2011高中数学二轮基本内容十大攻略 第03讲 函高中数与不等式问题的解题技巧

1 第三讲第三讲 函数与不等式问题的解题技巧函数与不等式问题的解题技巧 命题趋向 全国高考数学科 考试大纲 为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向 考纲是 考试法典 是命题的依据 是备考的总纲 科学备考的首要任务 就是要认真学习 研究 考纲 对照 2007 年的考纲和高考函数试题有这样几个特点 1 1 通过选择题和填空题 全面考查函数的基本概念 性质和图象 2 2 在解答题的考查中 与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现 3 3 从数学具有高度抽象性的特点出发 没有忽视对抽象函数的考查 4 4 一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的 5 5 涌现了一些函数新题型 6 6 函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题 而且对于数列 不等式 解析几何等也需要用函数与方程思想作指导 函数类试题在试题中所占分值一般为 22 35 分 而 2007 年的不等式试题则有这样几个特点 1 1 在选择题中会继续考查比较大小 可能与函数 方程 三角等知识结合出题 在选择题中会继续考查比较大小 可能与函数 方程 三角等知识结合出题 2 2 在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围 以及求最大 在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围 以及求最大 值和最小值应用题值和最小值应用题 3 3 解题中注意不等式与函数 方程 数列 应用题 解几的综合 突出渗透数学思想 解题中注意不等式与函数 方程 数列 应用题 解几的综合 突出渗透数学思想 和方法和方法 分值在分值在 27 3227 32 分之间 一般为分之间 一般为 2 2 个选择题 个选择题 1 1 个填空题 个填空题 1 1 个解答题 个解答题 可以预测在 2008 年的高考试题中 会有一些简单求函数的反函数 与导数结合的函数函数 单调性 函数极值 函数最值问题 单调性 函数极值 函数最值问题 选择题与填空题中会出现一些与函数 方程 三角等 知识结合的不等式问题 在解答题中问题 在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取 值范围 和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数 方程 数列 应用题 解几 的综合题 这些题目会突出渗透数学思想和方法 值得注意 考点透视 1 了解映射的概念 理解函数的概念 2 了解函数的单调性和奇偶性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方 法 并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程 3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系 会求一些简单函数的反函 数 4 理解分数指数的概念 掌握有理指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和 性质 5 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 6 能够运用函数的性质 指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 7 在熟练掌握一元一次不等式 组 一元二次不等式的解法基础上 掌握其它的一些 简单不等式的解法 通过不等式解法的复习 提高学生分析问题 解决问题的能力以及计 算能力 8 掌握解不等式的基本思路 即将分式不等式 绝对值不等式等不等式 化归为整式 不等式 组 会用分类 换元 数形结合的方法解不等式 9 通过复习不等式的性质及常用的证明方法 比较法 分析法 综合法 数学归纳法 等 使学生较灵活的运用常规方法 即通性通法 证明不等式的有关问题 10 通过证明不等式的过程 培养自觉运用数形结合 函数等基本数学思想方法证明 2 不等式的能力 11 能较灵活的应用不等式的基本知识 基本方法 解决有关不等式的问题 12 通过不等式的基本知识 基本方法在代数 三角函数 数列 复数 立体几何 解析几何等各部分知识中的应用 深化数学知识间的融汇贯通 从而提高分析问题解决问 题的能力 在应用不等式的基本知识 方法 思想解决问题的过程中 提高学生数学素质 及创新意识 例题解析 1 函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 这里主要帮助考生灵活掌握 求定义域的各种方法 并会应用用函数的定义域解决有关问题 例 1 2007 年广东广东卷理 已知函数的定义域为 M g x 的定义域为 1 1 f x x ln 1 x N 则 M N A B C D 1 x x 1 x x 11 xx 命题意图命题意图 本题主要考查含有分式 无理式和对数的函数的定义域的求法 解 函数的定义域 M g x 的定义域 N M N 1 1 f x x 1 x x ln 1 x 1 x x 11 xx 故选 C 例 2 2006 年湖南卷 函数的定义域是 2 log2yx A 3 B 3 C 4 D 4 命题意图命题意图 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法 解 由 故选 D 2 0 4 log20 x x x 2 求函数的反函数 求函数的反函数 有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域 值域 以及函 数概念的理解 例 3 2006 年安徽卷 函数 的反函数是 2 2 0 0 x x y xx A B 0 2 0 x x y x x 2 0 0 x x y x x C D 0 2 0 x x y x x 2 0 0 x x y x x 命题意图命题意图 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法 1 21 2 0 22 0 0 0 2 0 yx yxxfxx yxyfxxx x x y x x 解 又 故选 C 例 4 2007 年湖北湖北卷理 已知函数的反函数是 则 2yxa 3ybx a 3 b 命题意图命题意图 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识 解 与比较得6 1111 2 2222 yxaxyayxaxa 3ybx a 1 2 b 故填 1 6 2 3 复合函数问题 复合函数问题 是新课程 新高考的重点 此类题目往往分为两类 一是结合函数解析式 的求法来求复合函数的值 二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域 例 5 2007 年北京北京卷文文 对于函数 2f xx 2 2 f xx cos 2 f xx 判断如下两个命题的真假 命题甲 是偶函数 2 f x 命题乙 在上是减函数 在上是增函数 f x 2 能使命题甲 乙均为真的所有函数的序号是 命题意图命题意图 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力 解 是偶函数 又函数开口向上且在上 22 2 2 f xxf xx 2 2 f xx 是减函数 在上是增函数 故能使命题甲 乙均为真的函数仅有 2 2 2 f xx 故选 例 6 2006 年安徽卷 函数对于任意实数满足条件 若则 fx x 1 2f x f x 15 f 5ff 命题意图命题意图 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力 解 由 得 所以 则 1 2f x f x 1 4 2 f xf x f x 5 1 5ff 11 5 5 1 12 5 ffff f 4 函数的单调性 奇偶性和周期性 函数的单调性 奇偶性和周期性是高考的重点内容之一 考查内容灵活多样 这里主 要帮助读者深刻理解奇偶性 单调性和周期性的定义 掌握判定方法 正确认识单调函数 与奇偶函数的图象 例 7 2006 年全国卷 已知函数 若为奇函数 则 1 1 x f xa z fx a 命题意图命题意图 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用 常规解法 由 f x 为奇函数 所以 f x f x 0 即 0 12 1 12 1 xx aa 应填 2 1 12 21 2 1 12 1 12 1 2 1 x x xx a 2 1 巧妙解法 因为 f x 为奇函数 所以 f 0 0 即应填 2 1 0 12 1 0 aa 2 1 4 点评 巧妙解法巧在利用了 f x 为奇函数 所以 f 0 0 这一重要结论 例 8 20072007 年全国卷理年全国卷理 I I 是定义在上的函数 则 f x g xR h xf xg x 均为偶函数 是 为偶函数 的 f x g x h x A 充要条件B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件D 既不充分也不必要的条件 命题意图命题意图 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的 相关知识 解解 先证充分性 因为 均为偶函数 f x g x 所以 有 fxf x gxg x hxfxgxf xg xh x 所以 为偶函数 h x 反过来 若为偶函数 不一定是偶函数 如 h x f x g x 2 h xx f xx 2 g xxx 故选 B 方法二 可以选取两个特殊函数进行验证 故选 B 点评 点评 对充要条件的论证 一定既要证充分性 又要证必要性 二着缺一不可 同时 对 于抽象函数 有时候可以选取特殊函数进行验证 5 函数的图象与性质 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一 它是研究和记忆函数性质的直观工具 利用它的直观性解题 可以起到化繁为简 化难为易的作用 因此 读者要掌握绘制函数图 象的一般方法 掌握函数图象变化的一般规律 能利用函数的图象研究函数的性质 此类题 目还很好的考查了数形结合的解题思想 例 9 2006 年山东卷 函数y 1 ax 0 a 1 的反函数的图象大致是 A B C D 命题意图命题意图 本题主要考查对数函数的图象 互为反函数图象间关系及对数的运算性质等 知识 解 y 1 ax 0 a 1 此函数图象是由函数 1 log 1 01 a fxxa 向右平移一个单位得到的 log 01 a f xxa 故选 A 6 函数综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一 一般难度较大 考查内容和形式灵 活多样 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力 掌握基本解题技巧和方法 并培养读者的思维和创新能力 例 10 2007 年浙江卷文 已知 1 22 kxxxxf 5 若k 2 求方程的解 0 xf 若关于x的方程在 0 2 上有两个解x1 x2 求k的取值范围 并证明 0 xf 4 11 21 xx 命题意图 本题主要考查函数的基本性质 方程与函数的关系等基础知识 以及综合运用 所学知识 分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力 满分 15 分 I 解 当 0 2 1 2 22 xxxxfk时 分两种情况讨论 当 方程化为 时或即时11 11 2 xxx 0122 2 xx 131313 01 222 xx 解得因为舍去所以 当 方程化为 1 2x 0 解得 11 01 2 xx即时 2 1 x 由 得 2 1 2 31 0 2 xx xfk 或 的解是方程时当 II 解 不妨设 20 21 xx 因为 1 1 1 12 2 xkx xkxx xf 所以是单调递函数 1 0 在xf 故上至多一个解 1 00 在 xf 121212 1 1 22 2 1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 0 1 17 0 2 1 2 7 1 0 0 2 2 x xx xxx f xkk x f xkxk x kf x 若则故不符合题意因此 由得所以 由得所以 故当时在上有两个解 方法一 2 2 11 2 22 2 2 12 222 12 18 0 1 210 4 8 1 2 4 1141 8 2 8 777 8 1 8 88 222 11 4 kk xxxkx k kk xx kkk xx kk ykkkk xx 因为所以而方程的两根是 因为所以 则 而在上是减函数则 因此 方法二 6 因为 01 1 0 11 kxx所以 因为 012 2 1 2 2 22 kxxx所以 由 消去k 得 2 121222 1212 1111 20 2 1 2 4 x xxxxx xxxx 即又因为所以 7 7 以集合为背景的以集合为背景的不等式 以集合为背景的以集合为背景的不等式 以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的 解题时应注 意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合 准确解题 例例 11 11 20072007 年北京卷文年北京卷文 记关于的不等式的解集为 不等式的解集为 x 0 1 xa x P11x Q I 若 求 3a P II 若 求正数的取值范围 QP a 命题意图 本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法 解 I 由 得 3 0 1 x x 13Pxx II 1102Qx xxx 由 得 又 所以 0a 1Pxxa QP 2a 即的取值范围是 a 2 8 8 以以线性规划形式出现的不等式 以以线性规划形式出现的不等式 重在考查数形结合的解题能力 这种题目解题时要注意根据 已知不等式组作出图形 分析求解 例例 12 12 20062006 年辽宁卷 年辽宁卷 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域 22 4xy 3x 表示该区域的不等式组是 A B C D 0 0 03 xy xy x 0 0 03 xy xy x 0 0 03 xy xy x 0 0 03 xy xy x 命题意图 本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识 体现数形结合能力 解 作图可知解 作图可知三角形区域在第一象限 即满足 0 0 03 xy xy x 故选 A 9 9 以简易逻辑为背景的以简易逻辑为背景的不等式 以简易逻辑为背景的以简易逻辑为背景的不等式 解题时往往以不等式为工具 来确定命题 用简易逻辑知识解决简易逻辑知识解决 问题问题 例例 13 13 20062006 年年山东卷 设 则是 的 2 2 1 200 0 2 x p xxq x pq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 7 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 命题意图 本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力简易逻辑知识解决问题的能力 解 解 由题设可得 2 2 200 5 4 1 0 1 2 2 2 p xxp xx x qxxx x 即 即1或 故选 A 10 10 与函数知识结合的与函数知识结合的不等式 与函数知识结合的与函数知识结合的不等式 解题时往往以不等式为工具 结合函数知识结合函数知识 通过推理来解决问解决问 题题 例例 14 14 20062006 年年山东卷 设 1 2 3 2 2 2 log 1 2 x ex f xf f xx 则的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 命题意图 本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力函数知识解决问题的能力 解 解 故选 C 0 2 3 1 22 f fffe 3 l og 12 12 与平面向量知识结合的与平面向量知识结合的不等式 与平面向量知识结合的与平面向量知识结合的不等式 解题时往往以不等式为工具 结合平面向量知识和坐标运算结合平面向量知识和坐标运算 通 过和坐标运算和和坐标运算和推理来解决问题解决问题 例例 15 15 20062006 年辽宁卷 年辽宁卷 设 点是线段上的一个动点 若 0 0 O 1 0 A 0 1 BPABAPAB OP ABPA PB 则实数的取值范围是 A B 1 1 2 2 11 2 C D 12 1 22 22 11 22 命题意图 本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力平面向量知识解决问题的能力 解 解 设 P x y 则由得 APAB 1 1 1 1 1 APABxy xx yy 即 解得 2222 1 1 1 1 0 1 20 22 11 22 OP ABPA PBx yxyxy xyy 又点是线段上的一个动点 PAB01 2 11 2 故选 B 13 13 与函数的导数知识结合的与函数的导数知识结合的不等式 与函数的导数知识结合的与函数的导数知识结合的不等式 解题时往往以不等式和函数的导数函数的导数为工具 结合函数知结合函数知 识识 通过推理来解决问题解决问题 例例 16 20062006 年年江西卷 卷 8 已知函数在与时都取得极值 32 f xxaxbxc 2 3 x 1x 1 求 的值及函数的单调区间 ab f x 2 若对 不等式恒成立 求的取值范围 1 2x 2 f xc c 命题意图 本小题考查函数的导数 函数 函数极值的判定 给定区间上二次函数的最值 等基础知识的综合运用 考查就数形结合的数学思想分析问题 解决问题的能力 解 解 322 1 32 f xxaxbxc fxxaxb 2 2124 0 1 320 393 1 2 2 32 32 1 fabfab ab fxxxxxf x 由 得 函数的单调区间如下表 x 2 3 2 3 2 1 3 1 1 fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以函数的递增区间为与 递减区间为 f x 2 3 1 2 1 3 32 22 1 2 2 2 222 1 2 327 2 2 2 2 1 2 2 2 12 f xxxxc xxf xc fcfc f xcxcfc cc 当时为极大值 而则为最大值 要使恒成立只须 解得或 14 14 与数列知识结合的与数列知识结合的不等式 与数列知识结合的与数列知识结合的不等式 解题时往往以不等式和数列知识结合数列知识结合为工具 结合函数知识结合函数知识 通 过计算和推理来解决问题解决问题 例例 17 17 20062006 年湖北卷 年湖北卷 设数列的前项和为 点均在函数的图像上 n a n n S n S nnN n 32yx 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前项和 求使得对所有都成立的最小 1 3 n nn b a a n T n b n 20 n m T nN 正整数 m 命题意图 本小题主要是考查等差数列 数列求和 不等式等基础知识和基本的运算技能 考查分析问题能力和推理能力 9 解 解 I 依题意得 即 32 n S n n 2 32 n Snn 当 n 2 时 2 2 1 32 312 1 65 nnn aSSnnnnn 当 n 1 时 2 1 1 6 1 5 11 3aS 2 1 所以 65 n annN II 由 I 得 1 31111 65 6 1 52 6561 n nn b a annnn 故 1 1 111111 1 277136561 n n b nn T 11 1 261n 因此 使得 成立的 m 必须满足 即 m 10 故满足要求的最 11 1 261n 20 m nN 1 220 m 小整数 m 为 10 15 15 不等式的实际应用的实际应用 不等式的实际应用题的实际应用题 解题时往往以不等式为工具 结合函数知识和函数的导数的应用结合函数知识和函数的导数的应用 通 过建立不等式模型 利用计算和推理来解决问题解决问题 例例 1818 2007 年重庆卷文 本小题满分 12 分 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该 长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 命题意图 本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识 以及运用不等式知识 解决实际问题的能力 解 设长方体的宽为x m 则长为 高为 2mx 2 3 0 35 4 4 1218 xmx x h 故长方体的体积为 2 3 0 69 35 4 2 3322 xmxxxxxV 从而 1 181818 2 xxxxxV 令 舍去 或x 1 因此x 1 00 xxV 解得 当 0 2 3 1 0 10 xVxxVx时 当时 故在x 1 处取得极大值 并且这个极大值就是的最大值 xV xV 从而最大体积 此时长方体的长为 2m 高为 1 5m 31619 1 332 mVV 答 当长体的长为 2m 宽为 1m 高为 1 5m 时 体积最大 最大体积为 3m3 专题训练与高考预测 一 选择题 1 y 的单调递减区间为 32 2 xx A 3 B 1 C 1 D 3 1 2 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 10 A y B y C y 3 2x D y x2 2x 1x 1 1 x 3 设f x 是定义在A上的减函数 且f x 0 则下列函数 y 3 2f x y 1 y f2 x y 1 其中增函数的个数为 2 xf xf A 1 B 2 C 3 D 4 4 关于 x 的方程 9x a 4 3x 4 0 有解 则实数 a 的取值范围是 A 8 0 B 4 8 4 D 8 5 若 a 0 b 0 且 2a b 1 则 S 2 4a2 b2的最大值是 ab A B C D 2 12 12 2 12 12 6 已知不等式m2 cos2 5 m 4sin2 0 恒成立 则实数m的取值范围是 A 0 m 4 B 1 m 4 C m 4 或 x 0 D m 1 或m 0 二 填空题 7 设f x x2 1 x 2 则f 1 4 8 已知f x 3x 2 则f 1 3x 2 9 已知f x 是奇函数 当x 0 1 时 f x lg 那么当x 1 0 时 1 1x f x 的表达式是 10 记 S 则 S 与 1 的大小关系是 12 1 22 1 12 1 2 1 11101010 11 当时 函数的最小值是 0 2 x 2 1 cos28sin sin2 xx y x 12 实数满足 则的取值范围是 x y x xy y x 三三 解答题解答题 13 13 设函数 f x log2 x 1 当点 x y 在 y f x 的反函数图象上运动时 对 应的点 在 y g x 的图象上 3 2 yx 1 求 g x 的表达式 2 当 g x f 1 x 0 时 求 u x g x f 1 x 的最小值 14 14 在某产品的制造过程中 次品率 p 依赖于日产量 x 已知 p 1 101x 当0 x100时 1 当x100时 其中 x 为正整数 又该厂每生产一正品可赢利 A 元 但每生产出一件次品就要损失 元 3 A 1 将该厂的日赢利额 T 元 表示为日产量 x 个 的函数 并指出这个函数的定义 域 2 为了获得最大盈利 该厂的日产量应定为多少 15 已知 1 1 x x x xf 11 的单调区间 1 xf求 2 若 4 3 1 0 cfaf bba cba求证 16 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米 小时 4 V 20 从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港 然后乘汽车以匀速 W 千米 小时 30 W 100 自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去 在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市 设汽车 摩托艇所需的时间分别是x小时 y 小 时 若所需经费元 那么 V W 分别为多少时 所需经费最少 8 2 5 3100yxp 并求出这时所花的经费 参考答案