高二数学寒假专题——轨迹问题人教版知识精讲

高二数学高二数学寒假专题寒假专题 轨迹问题轨迹问题人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 寒假专题 轨迹问题 基本知识与方法 直译法 定义法 相关点法 直译法 直接用动点 P x y 的坐标表示等量关系 化简得轨迹方程 定义法 通过圆锥曲线 或已知曲线 定义确定轨迹性质 进而求得方程 相关点法 当动点 P x y 与已知曲线上动点 P1 x1 y1 相关时 用 x y 表示 x1 y1 再代入已知曲线方程 求得轨迹方程 典型例题典型例题 例 1 点 P 与两定点 F1 a 0 F2 a 0 a 0 的连线的斜率乘积为常数 k 求 点 P 的轨迹方程 解 解 设 P x y 则由kkk y xa y xa k x a y a k PFPF 12 2 2 2 2 1 例 2 过原点的双曲线有一个焦点为 F 4 0 且实轴长为 2 求双曲线中心的轨迹方 程 解 解 设中心 M x y 另一焦点 F x y y O F 4 0 x M F 则 x x y y 4 2 2 xx yy 24 2 由双曲线定义得 OFOFaO 22为原点 即 42442 22 xy 化简 或 xyxy 2129 2222 注 注 以上两题是先设动点坐标 x y 然后用 x y 表示题设中的等量关系 化简后 得动点的轨迹方程 通常叫直译法 但例 2 中的等量关系比较隐蔽 需要利用 原点在双 曲线上 这一条件 确定 或找到 等量关系 这是直译法的难点 找等量关系 例 3 方程 求与圆 外切 且与直线相切的动圆圆心的轨迹Oxyx 1 22 211 解 解 设动圆圆心为 P x y 半径为 r y O1 P x 2 O1 1 O x x 1 2 由题设知 PO1 r 1 O1O1 O1 为点 O1到直线 x 2 的距离 即点 P 是到定点 O 2 0 与到定直线 x 2 的距离相等的轨迹 抛物线 Pyx点轨迹方程为 2 8 例 4 的中垂线已知定点 圆 为圆 上的动点 线段A304 22 OxyPOAP 交半径 OP 于点 M 求点 M 的轨迹方程 解 解 由题设知 MP MA y P M O A 2 x 3 OMMP 2 半径 OMMA 2 又 OA 4 M 点的轨迹是以 O A 为焦点的椭圆 又 2a 2 a 1 c 3 2 bac 222 1 3 4 1 4 中心为 3 2 0 方程为 x y 3 2 1 4 1 1 2 2 即 xy 3 2 41 22 注 注 以上两题并不是先设动点的坐标 然后设法寻求坐标的等量关系 而是先分析动 点的几何性质 发现动点的轨迹是符合某种已知曲线的定义 即先定性 进而由该曲线的 标准方程求得动点的轨迹方程 例 5 已知抛物线 y2 2 x 1 的焦点为 F 准线 l 与 x 轴的交点为 A P 为抛物线上 的动点 求 APF 的重心 G 的轨迹方程 解 解 设 G x y P x y y l P G O A 1 F x FA 3 2 0 1 2 0 则 x x y y 1 2 3 2 3 3 xx yy 32 3 代入 yxyx 22 2132 321 即yxx 2 2 3 11 例 6 点 引双曲线的实轴为 点 是双曲线上不同于 的一个动 x a y b A APAA 2 2 2 2 1212 1 A1Q A1P A2Q A2P A1Q 与 A2Q 的交点为 Q 求 Q 点的轨迹方程 解 解 设 P x y x a Q x y y Q P x y A1 O A2 x A1 a 0 A2 a 0 由题设 A Q A P A Q A P 11 22 y xa y xa y xa y xa xx xa y xa y 1 1 0 22 代入b xa ya b 222222 得bxa xa y a b 222 22 222 即 Qa xa xa b yb x ya 24222222226 20 注 注 以上两题是与两个动点有关的轨迹问题 其中一个动点在已知曲线上 另一动点 是所求轨迹上的点 根据这两动点的坐标间的关系用所求轨迹上动点的坐标 x y 表示 已知曲线上动点 x y 的坐标 最后代入到已知曲线的方程中得到所求轨迹方程 叫 相关点 或代入法 模拟试题模拟试题 1 自圆外一点 P 作圆的两条切线 PM 和 PN 若 则动点 P 的xy 22 1 MPN 2 轨迹方程为 2 设动点 P x y 到直线 x 5 的距离和它到点 A 1 0 的距离之比为 则动点5 P 的轨迹方程是 3 设 M 点与 F 4 0 的距离比它到直线的距离小 1 则 M 点的轨迹方程是x 50 4 已知 C1 C2 则与 C1 C2外切的动圆圆心 xy 31 22 xy 34 22 P 的轨迹方程为 5 已知圆 B 及点 A 1 0 C 为圆 B 上任意一点 求 AC 垂直平 xy 116 22 分线与线段 CB 的交点 P 的轨迹 6 已知 长为的线段 AB 的两端点 A B 分别在 OM ON 上滑动 MON120 2 3 求 AB 中点 P 的轨迹方程 7 求椭圆的一组斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程 x y 2 2 4 1 试题答案试题答案 1 xy 22 2