2011-2012年高考数学一轮复习 第13章《极限》（文）自测题

用心 爱心 专心1 第十三章第十三章 导数名师检测题导数名师检测题 时间 120 分钟 分值 150 分 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 一质点做直线运动 由始点起经过ts 后的距离S t4 4t3 16t2 则速度为零的时刻是 1 4 A 4s B 8s C 0s 与 8s D 0s 4s 8s 解析 v S t3 12t2 32t 0 t 0 4 8 答案 D 2 某三次函数当x 1 时有极大值 4 当x 3 时有极小值 0 且函数图象过原点 则此函数的解析 式是 A y x3 6x2 9x B y x3 6x2 9x C y x3 6x2 9x D y x3 6x2 9x 解析 待定系数法 设f x ax3 bx2 cx f x 3ax2 2bx c 由条件可知f x 3a x 1 x 3 3ax2 12ax 9a Error Error Error Error f x ax3 6ax2 9ax 又Error Error a 1 f x x3 6x2 9x 答案 C 3 函数f x ax2 b在区间 0 内是减函数 则a b应满足 A a 0 且b 0 B a 0 且b R C a 0 且b 0 D a 0 且b R 解析 f x 2ax 当x 0 时 f x 0 a 0 b R 答案 B 4 对函数f x x4 2x2 3 有 A 最大值 4 最小值 4 B 最大值 4 无最小值 C 无最大值 最小值 4 D 既无最大值也无最小值 解析 f x 4x3 4x 令f x 0 得x 0 x 1 列表如下 x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 用心 爱心 专心2 f x 0 0 0 f x 极大值 4 极小 值 3 极 大 值 4 x R 故无最小值 最大值为 4 答案 B 5 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调递增的函数 则a的最大值是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f x 3x2 a在 1 上有 3x2 a 0 恒成立 a 3x2对任意x 1 恒成立 a 3x2 min 3 即a 3 a的最大值为 3 答案 D 6 已知f x ax3 bx2 x a b R 且ab 0 的图象如图所示 且 x1 x2 则有 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a 0 b 0 D a 0 b 0 解析 f x 3ax2 2bx 1 由图知方程 3ax2 2bx 1 0 有两根x1 x2 且Error Error Error Error a 0 b 0 答案 B 7 2011 襄樊调研 对于在 R 上可导的任意函数f x 若满足 x a f x 0 则必有 A f x f a B f x f a C f x f a D f x a时 f x 0 当x0 f x 在 2 10 上为增函数 又f 2 30 方程在 2 10 上有且只有一根 答案 C 11 对于 R 上可导的任意函数f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 解析 特殊值法 设f x x2 则f x 2x x 1 f x x 1 2x 0 则x 0 或x 1 f 0 f 2 0 22 4 2f 1 2 12 2 f 0 f 2 2f 1 设f x a a为常数 则x R 时 恒有f x 0 x 1 f x 0 f 0 f 2 2a 2f 1 用心 爱心 专心4 答案 C 12 设f x x3 bx2 cx d 又k是一个常数 已知当k4 时 f x k 0 只有一个实根 当 0 k 4 时 f x k 0 有三个相异实根 现给出下列命题 1 f x 4 0 和f x 0 有一个相同的实根 2 f x 0 和f x 0 有一个相同的实根 3 f x 3 0 的实根大于f x 1 0 的任一实根 4 f x 4 0 的实根小于f x 2 0 的任一实根 其中 错误命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 由题意知函数f x 有极大值 4 极小值 0 所以命题 1 2 4 正确 错误的命题只有 3 一个 答案 D 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确答案填在题中横线上 13 已知函数y f x x3 px2 qx 图象与x轴切于非原点的一点 且y极小值 4 那么p q 的值为 解析 y 3x2 2px q 设切点为 a 0 则f x x x2 px q 0 有两个相等实根a 且a 0 从而x2 px q x a 2 f x x x a 2 f x x a 3x a 令f x 0 时 x a或x a 3 又 x a时 f a 0 不为 4 f y极小值 4 即a3 4 a 3 a 3 4 27 从而x2 px q x 3 2 x2 6x 9 p 6 q 9 答案 6 9 14 在直径为d的圆木中 截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁 则矩形面的长为 强度 与bh2成正比 其中h为矩形的长 b为矩形的宽 用心 爱心 专心5 解析 截面如图所示 设抗弯强度系数为k 强度为w 则w kbh2 又h2 d2 b2 w kb d2 b2 kb3 kd2b w 3kb2 kd2 令w 0 得b2 d2 3 b d或b d 舍去 3 3 3 3 h d d2 b2 6 3 答案 d 6 3 15 已知函数y f x 的导函数的图象如图所示 给出以下结论 函数f x 在 2 1 和 1 2 上是单调递增函数 函数f x 在 2 0 上是单调递增函数 在 0 2 上是单调递减函数 函数f x 在x 1 处取得极大值 在x 1 处取得极小值 函数f x 在x 0 处取得极大值f 0 则正确命题的序号是 填上所有正确命题的序号 解析 观察函数f x 的导函数f x 的图象 由单调性 极值与导数值的关系直接判断 答案 16 给出下列命题 任何常数函数的导数都是零 直线y x上任意一点处的切线方程都是这条直线本身 双曲线y 上任一点处切线斜率都是负值 1 x 直线y 2x和抛物线y x2在 0 上函数值增长的速度一样大 其中正确命题的序号为 解析 易知 正确 用心 爱心 专心6 由y 得y 1 时 2x 2 当 0 x 1 时 2x0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 解析 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 用心 爱心 专心7 而g x 的图象关于y轴对称 所以 0 2m 6 2 3 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0 得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 和 2 由f x 0 得 0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 2 2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 由此可得 当 0 a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当 1 a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当 0 a 1 时 f x 有极大值 2 无极小值 当 1 a0 3 2 1 若a 1 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若在区间 上 f x 0 恒成立 求a的取值范围 1 2 1 2 解析 1 当a 1 时 f x x3 x2 1 f 2 3 f x 3x2 3x f 2 6 所以曲线 3 2 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 3 6 x 2 即y 6x 9 2 f x 3ax2 3x 3x ax 1 令f x 0 解得x 0 或x 1 a 以下分两种情况讨论 若 00 等价于 1 2 1 2 Error Error 即Error Error 解不等式组得 5 a 5 因此 02 则 0 0 等价于 1 2 1 2 Error Error 即Error Error 解不等式组得 a 5 或a 因此 2 a 5 2 2 2 2 综合 和 可知a的取值范围为 0 a 5 21 本小题满分 12 分 设函数f x x4 ax3 2x2 b x R 其中a b R 1 当a 时 讨论函数f x 的单调性 10 3 2 若函数f x 仅在x 0 处有极值 求a的取值范围 3 若对于任意的a 2 2 不等式f x 1 在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 解析 1 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 当a 时 10 3 f x x 4x2 10 x 4 2x 2x 1 x 2 令f x 0 解得x1 0 x2 x3 2 1 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 f x 0 0 0 f x 极小 极大 极小 用心 爱心 专心9 值值值 所以f x 在 2 内是增函数 在 0 内是减函数 0 1 2 1 2 2 2 f x x 4x2 3ax 4 显然x 0 不是方程 4x2 3ax 4 0 的根 为使f x 仅在x 0 处有极值 必须 4x2 3ax 4 0 恒成立 即有 9a2 64 0 解此不等式 得 a 这时 f 0 b是唯一极值 8 3 8 3 因此满足条件的a的取值范围是 8 3 8 3 3 由条件a 2 2 可知 9a2 640 恒成立 当x 0 时 f x 0 时 f x 0 因此函数f x 在 1 1 上的最大值是f 1 与f 1 两者中的较大者 为使对任意的a 2 2 不等式f x 1 在 1 1 上恒成立 当且仅当 Error Error 即Error Error 在a 2 2 上恒成立 所以b 4 因此满足条件的b的取值范围是 4 22 本小题满分 12 分 设函数f x ax3 bx2 3a2x 1 a b R 在x x1 x x2处取得极值 且 x1 x2 2 1 若a 1 求b的值 并求f x 的单调区间 2 若a 0 求b的取值范围 解析 f x 3ax2 2bx 3a2 1 当a 1 时 f x 3x2 2bx 3 由题意知x1 x2为方程 3x2 2bx 3 0 的两根 所以x1 x2 x1x2 1 2b 3 所以 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 4b2 9 4 4b2 36 3 2 b2 9 3 由 x1 x2 2 得b 0 从而f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 故f x 在 1 1 上单调递减 在 1 和 1 上单调递增 2 由 式及题意知x1 x2为方程 3ax2 2bx 3a2 0 的两根 所以 x1 x2