2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（四川卷解析版）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 四川卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 四川卷 解析版 一 选择题 5 12 60 分 1 设集合 则 Sx5 xTx0 3 7 xxTS A 7 5 B 3 5 xxxx C 5 3 D 7 5 xxxx 答案答案 C C 解析解析 Sx55 xTx37 x 5 3 TS xx 2 函数的反函数是 2 1 Rxy x A B 0 log1 2 xxy 1 1 log2 xxy C D 0 log1 2 xxy 1 1 log2 xxy 答案答案 C C 解析解析 由 又因原函数的值域是 yxyxy x 22 1 log1log12 0 y 其反函数是 0 log1 2 xxy 3 等差数列 的公差不为零 首项 1 是和的等比中项 则数列的前 n a 1 a 2 a 1 a 5 a 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 设公差为 则 0 解得 2 100d 41 1 1 2 dd dd 10 S 4 已知函数 下面结论错误的是 2 sin Rxxxf A 函数的最小正周期为 2 B 函数在区间 0 上是增函 xf xf 2 数 C 函数的图象关于直线 0 对称 D 函数是奇函数 xfx xf 答案答案 D D 解析解析 A B C 均正确 故错误的是 Dxxxfcos 2 sin 易错提醒易错提醒 利用诱导公式时 出现符号错误 5 设矩形的长为 宽为 其比满足 这种矩形给人以美感 abba618 0 2 15 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的 初加工矩形宽度与长度的比值样本 2 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案答案 A A 解析解析 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 备考提示备考提示 用以上各数据与 0 618 或 0 6 的差进行计算 以减少 计算量 说明多思则少算 6 如图 已知六棱锥的底面是正六边形 ABCDEFP 则下列结论正确的是ABPAABCPA2 平面 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线 BCPAE平面 D 直线所成的角为 45 ABCPD与平面 答案答案 D D 解析解析 AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直 所以 A 不成立 又 平面 PAB 平面 PAE 所以也不成立 BC AD 平面 PAD 直线 也不PAB平面PBC平面 BCPAE平面 成立 在中 PA AD 2AB PDA 45 D 正确PADRt 7 已知 为实数 且 则 是 的abcdcdabacbd A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B B 解析解析 显然 充分性不成立 又 若 和 都成立 则同向不等式相加acbdcd 得 ab 即由 acbd ab 8 已知双曲线的左 右焦点分别是 其一条渐近线方程为 0 1 2 2 22 b b yx 1 F 2 F 点xy 在双曲线上 则 3 0 yP 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 答案答案 C C 解析解析 由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是 于xy 2 22 yx 是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且或 不妨去 则 1 3 P 1 3 P 1 3 P 3 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 9 如图 在半径为 3 的球面上有三点 90 CBA ABC BCBA 球心O到平面的距离是 则两点的球面距离是ABC 2 23 CB A B 3 C D 2 3 4 答案答案 B B 解析解析 AC 是小圆的直径 所以过球心 O 作小圆的垂线 垂足 O 是 AC 的中点 O C AC 3 BC 3 即 BC OB OC 2 23 2 23 3 22 2 3 BOC 则两点的球面距离 CB 3 3 10 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙 产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案答案 D D 解析解析 设生产甲产品吨 生产乙产品吨 则有关系 xy A 原料 B 原料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品吨y y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当 3 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 Dxy 3 4 0 6 O 0 3 13 y x 9 13 4 11 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有两 位女生相邻 则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 答案答案 B B 解析解析 解法一 解法一 从 3 名女生中任取 2 人 捆 在一起记作 A A 共有种不同6 2 2 2 3 AC 排法 剩下一名女生记作 B 两名男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在 A B 之间 若 甲在 A B 两端 则为使 A B 不相邻 只有把男生乙排在 A B 之间 此时就不能满足男生 甲不在两端的要求 此时共有 6 2 12 种排法 A 左 B 右和 A 右 B 左 最后再在排好的三 个元素中选出四个位置插入乙 所以 共有 12 4 48 种不同排法 解法二 解法二 同解法一 从 3 名女生中任取 2 人 捆 在一起记作 A A 共有 种不同排法 剩下一名女生记作 B 两名男生分别记作甲 乙 为使男生甲不6 2 2 2 3 AC 在两端可分三类情况 第一类 女生 A B 在两端 男生甲 乙在中间 共有 24 种排法 2 2 2 2 6AA 第二类 捆绑 A 和男生乙在两端 则中间女生 B 和男生甲只有一种排法 此时 共有 12 种排法 2 2 6A 第三类 女生 B 和男生乙在两端 同样中间 捆绑 A 和男生甲也只有一种排法 此时共有 12 种排法 2 2 6A 三类之和为 24 12 12 48 种 12 已知函数是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数 且对任意实数都有 xfx 则的值是 1 1 xfxxxf 2 5 f A 0 B C 1 D 2 1 2 5 答案答案 A A 解析解析 若 0 则有 取 则有 x 1 1 xf x x xf 2 1 x 是偶函数 则 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 fffff xf 2 1 2 1 ff 由此得0 2 1 f 于是 5 0 2 1 5 2 1 2 1 2 1 1 3 5 1 2 1 3 5 2 3 3 5 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 2 5 fffffff 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数数 学 学 文史类 第第 卷卷 考生注意事项 考生注意事项 请用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上书写作答无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 13 抛物线的焦点到准线的距离是 2 4yx 答案答案 2 2 解析解析 焦点 1 0 准线方程 焦点到准线的距离是 2F1 x 14 的展开式的常数项是 用数字作答 6 1 2 2 x x 答案答案 2020 解析解析 令 得 rrrrrrrr r xC x xCT 2626 6 6 61 2 1 2 1 2 1 026 r3 r 故展开式的常数项为20 1 3 6 3 C 15 如图 已知正三棱柱的各条棱长都相等 是侧棱的中 111 ABCABC M 1 CC 点 则异面直线所成的角的大小是 1 ABBM和 答案答案 90 90 解析解析 作 BC 的中点 N 连接 AN 则 AN 平面 BCC1B1 连接 B1N 则 B1N 是 AB1在平面 BCC1B1的射影 B1N BM AB1 BM 即异面直线所成的角的大小是 90 1 ABBM和 16 设是已知平面上所有向量的集合 对于映射 记的象为VM f VV aV a 若映射满足 对所有及任意实数都有 f a f VV abV 则称为平面上的线性变换 现有下列命题 fabf af b fM 设是平面上的线性变换 则 fMabV f abf af b 若是平面上的单位向量 对 则是平面上的线性变换 eM aVf aae 设fM 对 则是平面上的线性变换 aVf aa 设fM 6 设是平面上的线性变换 则对任意实数均有 fMaV k f kakf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 令 则故 是真命题1 bfafbaf 同理 令 则故 是真命题0 k akfkaf 则有aaf bbf 是线性变换 bfafbababaf 故 是真命题 由 则有eaaf ebbf ebfafeebeaebabaf 是单位向量 0 故 是假命题ee 备考提示备考提示 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在中 为锐角 角所对的边分别为 且ABC AB ABC abc 510 sin sin 510 AB I 求的值 AB II 若 求的值 21ab abc 解析解析 I 为锐角 AB 510 sin sin 510 AB 22 2 53 10 cos1 sin cos1 sin 510 AABB 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 0AB 6 分 4 AB II 由 I 知 3 4 C 2 sin 2 C 7 由得 sinsinsin abc ABC 即5102abc 2 5ab cb 又 21ab 221bb 1b 12 分2 5ac 18 本小题满分 12 分 为振兴旅游业 四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡 向省外 人士发行的是熊猫金卡 简称金卡 向省内人士发行的是熊猫银卡 简称银卡 某旅游 公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游 其中是省外游客 其余是省内 3 4 游客 在省外游客中有持金卡 在省内游客中有持银卡 1 3 2 3 I 在该团中随机采访 2 名游客 求恰有 1 人持银卡的概率 II 在该团中随机采访 2 名游客 求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 解析解析 I 由题意得 省外游客有 27 人 其中 9 人持金卡 省内游客有 9 人 其中 6 人持银 卡 设事件 A 为 采访该团 2 人 恰有 1 人持银卡 则 11 630 2 36 2 7 C C P A C 所以采访该团 2 人 恰有 1 人持银卡的概率是 6 分 2 7 II 设事件 B 为 采访该团 2 人 持金卡人数与持银卡人数相等 可以分为 事件 B1为 采访该团 2 人 持金卡 0 人 持银卡 0 人 或事件 B2为 采访该团 2 人 持 金卡 1 人 持银卡 1 人 两种情况 则 112 9621 12 22 3636 44 105 C CC P BP BP B CC 所以采访该团 2 人 持金卡与持银卡人数相等的概率是 12 44 105 分 19 本小题满分 12 分 如图 正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直 是等ABCDABEFABE 腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段 的中点分别为 求证 CDAEPMPMBCE平面 8 III 求二面角的大小 FBDA 解析解析 解法一 因为平面 ABEF 平面 ABCD BC平面 ABCD BC AB 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 BC 平面 ABEF 所以 BC EF 因为 ABE 为等腰直角三角形 AB AE 所以 AEB 45 又因为 AEF 45 所以 FEB 90 即 EF BE 因为 BC平面 ABCD BE平面 BCE BC BE B 所以EFBCE 平面 6 分 II 取 BE 的中点 N 连结 CN MN 则 MNPC 1 2 AB PMNC 为平行四边形 所以 PM CN CN 在平面 BCE 内 PM 不在平面 BCE 内 PM 平面 BCE 8 分 III 由 EA AB 平面 ABEF 平面 ABCD 易知 EA 平面 ABCD 作 FG AB 交 BA 的延长线于 G 则 FG EA 从而 FG 平面 ABCD 作 GH BD 于 H 连结 FH 则由三垂线定理知 BD FH FHG 为二面角 F BD A 的平面角 FA FE AEF 45 AEF 90 FAG 45 设 AB 1 则 AE 1 AF 则 2 2 1 FGAF si n FAG 2 在 Rt BGH 中 GBH 45 BG AB AG 1 1 2 3 2 323 2 G HBG si n G BH 224 在 Rt FGH 中 FG2 t an FH G G H3 二面角的大小为FBDA 2 arc t an 3 12 分 解法二 因等腰直角三角形 所以ABE AEAB ABAE 又因为平面 所以 平面 所以ABABCDABEF 平面AEABCDADAE 9 即两两垂直 如图建立空间直角坐标系 AEABAD I 设 则 1 AB1 AE 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 CEDB 45 AEFFEFA 0 90 AFE 从而 2 1 2 1 0F 2 1 2 1 0 EF 0 0 1 1 1 0 BCBE 于是 0 2 1 2 1 0 BEEF0 BCEF EFBEEFBC 平面 平面 BE BCEBC BCEBBEBC EFBCE 平面 II 从而 0 2 1 1 2 1 0 0 PM 2 1 2 1 1 PM 于是0 4 1 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 EFPM 又 平面 直线不在平面内 PMEFEFBCEPMBCE 故 平面PMBCE III 设平面的一个法向量为 并设 BDF 1 n 1 n zyx 2 1 2 3 0 0 1 1 BFBD 即 0 0 1 1 BFn BDn 0 2 1 2 3 0 zy yx 取 则 从而 1 1 3 1 y1 x3 z 1 n 取平面D 的一个法向量为ABD 1 0 0 2 n 11 113 111 3 cos 21 21 21 nn nn nn 故二面角的大小为FBDA 11 113 arccos 20 本小题满分 12 分 已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是 32 22f xxbxcx x510yx I 求函数的解析式 f x 10 II 设函数 若的极值存在 求实数的取值范围以及函数 1 3 g xf xmx g xm 取得极值时对应的自变量的值 g xx 解析解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 即 2 0f 430bc 又 由已知得 2 34fxxbxc 2 1285fbc 870bc 联立 解得 1 1bc 所以函数的解析式为 4 分 32 22f xxxx II 因为 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 当函数有极值时 则 方程有实数解 0 2 1 3410 3 xxm 由 得 4 1 0m 1m 当时 有实数 在左右两侧均有 故函数1m 0g x 2 3 x 2 3 x 0g x 无极值 g x 当时 有两个实数根1m 0g x 12 11 21 21 33 xmxm 情况如下表 g x g x x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 极大值 极小值 所以在时 函数有极值 1 m g x 当时 有极大值 当时 有极小值 1 21 3 xm g x 1 21 3 xm g x 12 分 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的左 右焦点分别为 离心率 右 22 2 1 0 xy ab ab 12 FF 2 2 e 准线方程为 2x 11 I 求椭圆的标准方程 II 过点的直线 与该椭圆交于两点 且 求直线 的 1 FlMN 22 2 26 3 F MF N l 方程 解析解析 I 由已知得 解得 2 2 2 2 c a a c 2 1 ac 22 1 bac 所求椭圆的方程为 4 分 2 2 1 2 x y II 由 I 得 1 1 0 F 2 1 0 F 若直线 的斜率不存在 则直线 的方程为 由得ll1 x 2 2 1 1 2 x x y 2 2 y 设 2 1 2 M 2 1 2 N 这与已知相矛盾 22 22 2 2 4 0 4 22 F MF N 若直线 的斜率存在 设直线直线 的斜率为 则直线 的方程为 llkl 1 yk x 设 11 M x y 22 N xy 联立 消元得 2 2 1 1 2 yk x x y 2222 12 4220 kxk xk 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 1212 2 2 2 12 k yyk xx k 又 211222 1 1 F MxyF Nxy 221212 2 F MF Nxxyy 12 2 2 2 22 221212 22 8222 26 2 12123 kk F MF Nxxyy kk 化简得 42 4023170 kk 解得 22 17 1 40 或 舍去 kk 1 k 所求直线 的方程为 12 分l11或 yxyx 22 本小题满分 14