2010年高三数学高考模拟试题压轴大题选编（二）

用心 爱心 专心 2009 2010 年高考模拟试题压轴大题选编 二 年高考模拟试题压轴大题选编 二 1 湖北省黄 湖北省黄冈冈中学中学2010届高三届高三11月月考 月月考 已知函数 01 1 x f xx x 的反函数为 1 fx 数列 n a 和 n b 满足 1 1 2 a 1 1 nn afa 函数 1 yfx 的图象在点 1 nfnnN 处的切线在 y 轴上的截距为 n b 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 2 n nn b aa 的项仅 5 2 55 b aa 最小 求 的取值范围 3 令函数 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 0 1x 数列 n x 满足 1 1 2 x 0 1 n x 且 1 nn xg x 其中n N 证明 222 32121 12231 5 16 nn nn xxxxxx x xx xx x 解析 1 令 1 x y x 解得 1 y x y 由0 1x 解得 0y 函数 f x 的反函数 1 0 1 x fxx x 则 1 1 1 n nn n a afa a 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是以2为首项 l为公差的等差数列 故 1 1 n a n 2 1 0 1 x fxx x 1 2 1 1 fx x 1 yfx 在点 1 n fn 处的切线方程为 2 1 1 1 n yxn nn 令 0 x 得 2 2 1 n n b n 2 22 2 1 24 n nn b nnn aa 仅当 5n 时取得最小值 4 55 5 2 解之9 11 的取值范围为 9 11 3 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 2 22 12 1111 xxxx xxxx 0 1 x 用心 爱心 专心 则 1 2 1 1 1 n nnnn n x xxxx x 因0 1 n x 则 1nn xx 显然 12 1 1 2 nn xxx 1 2 1111121 1 2 14482 22 12 1 n nnnn n n n x xxxx x x x 2 11 11 1111 1121 11 8 nnnn nnnn nnnnnnnn xxxx xxxx x xx xxxxx 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 12231 21111111 8 nn xxxxxx 111 21 11211 2 88 nn xxx 11 1 2 nn xxx 1 1 1 2 n x 1 1 12 n x 1 1 021 n x 222 32121 122311 3 1 211215 2 2 88816 nn nnn xxxxxx x xx xx xx 2 长长沙市一中沙市一中 2010 届高三第五次月考届高三第五次月考试试卷卷 已知函数 32 1 0 3 1 0 x xmxx f x ex 1 讨论函数 f x 的极值情况 2 设 g x ln x 1 当 x1 x2 0 时 试比较 f x1 x2 与 g x1 x2 及 g x1 g x2 三者的大 小 并说明理由 解析 1 当 x 0 时 f x ex 1 在 0 单调递增 且 f x 0 当 x 0 时 2 2fxxmx 若 m 0 f x x2 0 f x 3 1 3 x在 0 上单调递增 且 f x 3 1 0 3 x 又 f 0 0 f x 在 R 上是增函数 无极植 用心 爱心 专心 若 m0 则 f x 32 1 3 xmx 在 0 单调递增 同 可知 f x 在 R 上也是增函数 无极值 4 分 若 m 0 f x 在 2m 上单调递增 在 2m 0 单调递减 又 f x 在 0 上递增 故 f x 有极小值 f 0 0 f x 有极大值 3 4 2 3 fmm 6 分 2 当 x 0 时 先比较 ex 1 与 ln x 1 的大小 设 h x ex 1 ln x 1 x 0 h x 1 0 1 x e x 恒成立 h x 在 0 是增函数 h x h 0 0 ex 1 ln x 1 0 即 ex 1 ln x 1 也就是 f x g x 0 x 成立 故当 x1 x2 0 时 f x1 x2 g x1 x2 10 分 再比较 1212 ln 1 g xxxx 与 g x1 g x2 ln x1 1 ln x2 1 的大小 1212 g xxg xg x 1212 ln 1 ln 1 ln 1 xxxx 122212 11 1 1 lnln 1 0 11 xxxxxx xx g x1 x2 g x1 g x2 f x1 x2 g x1 x2 g x1 g x2 13 分 3 山山东东省省东营东营市市胜胜利一中利一中 已知函数 为实数 有极值 且在处的切线与直线平行 1 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使得函数的极小值为 1 若存在 求出实数 a 的值 若不存 在 请说明理由 3 设令求证 解析 2 分 用心 爱心 专心 有极值 故方程有两个不等实根 由 可得 故实数 a 的取值范围是 4 分 2 存在 5 分 0 0 极大值极小值 8 分 的极小值为 1 9 分 3 10 分 证明 当 n 1 时 左边 0 右边 0 原式成立 11 分 假设当 n k 时结论成立 即 当 n k 1 时 左边 用心 爱心 专心 当且仅当 x 1 时等号成立 即当时原式也成立 13 分 综上当成立 14 分 4 浙江省 浙江省 2010 届第一次届第一次调调研卷 研卷 已知函数axaxaxaxf4 125 49 21 23 R a 1 当 a 0 时 求函数 xf的单调递增区间 2 若函数 xf在区间 0 2 上的最大值为 2 求 a 的取值范围 解析 1 当 a 0 时 f x x3 4x2 5x 3 5 1 3583 2 xxxxxf 0 所以 f x 的单调递增区间为 1 3 5 6 分 2 解 一方面由题意 得 2 2 2 1 2 0 f f f 即 2 1 0 a 另一方面当 2 1 0 a时 f x 2x3 9x2 12x 4 a x3 4x2 5x 令 g a 2x3 9x2 12x 4 a x3 4x2 5x 则 g a max g 0 g 2 1 max x3 4x2 5x 2 1 2x3 9x2 12x 4 x3 4x2 5x max x3 4x2 5x 2 1 x2 x 2 f x g a max x3 4x2 5x 2 1 x2 x 2 又 20 max x x3 4x2 5x 2 20 max x 2 1 x2 x 2 2 且 f 2 2 所以当 2 1 0 a时 f x 在区间 0 2 上的最大值是 2 综上 所求 a 的取值范围是 2 1 0 a 14 分 用心 爱心 专心 5 无 无锡锡一中 一中 已知集合 M 是满足下列性质的函数 xf的全体 若存在非零常数 k 对任意 Dx 等式 2 xf k kxf 恒成立 判断一次函数 0 abaxxf是否属于集合 M 证明xxf 2 log 属于集合 M 并找到一个常数 k 已知函数 1 log axy a 与xy 的图像有公共点 试证明 log Mxxf a 解析 1 若Mbaxxf 则存在非零常数 k 对任意Dx 均有 2 xf k bakxkxf 即 2 1 k xka 恒成立 得 0 01 k k 无解 Mxf 6 分 2 x k kx 22 log 2 log 则2 4 2 log2 kk k k时等式恒成立 Mxxf 2 log 5 分 3 1 log axy a 与xy 有交点 由图象知 xy a log 与 2 x y 必有交点 设 2 log k k a 则 2 loglog log xf k xkkxkxf aaa Mxf 5 分 6 福建 福建师师大二附中 大二附中 已知在函数 3 f xmxx 的图象上以N 1 n 为切点的切线的 倾斜角为 4 1 求m n的值 用心 爱心 专心 2 是否存在最小的正整数k 使不等式 1992 kxf 对于 3 1 x 恒成立 求出最小的正整数k 若不存在说明理由 解析 1 13 2 mxxf 1分 3 1 3 2 1 4 tan 1 nmf 3分 2 令 2 2 0 2 2 2 2 2 xxxxf则 5分 在 1 3 中 0 2 2 1 xfxfx 时 在此区间为增函数 2 2 2 2 x 时 0 xfxf 在此区间为减函数 xxf在 2 2 处取得 极大值 7分 x 2 2 3 时 0 xfxf 在此区间为增函数 xf 在x 3处取得极大值 8分比较 f 2 2 和 3 f 的大小得 15 3 max fxf 9分 无理由 3 f 最大 扣3分 2007 1992 kkxf 即存在k 2007 10分 7 吉林省吉林省实验实验中学中学 如图 已知曲线从 C 上的点 作 x 轴的垂线 交轴的垂线 交 C 于点 设 I 求 Q1 Q2的坐标 II 求 数列的通项公式 用心 爱心 专心 III 记数列的前 n 项和为 解析 I 由题意知 2 分 II 又 4 分 6 分 III 8 分 10 分 用心 爱心 专心 12 分 8 四川省 四川省绵绵阳中学阳中学 已知函数 2 1 f xx 数列 n a是公差为 d 的等差数列 n b是公比为 q 1qR q 的等比数列 若 1 1 af d 3 1 af d 1 1 bf q 3 1 bf q 求数列 n a n b的通项公式 若 n c对nN 恒有 312 1 123 23 n n n cccc a bbbnb 求 13521n cccc 的 值 试比较 31 31 n n b b 与 1 2 n n a a 的大小 解析 31 2aad 1 1 2f df dd 即 22 2 2ddd 解得 d 2 1 2 1 0af 2 1 n an 2 分 2 3 1 b q b 2 2 2 1 1 2 f qq q f qq 0 1qq 3q 又 1 1 1bf q 1 3n n b 4 分 由题设知 1 2 1 c a b 12 1 2ca b 当 2n 时 3112 1 1231 23 1 nn n nn ccccc a bbbnbnb 3112 1231 23 1 n n n cccc a bbbnb 两式相减 得 1 2 n nn n c aa nb 1 223n nn cnbn A 112 2cba 适合 7 分 设 T 13521n cccc 2422 26 310 3 42 3 n Tn A 2246222 32 36 310 3 46 3 42 3 nn Tnn AA 两式相减 得 24222 824 34 34 3 42 3 nn Tn A 用心 爱心 专心 1 9 91 24 42 9 9 1 n n n A 19 29 42 9 22 nn n 55 949 22 nn n A 2 55 3 16216 n n T A 9 分 31 31 n n b b 31 31 n n 2 1 31 n 1 2 n n a a 22 1 2 1 22 n nn 现只须比较3 1 n 与2 2n 的大小 当 n 1 时 3 1422 n n 当 n 2 时 3 110226 n n 当 n 3 时 3 128228 n n 当 n 4 时 3 1822210 n n 猜想 2n 时 3 122 n n 用数学归纳法证明 1 当 n 2 时 左边 3110 n 右边 226n 3 122 n n 成立 2 假设当 n k 时 不等式成立 即3 122 k k 当 n k 1 时 1 313 31312 3 kkkk 222 3222 k kk 2 1 2k 即当 n k 1 时 不等式也成立 由 1 2 可知 2n 时 3 122 n n 都成立 所以 3 122 n n 当且仅当 n 1 时 等号成立 所以 2 1 31 n 2 1 22n 即 31 31 n n b b 1 2 n n a a 14 分 9 马马鞍山第二中学 鞍山第二中学 已知函数 f x 1 ln x x ax 1 若函数 f x 在 1 上为增函数 求正实数a的取值范围 2 当a 1 时 求 f x 在 1 2 2 上的最大值和最小值 3 求证 对于大于 1 的正整数 n 1 ln 1 n nn 解析解析 1 1 f x 2 1 0 ax a ax 依题依题 2 1ax ax 0 0 在在 1 1 上恒成立 上恒成立 即 a 1 x 在 1 上恒成立 a 1 2 当 a 1 时 f x 2 1x x 其中 x 1 2 2 而 x 1 2 1 时 f x 0 x 1 是 f x 在 1 2 2 上唯一的极小值点 f x min f 1 0 又 f 1 2 f 2 3 2 2ln2 34 lnln2 2 e 0 f 1 2 f 2 f x max f 1 2 1 用心 爱心 专心 ln2 综上 a 1 时 f x 在 1 2 2 上的最大值和最小值分别为 1 ln2 和 0 3 若 a 1 时 由 1 知 f x 1 ln x x x 在 1 上为增函数 当 n 1 时 令 x 1 n n 则 x 1 故 f x f 1 0 即 f 1 n n 1 1 1 n n n n ln 1 n n 1 n ln 1 n n 0 ln 1 n n 1 n 10 山 山东东省省实验实验中学 中学 已知函数xaxxxfln 2 aR 1 若函数 xf在 2 1上是减函数 求实数a的取值范围 2 令 2 xxfxg 是否存在实数a 当 x 0 e e是自然常数 时 函数 xg的最小值是 3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 3 当 x 0 e时 证明 xxxxeln 1 2 5 22 解析 1 0 121 2 2 x axx x axxf在 2 1上恒成立 令 12 2 axxxh 有 0 2 0 1 h h 得 2 7 1 a a 4 分 得 2 7 a 5 分 2 假设存在实数a 使xaxxgln 0 ex 有最小值 3 x axg 1 x ax1 6 分 当0 a时 xg在 0 e上单调递减 31 min aeegxg e a 4 舍去 当e a 1 0时 xg在 1 0 a 上单调递减 在 1 e a 上单调递增 3ln1 1 min a a gxg 2 ea 满足条件 当e a 1 时 xg在 0 e上单调递减 31 min aeegxg e a 4 舍去 用心 爱心 专心 综上 存在实数 2 ea 使得当 0 ex 时 xg有最小值 3 10 分 3 令xxexFln 2 由 2 知 3 min xF 令 2 5ln x x x 2 ln1 x x x 当ex 0时 0 x h x在 0 e上单调递增 3 2 5 2 1 2 51 max e ex 2 5ln ln 2 x x xxe 即xxe 2 5 22 xxln 1 14 分 11 2009 学年第一学期学年第一学期潍潍坊五校坊五校联联合 合 设函数 1ln 2 xbxxf 其中0 b 1 若12 b 求 xf的单调递增区间 2 如果函数 xf在定义域内既有极大值又有极小值 求实数b的取值范围 3 求证对任意的 Nn 不等式 3 11 ln n n n n 恒成立 解析 1 由题意知 f x的定义域为 1 12b 时 由 2 122212 20 11 xx fxx xx 得2x 3x 舍去 当 x 2 1 时 0fx 当 2x时 0fx 所以当 2x时 f x单调递增 5 分 2 由题意 2 22 20 11 bxxb fxx xx 在 1 有两个不等实根 即 2 220 xxb 在 1 有两个不等实根 设 g x 2 22xxb 则 480 1 0 b g 解之得 1 0 2 b 10 分 3 对于函数 2 ln 1 f xxx 令函数 332 ln 1 h xxf xxxx 则 32 2 13 1 32 11 xx h xxx xx 0 0 xh x 当时 所以函数 h x在 0 上单调递增 又 0 0 0 hx 时 恒有 0 0h xh 即 23 ln 1 xxx 恒成立 取 1 0 x n 则有 23 111 ln 1 nnn 恒成立 15 分 用心 爱心 专心 12 山山东东省烟台市省烟台市 定义 0 1 yxxyxF y 1 令函数 94 log 1 2 2 xxFxf的图象为曲线 c1 曲线 c1与 y 轴交于点 A 0 m 过坐标原点 O 作曲线 c1的切线 切点为 B n t n 0 设曲线 c1 在 点 A B 之间的曲线段与 OA OB 所围成图形的面积为 S 求 S 的值 2 当 xyFyxFyxNyx 证明时且 解析 1 y xyxF 1 942 94 log 1 2 94 log2 2 2 2 xxxxFxf xx 故 A 0 9 2 分 42 xxf 过 O 作 C1的发线 切点为 0 ntnB 42 94 2 n n t nnt 解得 B 3 6 4 分 9 93 3 1 294 3 0 23 3 0 2 xxxdxxxxS 6 分 2 令 2 1ln 1 1 1ln x x x x xhx x x xh 8 分 令 0 1ln 1 xx x x xP 0 1 1 1 1 1 22 x x xx xP 0 在xP单调递减 0 1 0 0 xhxPxPx时有当有时当 1 在xh上单调递减 10 分 y y x x yx 1ln 1ln 1 有时 12 分 xy yx yxxy 1 1 1ln 1ln xyFyxFyxNyx 时且当 14 分 用心 爱心 专心 13 广 广东东省中山市省中山市 2010 届高三六校届高三六校联联考 考 已知二次函数 1 若 试判断函数零点个数 2 若对且 试证明 使成立 3 是否存在 使同时满足以下条件 对 且 对 都有 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 解析 1 1 分 当时 函数有一个零点 2 分 当时 函数有两个零点 3 分 2 令 4 分 则 5 分 6 分 7 分 在内必有一个实根 即 使 成立 8 分 3 假设存在 由 知抛物线的对称轴为 x 1 且 9 分 用心 爱心 专心 10 分 由 知对 都有 令得 11 分 由得 13 分 当时 其顶点为 1 0 满足条件 又对 都有 满足条件 存在 使同时满足条件 14 分 14 广 广东东省省实验实验中学 中学 设 2 ln 2 e p qeegxxfxf x q pxxg且其中 e为自 然对数的底数 I 求 p 与 q 的关系 II 若 xg在其定义域内为单调函数 求 p 的取值范围 III 证明 1 1 xxxf 1 4 12ln 3 3ln 2 2ln 2 222 n nn n n n N n 2 解析 I 由题意 ln2 x x q pxxg 分而 又 3 0 1 0 1 0 1 22 2 qp e e e eqp e qpeqp e q qe e q pe e q peeg 用心 爱心 专心 II 由 I 知 x x p pxxgln2 22 2 2 2 x pxpx xx p pxg 令 h x px2 2x p 要使 g x 在 0 为单调函数 只需 h x 在 0 满足 h x 0 或 h x 0 恒成立 4 分 xxhp2 0 时 0 2 0 0 2 x x xgxhx g x 在 0 单调递减 p 0 适合题意 5 分 当 p 0 时 h x px2 2x p 图象为开口向上抛物线 称轴为 x p 1 0 h x min p p 1 只需 p p 1 0 即 p 1 时 h x 0 g x 0 g x 在 0 单调递增 p 1 适合题意 7 分 当 p 0 时 h x px2 2x p 图象为开口向下的抛物线 其对称轴为 x p 1 0 只需 h 0 0 即 p 0 时 h 0 0 恒成立 g x 0 g x 在 0 单调递减 p0 设 x x x xkxxxk 1 1 1 1ln 则 当 x 0 1 时 k x 0 k x 为单调递增函数 当 x 1 时 k x 0 xx x x x1 1 1ln 用心 爱心 专心 1 4 12 1 1 2 1 1 2 1 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 43 1 32 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 2 ln 3 3ln 2 2ln 1 1 2 1ln 1 1 ln 2 2 222 222222 22 22 2 2 n nn n n nn n nn n n n n n nn n nn n nxnNn 得令时 结论成立 14 分 15 怀怀柔区柔区 2009 2010 学年第一学期高三期中考学年第一学期高三期中考试试 如果有穷数列 123n a a aa n为正整数 满足 条件 n aa 1 12 n aa 1 aan 即 1 ini aa 1 2in 我们称其为 对称 数列 例如 由组合数组成的数列 01m mmm CCC 就是 对称数列 I 设 n b是项数为 7 的 对称数列 其中 1234 b b b b 是等差数列 且2 1 b 11 4 b 依次 写出 n b的每一项 II 设 n c是项数为12 k 正整数1 k 的 对称数列 其中 121kkk c cc 是首项 为50 公 差为4 的等差数列 记 n c各项的和为 12 k S 当k为何值时 12 k S取得最大 值 并求出 12 k S的最大值 III 对于确定的正整数1 m 写出所有项数不超过m2的 对称数列 使得 21 1 2 22m 依 用心 爱心 专心 次是该数列中连续的项 当m1500 时 求其中一个 对称数列 前2008项的 和 2008 S 解析 I 设 n b的公差为d 则11323 14 ddbb 解得 3 d 数列 n b为2 5 8 11 8 5 2 3 分 II 12112112 kkkkk ccccccS kkkk cccc 2 121 50134 13 4 22 12 kS k 当13 k时 12 k S取得最大值 12 k S的最大值为 626 8 分 III 所有可能的 对称数列 是 22122 1 2 222222 1 mmm 221122 1 2 2222222 1 mmmm 122221 2222 1 2 222 mmmm 122221 2222 1 1 2 222 mmmm 对于 当2008m 时 122221 200820072 2008 S 当15002007m 时 20092212 2008 222221 mmmm S 200921 2212 mmm 1222 200921 mmm 对于 当2008m 时 122008 2008 S 当15002007m 时 2008 S122 200821 mm 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S322 2009 mm 用心 爱心 专心 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S222 2008 mm 14 分 16 浙江省杭州二中 浙江省杭州二中 已知 yf x 是偶函数 当0 x 时 0 a f xxa x 当 3 1 x 时 nf xm 恒成立 若1a 求mn 的最小值 求mn 的最小值 g a 当16a 时 是否存在 1 2 k 使得不等式 22 cos cos f kxf kx 对任 意xR 恒成立 若存在 求出实数k的范围 若不存在 请说明理由 解析 1 1a f x在区间 1 3 上单调递增 即 1 3 f xff 所以 当 1 3 x 时 4 3 1 3 mnff 因为函数为偶函数 所以当 3 1 x 时 4 3 1 3 mnff 2 0 0 a xf xxaa x 当时 在上单调递减 上单调递增 若9a 则3a 所以函数 f x在区间 1 3 上单调递减 即 3 1 f xff 所以 当 1 3 x 时 2 1 3 2 3 mnffa 因为函数为偶函数 所以 当 3 1 x 时 2 1 3 2 3 mnffa 若1a 即01a f x在区间 1 3 上单调递增 即 1 3 f xff 所以 当 1 3 x 时 2 3 1 2 3 mnffa 因为 1 ff a 若13aa 即13a 当 1 3 x 时 maxmin 3 f xff xfa 所以 3 32 3 a mnffaa 用心 爱心 专心 若13a 即39a 当 1 3 x 时 maxmin 1 f xff xfa 所以 1 12mnffaaa 综上所述 因为函数为偶函数 所以当 3 1 x 时 2 2 01 3 32 13 3 12 39 2 2 9 3 a a a aa g a aaa aa 3 当 1 2 k 时 0cos3kx 22 0cos4kx 由 2 知 由16a f x在 0 a上是减函数 故 f x在 0 4 上是减函数 要使 22 cos cos f kxf kx x R 只要 22 coscos kxkx x R 即 22 coscos xxkk x R 设 2 2 11 coscoscos 24 h xxxx 则函数 h x在上的最大值为 要使 式恒成立 必须 2 2kk 即2k 或1k 所以 在区间 1 2 k 上存在2k 使得 22 cos cos f kxf kx 对任意的 x R恒成立 17 杭 杭绍绍金温衢七校金温衢七校联联考考 2009 学年第一学期期中学年第一学期期中试试卷 卷 已知函数mxmxxgxaxxaxf83 83 3 1 23232 求 xf在 x 1 处的切线斜率的取值范围 求当 xf在 x 1 处的切线的斜率最小时 xf的解析式 在 的条件下 是否总存在实数 m 使得对任意的 2 1x1 总存在 用心 爱心 专心 1 0 x0 使得 f x g 10 x成立 若存在 求出实数 m 的取值范围 若不存在 说明理 由 解析 1 11 3 86 1 86 2222 aaafaxxaxf 所以 xf在 x 1 处的切线斜率的取值范围为 1 4 分 2 由 1 知3 a 则xxxxf893 23 6 分 3 43 23 8189 2 xxxxxf 则有 x 1 3 2 1 3 2 3 4 3 2 3 4 2 3 4 2 xf 0 0 xf 20s增 9 20 减 9 16 增4 10 分 所以当 2 1 1 x时 4 20 1 xf 假设对任意的 2 1 1 x都存在 1 0 0 x使得 10 xfxg 成立 设 0 xg的最大值为 T 最小值为 t 则 4 20 T t 13 分 又039 22 mxxg 所以当 1 0 0 x时 4831 1 2 mmgT且 208 0 mgt 所以3 m 15 分 18 湖南省娄底市 湖南省娄底市 2010 届高三届高三联联考 考 如果定义域为 1 0的函数 xf同时满足以下三个条件 对任意的 1 0 x 总有 xf 0 11 f 若0 0 21 xx且1 21 xx 则有 2121 xfxfxxf 成立 那么称 xf为 友谊函数 请解答下列各题 1 若已知 xf为 友谊函数 求 0f的值 用心 爱心 专心 2 函数 12 x xg在区间 1 0上是否为 友谊函数 并给出理由 3 已知 xf为 友谊函数 假定存在 1 0 0 x 使得 1 0 0 xf且 00 xxff 求证 00 xxf 解析 1 取0 21 xx得 000fff 又由 00 f 得 2 显然 12 x xg在 1 0上满足 0 xg 11 g 若0 0 21 xx 且1 21 xx 则有 01212121212 212121 2121 xxxxxx xgxgxxg 故 12 x xg满足条件 所以 12 x xg为友谊函数 3 由 知任给 1 0 21 xx其中 12 xx 且有1 12 xx 则 0 12 xx 所以 11121122 xfxfxxfxxxfxf 依题意必有 00 xxf 下面用反证法证明 a若 00 xfx 则 000 xxffxf 这与 00 xfx 矛盾 b若 00 xfx 则 000 xxffxf 这与 00 xfx 矛盾 故由上述 a b证明知假设不成立 则必有 00 xxf 成立 19 福州三中 福州三中 2009 2010 学年高三第一学期半期考 学年高三第一学期半期考 已知a b R 函数baxxxxf 2 1ln 的图象经过点 2 0 A 若曲线 xfy 在点A处的切线与直线013 yx平行 求实数a的值 若函数 xf在 1 上为减函数 求实数a的取值范围 令1 a c R 函数 2 2 xcxcxg 若对任意 1 1 x 总存在 1 2 x 使得 21 xgxf 成立 求实数c的取值范围 解析 ax x xf 2 1 1 1 x 2 分 则在A点出的切线的斜率为 0 f 31 a 所以2 a 4 分 函数 xf在 1 上为减函数 用心 爱心 专心 所以ax x xf 2 1 1 0 在 1 上恒成立 所以 1 1 2 x xa在 1 上恒成立 6 分 令 1 1 2 x xxg 则 2 1 1 2 x xg 因为1 x 所以0 x g 所以 xg在 1 为增函数 所以 4 7 4 1 2 1 min gxg 所以 4 7 a 经检验 a的取值范围是 4 7 9 分 若对任意 1 1 x 总存在 1 2 x 使得 21 xgxf 成立 则函 数 xf在 1 上的值域是函数 xg在 1 上的值域的子集 对于函数 xf 因为1 a 所以bxxxxf 2 1ln 又因为过点 2 0 A 所以2 b 所以2 1ln 2 xxxxf 定义域 1 1 32 12 1 1 2 x xx x x xf 令0 x f 得0 1 x 2 3 2 x 舍去 当x变化时 xf与 x f 的变化情况如下表 所以2 0 max fxf 所以 xf的值域为 2 12 分 对于函数 222 2 cccxccxxxg 当1 c时 xg的最大值为cccg 121 1 xg值域为 1 c 所以 2 1 c 即以21 c 解得3 c 所以3 c 当1 c时 xg的最大值为 cgcc 2 xg值域为 2 cc 所以 2 2 cc 即2 2 cc 解得2 c或1 c 所以1 c 综上所述 c的取值范围是 1 3 14 分 用心 爱心 专心 20 大 大连连 24 中中 2009 2010 学年高三上学期期中考学年高三上学期期中考试试 已知函数 ln x a xxf I 若 0 xfa试判断 在定义域内的单调性 II 若aexf求上的最小值为在 2 3 1 的值 III 若 1 2 在xxf上恒成立 求 a 的取值范围 解析 I 由题意 22 1 0 x ax x a x xfxf 且的定义域为 2 分 0 0 0 在故xfxfa 上是单调递增函数 4 分 II 由 I 可知 2 x ax xf 1 若 1 1 0 0 1exfexfaxa在此时上恒成立在即则 上为增函数 2 3 2 3 1 min aafxf 舍去 5 分 2 若 1 1 0 0 exfexfaxea在此时上恒成立在即则 上为减函数 22 3 1 min e a e a efxf 舍去 6 分 3 若 0 1axxfae 得令 eaaafxf eaxfxfexa axfxfax 2 3 1 ln 0 1 0 1 min 上为增函数在时当 上为减函数在时当 综上所述 ea 8 分 III 322 ln0ln xxxaxx x a xxxf 又 9 分 分上恒成立在时当 上也是减函数在 即 分上是减函数在时 令 12 1 1 1 1 1 0 02 1 10 1 0 1 61 6 1 3ln1 ln 2 2 23 xxfa gxgxg xghxh xhxhx x x x x xh xxxgxhxxxxg 用心 爱心 专心 21 哈三中 哈三中 2009 2010 学年度上学期高三学年学年度上学期高三学年 11 月份月考 月份月考 已知数列 n a是各项为正数 公比为 1 qq的等比数列 对于满足200 k的整数k 数列 20321 bbbb 由 2020 201 20 nk kn a a b kn kn n 确定 记 2020332211 babababaC 高考资源网 当1 1 ka 3 q时 求C的值 当C最小时 求k的值 解析 1 19 38 3 8 13 3 2 10 k时 C最小 22 金陵中学 金陵中学 2009 2010 学年度高三第一学期期中考学年度高三第一学期期中考试设试设函数 函数 2 ln2 1 x e xgx x xpxf p 是实数 e 是自然对数的底数 1 当 p 2 时 求与函数 xfy 的图象在点 A 1 0 处相切的切线方程 2 若函数 xf在其定义域内单调递增 求实数 p 的取值范围 3 若在 1 e 上至少存在一点 000 xgxfx 使得成立 求实数 p 的取值范围 解析 1 2 2 xx p pxf 2 分 1 2 2 1 0 1 2 xyxfy f xfyAp 在该点处的切线方程为则 图象上在函数点时当 即 0 22 yx 5 分 2 0 0 2 2 2 在须为单调增函数要使xfxf x pxpx xf 恒成立 分为单调增函数在时所以当又 恒成立在即 恒成立在即 10 0 1 1 1 2 0 1 2 1 2 0 02 2 2 xfp x x x x x x p pxpx 用心 爱心 专心 3 因 2 2 1 2 exge x e xg 所以上为减函数在 当 1 0 2 0 2 ex xx p pxfp 对于时恒成立 20 1 1 max 不合题意所以 上递减在则 fxf exf 当1 p时 由 2 知 1 exf在上递增 1 4 2ln2 1 1 2 1 2 minmax min e e pe e epef xgxfexg fxf 解得即 故只需上为减函数在又 当0 1 10 x xp因时 x x xx x xpxfln2 1 ln2 1 所以 由 2 知 1 ln2 1 ex x x在 上为增函数 所以2 3 2 2 3 1 3ln2 1 ln2 1 e e ex x x 不合题意 综上 p 的取值范围为 1 4 2 e e 14 分 23 2009 2010 学年度重学年度重庆庆市渝市渝东东片区部分学校 片区部分学校 设 2211 yxByxA是函数 x x xf 1 log 2 1 2 的图象上任意两点 且 2 1 OBOAOM 已知点M的横坐标 为 2 1 1 求证 点M的纵坐标为定值 2 若 n n f n n f n f n f n fSn 12 321 其中 2 nNn且求 n S 3 已知 2 1 1 1 1 3 2 1 n SS n a nn n 其中 n TNn 为数列 n a的前n项和 若 1 1 nn ST 对于一切 Nn都成立 试求 的取值范围 用心 爱心 专心 解 1 2 1 OBOAOM 点M的横坐标为 2 1 1 21 xx 点M的纵坐 标 2 11 log1 2 21 21 2 21 xx xx yy y 2 1 2 1 log1 2121 21 2 xxxx xx 2 由 1 可知 1 21 xx 1 21 xfxf n n f n f n fSn 121 1 1111 2 n n f n n f n n f n fSn 2 1 n Sn 3 当2 n时 2 1 1 1 4 21 4 1 2 1 2 1 1 nnnnnn an 1 211111142 42 334451222 2 1 2 n n n T nnnn n S 即 2 2 4 n n 2 1 4 4 4 2 4 2 n n n n 等号在2 n时成立 2 1 24 湖北省武汉地区重点大学附中六校第一次联考湖北省武汉地区重点大学附中六校第一次联考 设函数 4 0 cos 1 sin nnn n f 其中n为正整数 判断函数 31 ff 的单调性 并就 1 f的情形证明你的结论 证明 2244 46 sincossincos 2 ff 对于任意给定的正整数n 求函数 n f的最大值和最小值 解 1 31 ff 在 4 0 上均为单调递增的函数 1 分 对于函数 cossin 1 f 设 4 0 2121 则 2111 ff 1221 coscossinsin 1221 coscos sinsin 2111 ff函数 1 f在 4 0 上单调递增 3 分 2 原式左边 用心 爱心 专心 4466 cossincossin2 44422422 cossincoscossinsincossin2 2cos2sin1 22 5 分 又 原式右边 2cossincos 2 2 22 2244 46 sincossincos 2 ff 6 分 3 当1 n时 函数 1 f在 4 0 上单调递增 1 f的最大值为0 4 1 f 最小值为 10 1 f 当2 n时 1 2 f 函数 2 f的最大 最小值均为 1 当3 n时 函数 3 f在 4 0 上为单调递增 3 f的最大值为0 4 3 f 最小值为 10 3 f 当4 n时 函数 2sin 2 1 1 2 4 f在 4 0 上单调递减 4 f的最大值为 10 4 f 最小值为 2 1 4 4 f 9 分 下面讨论正整数5 n的情形 当n为奇数时 对任意 4 0 21 且 21 122121 coscossinsin nnnn nn ff 以及 1coscos0 1sinsin0 1221 1221 coscos sinsin nnnn 从而 21 nn ff n f在 4 0 上为单调递增 则 n f的最大值为0 4 n f 最小值为 10 4 f 11 分 当n为偶数时 一方面有 0 1cossincossin 22 n nn n ff 另一方面 由于对任意正整数2 l 有 0sincossincos 2 222222 222 ll ll ff 4 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 n nn nn ffff 函数 n f的最大值为1 0 n f 最小值为 n n f 2 1 2 4 综上所述 当n为奇数时 函数 n f的最大值为0 最小值为1 当n为偶数时 函数 n f的最大值为1 最小值为 n 2 1 2 13 分 25 江西省九江市江西省九江市 已知数列 n a中 2 12 0 at att 用心 爱心 专心 若xt 是函数 3 11 3 1 1 2 nnn f xaxtaaxn 的一个极值点 1 求数列 n a的通项公式 2 若 2 21 2 21 n n n a tb a 求证 对于任意正整数n 都有 12 1111 2 2 n n n bbb 3 若 3 log 1 31 n tn n n a tc 证明 32 4 233 n ccc nN n 解 1 2 11 33 1 nnn fxaxtaa 所以 11 33 1 0 nnn ftattaa 整理得 11 nnnn aat aa 当1t 时 1 nn aa 是常数列 得1 n a 当1t 时 1 nn aa 是以 2 21 aatt 为首项 t为公比的等比数列 所以 221 1 1 nn nn aattttt 方法一 由上式得 12 11221 1 nn nnnn aaaaaatttt 即 1 1 1 n n n tt aattt t 所以 2 n n atn 又 当1t 时上式仍然成立 故 n n atn