公式展开 再相减 运算繁杂 但逆用平方差公式 则能使运算简便得多 分析 若按完全平方公式展开 再相减 运算繁杂 但逆用平方差公式 则能使运算简便得多 解 原式解 原式 a a 2 2b b 3 3c c a a 2 2b b 3 3c c a a 2 2b b 3 3c c a a 2 2b b 3 3c c 2 2a a 4 4b b 6 6c c 8 8abab 12 12acac 例例 1010 计算计算 2 2a a 3 3b b 2 2 2 2 2 2a a 3 3b b 5 5b b 4 4a a 4 4a a 5 5b b 2 2 分析 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算 但逆用完全平方公式 则运算更为简便 分析 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算 但逆用完全平方公式 则运算更为简便 解 原式解 原式 2 2a a 3 3b b 2 2 2 2 2 2a a 3 3b b 4 4a a 5 5b b 4 4a a 5 5b b 2 2 2 2a a 3 3b b 4 4a a 5 5b b 2 2 6 6a a 2 2b b 2 2 36 36a a2 2 24 24abab 4 4b b2 2 四 怎样熟练运用公式 四 怎样熟练运用公式 一 一 明确公式的结构特征 明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提 如平方差公式的结构特征是 符号左边是两个二项式相乘 且在这四项中有两项完这是正确运用公式的前提 如平方差公式的结构特征是 符号左边是两个二项式相乘 且在这四项中有两项完 全相同 另两项是互为相反数 等号右边是乘式中两项的平方差 且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了公全相同 另两项是互为相反数 等号右边是乘式中两项的平方差 且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了公 式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式 式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式 7 二 二 理解字母的广泛含义 理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母乘法公式中的字母a a b b可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 理解了字母含义的广泛性 就能在更广可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 理解了字母含义的广泛性 就能在更广 泛的范围内正确运用公式 如计算 泛的范围内正确运用公式 如计算 x x 2 2y y 3 3z z 2 2 若视 若视x x 2 2y y为公式中的为公式中的a a 3 3z z为为b b 则就可用 则就可用 a a b b 2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2来解了 来解了 三 三 熟悉常见的几种变化 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 此时要根据公式特征 合理调整变化 使其有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 此时要根据公式特征 合理调整变化 使其 满足公式特点 满足公式特点 常见的几种变化是 常见的几种变化是 1 1 位置变化 位置变化 如 如 3 3x x 5 5y y 5 5y y 3 3x x 交换 交换 3 3x x和和 5 5y y的位置后即可用平方差公式计算了 的位置后即可用平方差公式计算了 2 2 符号变化 符号变化 如 如 2 2m m 7 7n n 2 2m m 7 7n n 变为 变为 2 2m m 7 7n n 2 2m m 7 7n n 后就可用平方差公式求解了 思考 不变 后就可用平方差公式求解了 思考 不变 或不这样变 可以吗 或不这样变 可以吗 3 3 数字变化 数字变化 如如 9 98 8 1 10 02 2 9 99 92 2 9 91 12 2等等分分别别变变为为 1 10 00 0 2 2 1 10 00 0 2 2 1 10 00 0 1 1 2 2 9 90 0 1 1 2 2后就能够用乘法公式加以后就能够用乘法公式加以 解答了 解答了 4 4 系数变化 系数变化 如 如 4 4m m 2 2m m 变为 变为 2 2 2 2m m 2 2m m 后即可用平方差公式进行计算了 后即可用平方差公式进行计算了 2 n 4 n 4 n 4 n 5 5 项数变化 项数变化 如 如 x x 3 3y y 2 2z z x x 3 3y y 6 6z z 变为 变为 x x 3 3y y 4 4z z 2 2z z x x 3 3y y 4 4z z 2 2z z 后再适当分组就可以用乘法公 后再适当分组就可以用乘法公 式来解了 式来解了 四 四 注意公式的灵活运用 注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便 如计算 有些题目往往可用不同的公式来解 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便 如计算 a a2 2 1 1 2 2 a a2 2 1 1 2 2 若分别展开后再相乘 则比较繁琐 若逆用积的乘方法则后再进一步计算 则非常简便 即原式 若分别展开后再相乘 则比较繁琐 若逆用积的乘方法则后再进一步计算 则非常简便 即原式 a a2 2 1 1 a a2 2 1 1 2 2 a a4 4 1 1 2 2 a a8 8 2 2a a4 4 1 1 对数学公式只会顺向 从左到右 运用是远远不够的 还要注意逆向 从右到左 运用 如计算 对数学公式只会顺向 从左到右 运用是远远不够的 还要注意逆向 从右到左 运用 如计算 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 若分别算出各因式的值后再行相乘 不仅计算繁难 而且容易出 若分别算出各因式的值后再行相乘 不仅计算繁难 而且容易出 2 3 1 2 4 1 2 9 1 2 10 1 错 若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式 则可巧解本题 错 若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式 则可巧解本题 即原式即原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 2 1 10 11 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决 而要用到乘法公式的变式 乘法公式的变式主要有 有时有些问题不能直接用乘法公式解决 而要用到乘法公式的变式 乘法公式的变式主要有 a a2 2 b b2 2 a a b b 2 2 2 2abab a a2 2 b b2 2 a a b b 2 2 2 2abab等 等 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 如已知如已知m m n n 7 7 mnmn 1818 求 求m m2 2 n n2 2 m m2 2 mnmn n n2 2的值 的值 面对这样的问题就可用上述变式来解 面对这样的问题就可用上述变式来解 即即m m2 2 n n2 2 m m n n 2 2 2 2mnmn 7 72 2 2 2 1818 49 36 85 49 36 85 m m2 2 mnmn n n2 2 m m n n 2 2 3 3mnmn 7 72 2 3 3 1818 103 103 下列各题 难不倒你吧 下列各题 难不倒你吧 1 1 若 若a a 5 5 求 求 1 1 a a2 2 2 2 a a 2 2的值 的值 a 1 2 1 aa 1 2 2 求 求 2 12 1 2 22 2 1 1 2 24 4 1 1 2 28 8 1 1 2 216 16 1 1 2 232 32 1 1 2 264 64 1 1 1 1 的末位数字 的末位数字 答案 答案 1 1 1 1 2323 2 2 2121 2 2 6 6 8 五 乘法公式应用的五个层次五 乘法公式应用的五个层次 乘法公式 乘法公式 a a b ab a b ab a2 2 b b2 2 a b a a b a2 2 2ab 2ab b b2 2 a b a a b a2 2 ab ab b b2 2 a a3 3 b b3 3 第一层次第一层次 正用正用 即根据所求式的特征 模仿公式进行直接 简单的套用 即根据所求式的特征 模仿公式进行直接 简单的套用 例例 1 1 计算计算 2 2 2x2x y 2xy 2x y y 2 2 原式原式 y y 2x 2x y y 2x y2x y2 2 4x4x2 2 第二层次第二层次 逆用 即将这些公式反过来进行逆向使用 逆用 即将这些公式反过来进行逆向使用 例例 2 2 计算计算 1 1998 1 19982 2 1998 39941998 3994 199719972 2 解解 1 1 原式原式 1998 19982 2 2 1998 19972 1998 1997 199719972 2 1998 1998 1997 1997 2 2 1 1 第三层次第三层次 活用活用 根据待求式的结构特征 探寻规律 连续反复使用乘法公式 有时根据需要创造条件 根据待求式的结构特征 探寻规律 连续反复使用乘法公式 有时根据需要创造条件 灵活应用公式 灵活应用公式 例例 3 3 化简 化简 2 2 1 21 22 2 1 21 24 4 1 21 28 8 1 1 1 1 分析直接计算繁琐易错 注意到这四个因式很有规律 如果再增添一个因式分析直接计算繁琐易错 注意到这四个因式很有规律 如果再增添一个因式 2 2 1 1 便可连续应用平方差公式 便可连续应用平方差公式 从而问题迎刃而解 从而问题迎刃而解 解原式解原式 2 2 1 21 2 1 21 22 2 1 21 24 4 1 21 28 8 1 1 1 1 2 22 2 1 21 22 2 1 21 24 4 1 21 28 8 1 1 1 21 216 16 例例 4 4 计算 计算 2x 2x 3y3y 1 1 2x2x 3y3y 5 5 9 分析仔细观察 易见两个因式的字母部分与平方差公式相近 但常数不符 于是可创造条件分析仔细观察 易见两个因式的字母部分与平方差公式相近 但常数不符 于是可创造条件 拆拆 数 数 1 21 2 3 3 5 25 2 3 3 使用公式巧解 使用公式巧解 解原式解原式 2x 2x 3y3y 3 3 2 2 2x2x 3y3y 3 3 2 2 2 2 3y 3y 2x 2x 3 23 2 3y 3y 2x 2x 3 3 2 2 3y 3y 2 2 2x 2x 3 3 2 2 9y 9y2 2 4x4x2 2 12x12x 12y12y 5 5 第四层次第四层次 变用变用 解某些问题时 若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式 如 解某些问题时 若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式 如 a a2 2 b b2 2 a a b b 2 2 2ab2ab a a3 3 b b3 3 a a b b 3 3 3ab a3ab a b b 等 则求解十分简单 明快 等 则求解十分简单 明快 例例 5 5 已知已知 a a b 9b 9 ab 14ab 14 求 求 2a2a2 2 2b2b2 2和和 a a3 3 b b3 3的值 的值 解 解 a a b 9b 9 ab 14ab 14 2a 2a2 2 2b2b2 2 2 a 2 a b b 2 2 2ab 2 92ab 2 92 2 2 14 1062 14 106 a a3 3 b b3 3 a a b b 3 3 3ab a3ab a b 9b 93 3 3 14 9 3513 14 9 351 第五层次第五层次 综合后用综合后用 将 将 a a b b 2 2 a a2 2 2ab2ab b b2 2和和 a a b b 2 2 a a2 2 2ab2ab b b2 2综合 综合 可得可得 a a b b 2 2 a a b b 2 2 2 a 2 a2 2 b b2 2 a a b b 2 2 a a b b 2 2 4ab 4ab 等 合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖 简捷 等 合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖 简捷 例例 6 6 计算 计算 2x 2x y y z z 5 2x5 2x y y z z 5 5 解 原式解 原式 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 2 2 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 2 2 1 4 1 4 2x 2x 5 5 2 2 y y z z 2 2 4x 4x2 2 20 x20 x 2525 y y2 2 2yz2yz z z2 2 六 正确认识和使用乘法公式六 正确认识和使用乘法公式 1 1 数形结合的数学思想认识乘法公式 数形结合的数学思想认识乘法公式 对于学习的两种 三个 乘法公式 平方差公式 对于学习的两种 三个 乘法公式 平方差公式 a b a b a a b a b a2 2 b b2 2 完全平方公式 完全平方公式 a b a b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 a a b b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们 假设 可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们 假设 a a b b 都是正数 那么可以用以下图形所示意都是正数 那么可以用以下图形所示意 的面积来认识乘法公式 的面积来认识乘法公式 如图如图 1 1 两个矩形的面积之和 即阴影部分的面积 为 两个矩形的面积之和 即阴影部分的面积 为 a b a b a b a b 通过左右两图的对照 即可得到平方差 通过左右两图的对照 即可得到平方差 公式公式 a b a b a a b a b a2 2 b b2 2 图 图 2 2 中的两个图阴影部分面积分别为中的两个图阴影部分面积分别为 a b a b 2 2与与 a b a b 2 2 通过面积的计算方法 即可得到两 通过面积的计算方法 即可得到两 个完全平方公式 个完全平方公式 a b a b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2与与 a b a b 2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 10 2 2 乘法公式的使用技巧 乘法公式的使用技巧 提出负号 对于含负号较多的因式 通常先提出负号 以避免负号多带来的麻烦 提出负号 对于含负号较多的因式 通常先提出负号 以避免负号多带来的麻烦 例例 1 1 运用乘法公式计算 运用乘法公式计算 1 1 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 2 2 2m 1 2m 1 2 2 解 解 1 1 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 12 2 3x 3x 2 2 1 9x 1 9x2 2 2 2 2m 1 2m 1 2 2 2m 1 2m 1 2 2 2m 1 2m 1 2 2 4m4m2 2 4m 1 4m 1 改变顺序 运用交换律 结合律 调整因式或因式中各项的排列顺序 可以使公式的特征更加明显改变顺序 运用交换律 结合律 调整因式或因式中各项的排列顺序 可以使公式的特征更加明显 例例 2 2 运用乘法公式计算 运用乘法公式计算 1 1 2 2 x 1 2 x x 1 2 x2 2 1 4 x 1 2 1 4 x 1 2 1 1 3 3a a 1 1 4 4b b 1 1 4 4b b a a 3 3 解 解 1 1 1 1 3 3a a 1 1 4 4b b 1 1 4 4b b a a 3 3 1 1 4 4b b 1 1 3 3a a 1 1 4 4b b 1 1 3 3a a 1 1 4 4b b 1 1 3 3a a 1 1 4 4b b 1 1 3 3a a f f 1 1 4 4 b b 2 2 f f 1 1 3 3 a a 2 2 1 1 1 16 6b b2 2 1 1 9 9a a2 2 2 2 x 1 2 x x 1 2 x2 2 1 4 x 1 2 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x x 1 2 x2 2 1 4 1 4 x x2 2 1 4 1 4 x x2 2 1 4 1 4 x x2 2 1 16 1 16 逆用公式逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用 比如逆用平方差公式 得将幂的公式或者乘法公式加以逆用 比如逆用平方差公式 得 a a2 2 b b2 2 a b a b a b a b 逆用积的乘方公式 得 逆用积的乘方公式 得 a an nb bn n ab ab n n 等等 在解题时常会收到事半功倍的效果 等等 在解题时常会收到事半功倍的效果 例例 3 3 计算 计算 1 1 x 2 5 x 2 5 2 2 x 2 5 x 2 5 2 2 2 2 a 1 2 a 1 2 2 2 a a2 2 1 4 1 4 2 2 a 1 2 a 1 2 2 2 解 解 1 1 x 2 5 x 2 5 2 2 x 2 5 x 2 5 2 2 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 10 10 x x 2 5 x 2 5 x 10 10 x 2 2 a 1 2 a 1 2 2 2 a a2 2 1 4 1 4 2 2 a 1 2 a 1 2 2 2 11 a 1 2 a a 1 2 a2 2 1 4 1 4 a 1 2 a 1 2 2 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a a2 2 1 4 1 4 2 2 a a2 2 1 4 1 4 a a2 2 1 4 1 4 2 2 a a4 4 1 16 1 16 2 2 a a8 8 a a4 4 8 1 256 8 1 256 合理分组 对于只有符号不同的两个三项式相乘 一般先将完全相同的项调到各因式的前面 视为一组 合理分组 对于只有符号不同的两个三项式相乘 一般先将完全相同的项调到各因式的前面 视为一组 符号相反的项放在后面 视为另一组 再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算 符号相反的项放在后面 视为另一组 再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算 计算 计算 1 1 x y 1 1 x y x y 1 1 x y 2 2 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 2x y z 5 解 解 1 1 x y 1 1 x y 1 x y 1 x y x y 1 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 1 x y 1 x y 12 2 x y x y 2 2 1 x 1 x2 2 2xy y 2xy y2 2 1 x1 x2 2 2xy y 2xy y2 2 2 2 2x y z 5 2x y z 5 2x 5 y z 2x 5 y z 2x y z 5 2x y z 5 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 2x 5 2 2 y z y z 2 2 4x 4x2 2 20 x 25 y 20 x 25 y2 2 2yz z 2yz z2 2 4x4x2 2 20 x 25 y 20 x 25 y2 2 2yz z 2yz z2 2 4x4x2 2 y y2 2 z z2 2 2yz 2yz 20 x 25 20 x 25 七 巧用公式做整式乘法七 巧用公式做整式乘法 整式乘法是初中数学的重要内容 是今后学习的基础 应用极为广泛 尤其多项式乘多项式 运算过程复杂 整式乘法是初中数学的重要内容 是今后学习的基础 应用极为广泛 尤其多项式乘多项式 运算过程复杂 在解答中 要仔细观察 认真分析题目中各多项式的结构特征 将其适当变化 找出规律 用乘法公式将其展开 在解答中 要仔细观察 认真分析题目中各多项式的结构特征 将其适当变化 找出规律 用乘法公式将其展开 运算就显得简便易行 运算就显得简便易行 一一 先分组 再用公式先分组 再用公式 例例 1 1 计算 计算 abcdabcd 简析 本题若以多项式乘多项式的方法展开 则显得非常繁杂 通过观察 将整式简析 本题若以多项式乘多项式的方法展开 则显得非常繁杂 通过观察 将整式运用加法运用加法 abcd 交换律和结合律变形为交换律和结合律变形为 将另一个整式 将另一个整式变形为变形为 则 则 bdac abcd bdac 从其中找出了特点 从而利用平方差公式即可将其展开 从其中找出了特点 从而利用平方差公式即可将其展开 解 原式解 原式 bdacbdac bdac bbddaacc 22 2222 22 二二 先提公因式 再用公式先提公因式 再用公式 例例 2 2 计算 计算 8 2 4 4 x y x y 简析 通过观察 比较 不难发现 两个多项式中的简析 通过观察 比较 不难发现 两个多项式中的 x x 的系数成倍数 的系数成倍数 y y 的系数也成倍数 而且存在相同的倍的系数也成倍数 而且存在相同的倍 数关系 若将第一个多项式中各