2012高考数学核心考点90天突破 专题8 圆锥曲线

1 20122012 考前考前 9090 天突破天突破 高考核心考点高考核心考点 专题八专题八 圆锥曲线圆锥曲线 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 圆锥曲线与方程 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几 何性质 了解双曲线 抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它们的简单几何 性质 理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用 近几年考点分布近几年考点分布圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例 且选择题 填空题和解 答题都涉及到 客观题主要考察圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等基础知识和 处理有关问题的基本技能 基本方法 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现 主要考 察学生逻辑推理能力 运算能力 考察学生综合运用数学知识解决问题的能力 但圆锥曲 线在新课标中化归到选学内容 要求有所降低 估计 2012 年高考对本讲的考察 仍将以以 下题型为主 1 求曲线 或轨迹 的方程 对于这类问题 高考常常不给出图形或不给出坐标系 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力 2 与圆锥曲线有关的最值问题 参数范围问题 这类问题的综合型较大 解题中需 要根据具体问题 灵活运用解析几何 平面几何 函数 不等式 三角知识 正确的构造 不等式或方程 体现了解析几何与其他数学知识的联系 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 求圆锥曲线的标准方程 离心率 准线方程等 利用待定系数法求出相应的 a b p等 1 椭圆的方程以及性质 标准方程简 图 中心坐 标 顶点坐标焦点坐标 对称轴 方程 准线方程范围 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 O 0 0 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b F1 c 0 F2 c 0 x 0 y 0 x c a2 x a y b 2 2 a y 2 2 b x 1 a b 0 O 0 0 A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 F1 0 c F2 0 c x 0 y 0 y c a2 y a x b 2 双曲线的标准方程与几何性质 2 标准方程 2 2 a x 2 2 b y 1 a 0 b 0 2 2 a y 2 2 b x 1 a 0 b 0 简图 中心 O 0 0 O 0 0 顶点 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 范围 x a y a 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 准线x c a2 y c a2 渐近线y a b xy b a x 3 抛物线的方程以及性质 标准方程 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 图形 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 轴对称轴 y 0对称轴 y 0对称轴 x 0对称轴 x 0 焦点F 2 p 0 F 2 p 0 F 0 2 p F 0 2 p 准线x 2 p x 2 p y 2 p y 2 p 离心率 e 1e 1e 1e 1 M x0 y0 焦半径 MF x0 2 p MF x0 2 p MF y0 2 p MF y0 2 p 例 1 设椭圆的中心在原点 坐标轴为对称轴 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为24 4 求此椭圆方程 离心率 准线方程及准线 间的距离 解析 解析 设所求椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 根据题意列出关于 a b c方程组 从而求出a b c的值 再求离心率 准线方程及准线间的距离 3 解 设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 则 222 12 4 cba ca cb 解 之得 24 a b c 4 则所求的椭圆的方程为1 1632 22 yx 或1 3216 22 yx 离心率 2 2 e 准线方程88 yx或 两准线的距离为 16 名师点睛名师点睛 充分认识椭圆中参数a b c e 的意义及相互关系 在求标准方程时 已知 条件常与这些参数有关 考点考点 2 2 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质 例 2 设F1 F2为椭圆1 49 22 yx 的两个焦点 P为上一点 已知P F1 F2是一个直角 三角形的三个顶点 且 PF1 PF2 求 2 1 PF PF 的值 思路分析思路分析 由已知 F1不是直角顶点 所以只要对P F2中哪一个是直角顶点分两种 情况即可 解法 1 由已知 PF1 PF2 PF1 PF2 6 F1F2 52 若 PF2F1为直角 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 可解得 PF1 3 14 PF2 3 4 这时 2 7 2 1 PF PF 若 F2PF1为直角 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 可解得 PF1 4 PF2 2 这时2 2 1 PF PF 解法 2 由椭圆的对称性 不妨设P x y 其中x 0 y 0 0 5 0 5 21 FF 若 PF2F1为直角 则P 3 4 5 这时 PF1 3 14 PF2 3 4 这时 2 7 2 1 PF PF 若 PF2F1为直角 则由 1 55 1 49 22 x y x y yx 解得 5 54 5 53 P 于 是 PF1 4 PF2 2 这时2 2 1 PF PF 4 名师点睛名师点睛 由椭圆的方程 熟练准确地写出其几何性质 如顶点 焦点 长 短 轴长 焦距 离心率 焦半径等 是应对考试必备的基本功 在解法 2 中设出了P点坐标 的前提下 还可利用 PF1 a ex PF2 a ex来求解 考点考点 3 3 有圆锥曲线的定义的问题 有圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一 第二定义求解 1 椭圆的第一定义 我们把平面内与两个定点 F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的 点的轨迹叫做椭圆 这两定点叫做椭圆的焦点 两定点间的距离叫做椭圆的焦距 椭圆的第二定义 我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数 e a c 0 e 1 的动点 M 的轨迹叫做椭圆 这个定点是椭圆的焦点 这条定直线叫做椭圆的 准线 这个常数 e 是椭圆的离心率 2 双曲线的定义 第一定义 平面内与两个定点 F1 F2的距离的差的绝对值是常数 小于 F1F2 的点的 轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做焦距 即 MF1 MF2 2a 1 F 为直线 l 外一定点 动点到定直线的距离为 d e 为大于 1 的常数 3 1 抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点为抛物线的焦点 定直线为抛物线的准线 例 3 已知某椭圆的焦点F1 4 0 F2 4 0 过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为 B 且 10 椭圆上不同两点 A x1 y1 C x2 y2 满足条 件 F2A F2B F2C 成等差数列 1 求该椭圆的方程 2 求弦 AC 中点的横 坐标 思路分析 因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离 所以可以从椭圆的定义 入手 解 1 由椭圆的定义及已知条件知 2a F1B F2B 10 所以a 5 又 c 3 故b 4 故椭圆的方程为1 925 22 yx 由点 B 4 y0 在椭圆上 得 F2B y0 5 9 因为椭圆的右准线方程为 4 25 x 离心率 5 4 e 所以根据椭圆的第二定义 有 5 4 5 4 25 5 4 112 xxAF 222 5 4 5 4 25 5 4 xxCF 因为 F2A F2B F2C 成等差数列 1 5 4 5x 5 9 2 5 4 5 2 x 所以 x1 x2 8 从而弦 AC 的中点的横坐标为4 2 21 xx 名师点睛名师点睛 涉及椭圆 双曲线上的点到两个焦点的距离问题 常常要注意运用第 一定义 而涉及曲线上的点到某一焦点的距离 常常用圆锥曲线的统一定义 对于后者 需 5 要注意的是右焦点与右准线对应 不能弄错 考点考点 4 4 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的方程组 成的方程是否有实数解成实数解的个数问题 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想 方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当直线与圆锥曲线相交时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦 长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的 斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与 量间的关系灵活转化 往往就能事半功倍 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程 利用判别式 韦 达定理来求解或证明 例 4 22 22 10 0 xy abAP ab 设双曲线 的右顶点为 是双曲线右支上异于顶点的一个动点 2 1 2 4 AOPQR POPOQ OR ab PAQRP 过作双曲线的两条渐近线的平行线与直线分别交于和两点 证明 不论点在什么位置 总有 在双曲线上是否存在一点 使的面积等于 若存在 写出点坐标 若不存在 请说明理由 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 1 2 1 22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 22 11 1 11 1 11 1 11 11 1 21 2 2 1 2 2 1 1 1 11 1 1 OPyx b y a x ba yxba yaxb yxba OROQ aybx aby aybx abx R aybx aby aybx abx Q ax a b y x x y y ax a b ylax a b yl A b y a x x x y yOPyxP 点坐标为同理得 点坐标为得由分别为 方程与渐近线平行的两直线过且方程为 则点坐标为设解 2 11 2 22 1 11 2222 11111222 11 111 222222 111 222 22 1111 22 2 1 2 2 2 15 1 24422 QR AQR y ay AAQRQRhORxx x xy xyyxya yy ab xa b xy xb xa ya bb aabbbxy SQR hyyyxa bab 点到直线的距离即的上的高为 代入 得 满足 5 22 b Pa 条件的点存在 其坐标为 名师点睛名师点睛 在以直线与双曲线的知识为背景前提下 结合相应的平面几何知识点到直 线距离 两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积 交点坐标问题 深刻体会代数法 6 o y x G C D B A N 来解决解析几何的思想实质 考点考点 5 5 轨迹问题 轨迹问题 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法 定义法 代入法 参数法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化 简即得动点轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 参数法 若动点的坐标 x y 中的 x y分别随另一变量 的变化而变化 我们可以以这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求轨迹方程 一定要 注意轨迹的纯粹性和完备性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 要注意区别 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 根据已知条件求出轨迹方程 再由方程说明轨迹的位置 形状 大小等特征 例 5 设AB是单位圆O的直径 N是圆上的动点 过点N的切线 与过点AB 的切线分别交于D C两点 四边形ABCD的对角线 AC和BD的交点为G 求G的轨迹 解 以圆心 O 为原点 直径AB为x轴建立直角坐标系 则 A 1 0 B 1 0 单位圆的方程为 22 1xy 设 N 的坐标为 cos sin 则切线 DC 的方程为 cossin1xy 由此可得 1 cos1cos 1 1 sinsin CD AC 的方程为 1 cos 1 2sin yx BD 的方程为 1cos 1 2sin yx 将两式相乘得 2 22 2 1 cos 1 4sin yx 即 22 41xy 当点 N 恰为A或B时 四边形ABCD变为线段AB 这不符合题意 所以轨迹不能包括 A B两点 所以G的轨迹方程为 22 41xy 11x 名师点睛名师点睛 对于解析几何问题 首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算 同时要注意圆的参数方程的运用 对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺 考点考点 6 6 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 建立目标函数 转化为函数的定值 最值问题 例 6 已知A 2 0 B 2 0 动点 P 与A B两点连线的斜率分别为 PA k和 PB k 且 满足 PA k PB k t t 0 且 t 1 求动点 P 的轨迹 C 的方 程 当 t 0 时 曲线 C 的两焦点为 F1 F2 若曲线 C 上存在 点 Q 使得 F1QF2 120O 求 t 的取值范围 解 解 设点 P 坐标为 x y 依题意得 22 x y x y t y2 t x2 4 4 2 x t y 4 2 1 轨迹 C 的方程为 4 2 x t y 4 2 1 x 2 7 当 1 t 0 时 曲线 C 为焦点在x轴上的椭圆 设 1 PF r1 2 PF r2 则 r1 r2 2a 4 在 F1PF2中 21F F 2c 4t 1 F1PF2 120O 由余弦定理 得 4c2 r 2 1 r 2 2 2r1r2 0 120cos r 2 1 r 2 2 r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12 t 4 1 所以当 4 1 t 0 时 曲线上存在点 Q 使 F1QF2 120O 当 t 1 时 曲线 C 为焦点在y 轴上的椭圆 设 1 PF r1 2 PF r2 则 r1 r2 2a 4 t 在 F1PF2中 21F F 2c 4t 1 F1PF2 120O 由余弦定理 得 4c2 r 2 1 r 2 2 2r1r2 0 120cos r 2 1 r 2 2 r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12t t 4 所以当 t 4 时 曲线上存在点 Q 使 F1QF2 120O 综上知当 t 0 时 曲线上存在点 Q 使 AQB 120O的 t 的取值范围是 0 4 1 4 w w w zxxk c o m 名师点睛名师点睛 本试题先直接发球轨迹方程 然后运用一问的结论进一步研究第二问 充 分利用圆锥曲线的定义和余弦定理 结合不等式的思想来得到不等式关系 从而得到相关 的结论 主要是体会焦点三角形的运用 名师点睛名师点睛 设椭圆上动点坐标为 x y 用该点的横坐标将距离 d 表示出来 利用求函 数最值的方法求 d 的最小值 考点考点 7 7 与圆锥曲线有关的对称问题 与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 例例 7 7 过点 1 0 的直线l与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为 2 2 的椭圆C相交于 A B两点 直线y 2 1 x过线段AB的中点 同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对 称 试求直线l与椭圆C的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆方程为 x2 2y2 2b2 A x1 y1 B x2 y2 在椭圆上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 则x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设AB中点为 x0 y0 则kAB 0 0 2y x 又 8 x0 y0 在直线y 2 1 x上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 kAB 1 设l的方程为y x 1 右 焦点 b 0 关于l的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所求椭圆C的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l的方程为y x 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆 C的方程为x2 2y2 2b2 l 的方程为y k x 1 将l的方程代入C的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线 l 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y 2 1 x过AB的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得k 0 或k 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若k 0 则l的方程为 y 0 焦点F c 0 关于直线l的对称点就是F点本身 不能在椭圆C上 所以k 0 舍去 从 而k 1 直线l的方程为y x 1 即y x 1 以下同解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 名师点睛名师点睛 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题 解法一 将A B两点坐标代 入圆锥曲线方程 两式相减得关于直线AB斜率的等式 再利用对称点所连线段被对称轴垂 直平分来列式求解 解法二 用韦达定理 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 金题热身金题热身 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 陕西文理 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 A 2 8yx B 2 4yx C 2 8yx D 2 4yx 解析 设抛物线方程为 2 yax 则准线方程为 4 a x 于是2 4 a 8a 故选 C 2 湖南文 6 理 5 设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为320 xy 则a的值 为 A 4 B 3 C 2 D 1 9 解析 由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a 故可知2a 答案 C 3 安徽理 2 双曲线xy 的实轴长是 A 2 B C 4 D 4 命题意图 本题考查双曲线的标准方程 考查双曲线的性质 属容易题 解析 xy 可变形为 22 1 48 xy 则 2 4a 2a 24a 故选 C 4 湖南 设双曲线 01 9 2 2 2 a y a x 的渐近线方程为023 yx 则a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 由双曲线的方程可知其渐近线为03 ayx 对比可知1 a 故选 C 评析 本小题主要考查双曲线的方程及其渐近线方程与性质 5 福建文理 7 设圆锥曲线 I 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 I 上存在点 P 满足 1 PF 12 FF 2 PF 4 3 2 则曲线 I 的离心率等于 A 13 22 或 B 2 2 3 或C 1 2 2 或 D 23 32 或 解析 由 1 PF 12 FF 2 PF 4 3 2 可设 1 4PFk 12 3FFk 2 2PFk 若圆 锥曲线为椭圆 则 26ak 23ck 1 2 e 若圆锥曲线为双曲线 则22ak 23ck 3 2 e 故选 A 6 辽宁文理 3 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 3BFAF 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A 4 3 B 1 C 4 5 D 4 7 解析 设 A B 的横坐标分别是 m n 由抛物线定义 得AFBF3 m 1 4 n 1 4 m n 1 2 3 故 m n 5 2 5 24 mn 故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5 4 答案 C 7 课标卷理 7 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交 于 A B 两点 AB为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 3 10 解析 B 由题意知 AB为双曲线的通径 所以 ABa a b 4 2 2 2 2 2 a b 又31 2 2 a b e 故选 B 点评 本题考查双曲线标准方程和简单几何性质 通过通经与长轴的 4 倍的关系可以计算 出离心率的关键 2 2 a b 的值 从而的离心率 8 四川理 10 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 1 4x 2 2x 的两点 经过 两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆 22 5536xy 相切 则抛物线的顶点坐标是 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 答案 A 解析 横坐标为 x1 4 x2 2 的两点坐标分别是 4 11 4a 2 21a 经过这两点的 直线的斜率为 11 4 21 2 42 aa a 设直线方程为ykxb 则2ka 因为直线和圆相切 所以 2 36 5 1 b k 因为直线和抛物线相切 由 2 5 ykxb yxax 得 2 50 xak xb 所以 2 4 50akb 由 得6b 把6b 代入 得2k 即22a 0 4aa 故抛物线方程为 2 2 4529yxxx 顶点坐标为 2 9 9 山东理 8 已知双曲线 22 22 1 0b0 xy a ab 的两条渐近线均和圆 C 22 650 xyx 相切 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A 22 1 54 xy B 22 1 45 xy C 22 1 36 xy D 22 1 63 xy 11 解析 由圆 C 22 650 xyx 得 22 3 4xy 因为双曲线的右焦点为圆 C 的 圆心 3 0 所以 c 3 又双曲线的两条渐近线0bxay 均和圆 C 相切 所以 22 3 2 b ab 即 3 2 b c 又因为 c 3 所以 b 2 即 2 5a 所以该双曲线的方程为 22 1 54 xy 故选 A 10 全国理 10 已知抛物线 C 2 4yx 的焦点为 F 直线24yx 与 C 交于 A B 两 点 则cosAFB A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 答案 D 解析 2 4 1 0 yxF 得 准线方程为1x 由 2 4 1 2 4 4 24 yx AB yx 得 则 22 1212 3 5ABxxyy 由抛物线的定义得2 5AFBF 由余弦定理得 222 52 3 5 4 cos 2 5 55 AFB 故选 D 11 浙江理 8 已知椭圆 22 1 22 1 xy C ab a b 0 与双曲线 2 2 2 1 4 y Cx 有公共的 焦点 2 C的一条渐近线与 1 C 2 C的长度为直径的圆相交于 A B两点 若 1 C恰好将线段 AB三等分 则 Com A 2 13 2 a B 2 13a C 2 1 2 b D 2 2b 解析 由 1 c恰好将线段 AB 三等分得 1 3 3 A A x xx x 由 22 2 5 5 A yx xa xy 52 5 1515 xa ya 22 22 22 52 5 52 5 1515 111 1515 a a a aab ab 在椭圆上 12 又 222 1 5 2 abb 故选 C 12 湖北理 4 将两个顶点在抛物线 2 2 0 ypx p 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正 三角形个数记为 n 则 A 0n B 1n C 2n D 3n 解析 设满足条件的正三角形的三顶点为 A B F 0 2 P 依题意可知 A B 必关于 x 轴对称 故设 2 0 0 2 y Ay P 0 0 y 则 2 0 0 2 y By P 则 0 2ABy 故由抛物线定义可得 2 0 22 yP AF P 则由 ABAF 解得 22 00 40yPyP 由判别式计算得 0 故有两 个正三角形 可知选 C 13 江西理 9 若曲线 1 C 22 20 xyx 与曲线 2 C 0y ymxm 有四个不同 的交点 则实数 m 的取值范围是 A 3 3 3 3 B 3 3 0 0 3 3 c 3 3 3 3 D 3 3 3 3 解析 因为直线 y 0 与曲线 1 C有两个不同的交点 要使曲线 1 C和曲线 2 C有四个不同的 交点 只须直线0ymxm 与曲线 1 C 22 20 xyx 有两个不同的交点即可 而曲 线 1 C是一个圆 所以圆心 1 0 到直线0ymxm 的距离为 2 2 1 1 m m 解得 33 33 m 且0m 故选 B 二 填空题 1 辽宁理 13 已知点 2 3 在双曲线 C 1 b y a x 2 2 2 2 a 0 b 0 上 C 的焦距为 4 则它的离心率为 答案 2 解析 由题意得 24 2cc 22 49 1 ab 22 4ab 解得 a 1 故离心率为 2 13 2 课标卷理 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F在 x轴上 离心率为 2 2 过l的直线 交于 A B两点 且 2 ABFA的周长为 16 那么C的方 程为 1 816 22 yx 解析 由椭圆的的定义知 4 164 aaC 又因为离心率 22 2 2 c a c 8 222 cab因此 所求椭圆方程为 1 816 22 yx 点评 本题考查椭圆的定义 标准方程以及简单的几何性质 要注意把握 3 四川理 14 双曲线 22 xy 1P4 6436 上一点到双曲线右焦点的距离是 那么点P 到 左准线的距离是 解析 由双曲线第一定义 PF1 PF2 16 因 PF2 4 故 PF1 20 PF1 12 舍去 设 P 到左准线的距离是 d 由第二定义 得 2010 8d 解得16d 4 全国理 15 已知F1 F2分别为双曲线C 2 9 x 2 27 y 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 解析 12 6 0 6 0 FF 由角平分线的性质得 11 22 8 2 4 AFFM AFMF 又 12 2 36AFAF 2 6AF 5 浙江理 17 设 12 F F分别为椭圆 2 2 1 3 x y 的焦点 点 A B在椭圆上 若 12 5F AF B 则点A的坐标是 解析 设 1122 A x yB xy 则 12 2 3AFAF 由 12 5F AF B 得 12 5AFBF 14 则 22 52 3BFAF 由椭圆第二定义得 2221 2323 3232 BFxAFx 于是 2 5 23 32 x 1 23 32 x 2 3 即 21 56 2xx 由 12 5F AF B 得 1122 2 5 2 xyxy 即 21 56 2xx 联立 解得 1 0 x 则 1 1y 故点 A的坐标是 0 1 6 江西理 14 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy的切 线 切点分别 为 A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 答案 22 1 54 xy 解析 因为一条切线为 x 1 且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 所以椭圆的右 焦点为 1 0 即1c 设点 P 1 1 2 连结 OP 则 OP AB 因为 1 2 OP k 所以2 AB k 又因为直线 AB 过点 1 0 所以直线 AB 的方程为220 xy 因为点 0 b在直线 AB 上 所 以 2b 又因为1c 所以 2 5a 故椭圆方程是 22 1 54 xy 三 解答题 1 陕西理 17 本小题满分 12 分 如图 设P是圆珠笔 22 25xy 上的动点 点 D 是P在x轴上的投影 M 为PD 上一点 且 4 5 MDPD 当P的在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的长度 解析 设 M 的坐标为 x y P P的坐标为 pp xy 由已知得 5 4 p p xx yy P在圆上 22 5 25 4 xy 即 C 的方程为 22 1 2516 xy 15 N M P A x y B C 18 第题图 过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与 C 的交点为 22 A x y B xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入 C 的方程 得 22 3 1 2525 xx 即 2 380 xx 12 341341 22 xx 线段 AB 的长度为 222 121212 16 1 25 ABxxyyxx 4141 41 255 注 求 AB 长度时 利用韦达定理或弦长公式求得正确结果 同样给分 2 江苏 1818 本小题满分 本小题满分 1616 分 如图 在平面直角坐标系分 如图 在平面直角坐标系xOy中 中 M M N N 分别是椭圆分别是椭圆 1 24 22 yx 的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于 P P A A 两点 其中两点 其中 P P 在第一象限 过在第一象限 过 P P 作作 x x 轴的垂线 垂足为轴的垂线 垂足为 C C 连接 连接 ACAC 并延长交椭圆于点 并延长交椭圆于点 B B 设直线 设直线 PAPA 的斜率为的斜率为 k k 当直线当直线 PAPA 平分线段平分线段 MNMN 时 求时 求 k k 的值 的值 当当 k 2k 2 时 求点时 求点 P P 到直线到直线 ABAB 的距离的距离 d d 3 3 对任意 对任意 k 0k 0 求证 求证 PA PBPA PB 解析 1 2 两题主要考察直线的斜率及其方程 点到直线距离 公式 解方程组 是容易题 3 是考察学生灵活运用共线问题 点在曲线上 直线斜率 两条直线位置关系的判断 运算能力 是难题 M 2 0 N 0 2 M N 的中点坐标为 1 2 2 所以 2 2 k 由 22 2 24 yx xy 得 2 424 3 333 PA 2 0 3 C AC 方程 2 3 422 333 x y 即 2 3 yx 16 所以点 P 到直线 AB 的距离 242 2 2333 32 d 3 法一 由题意设 0000110 0 P xyAxyB x yC x 则 A C B 三点共线 0101 10010 2 yyyy xxxxx 又因为点 P B 在椭圆上 2222 0011 1 1 4242 xyxy 两式相减得 01 01 2 PB xx k yy 0011001 0011001 1 2 PAPB yxxyyxx k k xyyxxyy PAPB 法二 设 112200111 A BN x y P C 0 A x yB xyxyx 中点则 A C B 三点共线 2211 21211 2 AB yyyy k xxxxx 又因为点 A B 在椭圆上 2222 2211 1 1 4242 xyxy 两式相减得 0 0 1 2 AB y xk 01 01 1 21 2 ONPAAB AB y y kkk x xk ONPBPAPB A 3 四川理 21 本小题共 l2 分 椭圆有两顶点 A 1 0 B 1 0 过其焦点 F 0 1 的直线 l 与椭圆交于 C D 两点 并与 x 轴交于点 P 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q 当 CD 3 2 2 时 求直线 l 的方程 当点 P 异于 A B 两点时 求证 OP OQ 为定 值 解析 本小题主要考查直线 椭圆的标准方程及基本性 质等基本知识 考查平面解析几何的思想方法及推理运 算能力 因椭圆的焦点在 y 轴上 设椭圆的标准方程为 22 22 1 0 yx ab ab 由已知得1b 1c 所以 2 2a 则椭圆方程为 2 2 1 2 y x 直线l垂直于x轴时与题意不符 设直线 17 l的方程为1ykx 联立 2 2 1 2 1 y x ykx 得 22 2 210kxkx 设 11 C x y 22 D xy 则 222 44 2 8 1 0kkk 12 2 2 2 k xx k 12 2 1 2 x x k 2 22 1212 2 2 2 1 1 4 2 k CDkxxxx k 由已知得 2 2 2 2 1 3 2 22 k k 解得 2k 所以直线l的方程为21yx 或21yx 6 分 直线l垂直于x轴时与题意不符 设直线l的方程为1ykx 0k 且1k 所 以 P 点的坐标为 1 0 k 设 11 C x y 22 D xy 由 知 12 2 2 2 k xx k 12 2 1 2 x x k 直线 AC 的方程为 1 1 1 1 y yx x 直线 BD 的方程为 2 2 1 1 y yx x 方法一 联立方程 1 1 2 2 1 1 1 1 y yx x y yx x 设 00 Q xy 解得 12 212112 0 12 2112 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y x yxyxy x x y x yxy x yx 不妨设 12 xx 则 2112 0 2112 1 1 1 1 1 1 1 1 kxxkxx x kxxkxx 121221 1212 2 2 kx xxxk xx k xxxx 2 222 22 22 8 1 22 222 8 1 2 2 22 kkkk kkk kk kk 2 2 422 1 2 2 1 4 kkk k k 因此 Q 点的坐标为 0 k y 又 1 0 P k 18 1 01OP OQk k 故OP OQ 为定值 12 分 方法二 联立方程 1 1 2 2 1 1 1 1 y yx x y yx x 消去y得 21 12 1 1 1 1 yxx xy x 因为 12 1 1xx 所以 1 1 x x 与 2 1 y y 异号 2222 2212112 2222 121212 1 22 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 yxxxxxx xyxxxxx 22 22 21 1 22 21 1 22 k kk k kk 2 1 1 k k 又 2 121212 2 2 1 1 1 2 kk y yk x xk xx k 2 2 2 1 1 21 kk kk 1 1 k k 与 12 y y 异号 1 1 x x 与 1 1 k k 同号 1 1 x x 1 1 k k 解得xk 因此 Q 点的坐标为 0 k y 又 1 0 P k 1 01OP OQk k 故OP OQ 为定 值 12 分 4 广东理 1919 设圆设圆 C C 与两圆与两圆 2222 54 54xyxy 中中的一个内切 另一的一个内切 另一 个外切个外切 求求 C C 的圆心轨迹的圆心轨迹 L L 的方程的方程 已知点已知点 3 5 4 5 5 55 MF 0 且且 P P 为为 L L 上动点 求上动点 求MPFP 的最大值及此时点的最大值及此时点 P P 的坐标的坐标 解析解析 设设 2222 12 5454 5 0 xyFxyF 的圆心为 5 0 的圆心为 设圆设圆 C C 与圆与圆 1 F内切 与圆内切 与圆 2 F外切 由题得外切 由题得4 2 2 12 2 1 CFCF RCF RCF 设圆设圆 C C 与圆与圆 1 F外切 与圆外切 与圆 2 F内切 由题得内切 由题得4 2 2 21 2 1 CFCF RCF RCF 所以所以4 21 CFCF 由双曲线的定义知点 由双曲线的定义知点 C C 在以点在以点 21 F F为焦点的双曲线上 为焦点的双曲线上 19 设双曲线的方程为设双曲线的方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 222 24 5 a c cab 2 2 2 1 14 a x CLy b 的圆心的轨迹的方程为 2 2 4 05 5 2 0 5 22 5 3 55 5 146 5522 5 155 5 22 1 5 5 4 155 62 5 5 55 p MFyxyxMF MFN NMFPNMPFP xxyx x x y yy P 直线的方程为即数形结合观察得连接 并延长交双曲线于点在外的线段上 此时当点和点重合时 最大 联立得方程组解之得舍去 或 当时 2 MPFPMF 最大 5 山东理 22 本小题满分 14 分 已知动直线l与椭圆 C 22 1 32 xy 交于 11 y xP 22 y xQ两不同点 且OPQ 的面积 OPQ S 6 2 其中O为坐标原点 证明 22 12 xx 和 22 12 yy 均为定值 设线段PQ的中点为M 求 OMPQ 的最大值 椭圆C上是否存在点GED 使得 6 2 ODEODGOEG SSS 若存在 判断 DEG 的形状 若不存在 请说明理由 解析 当直线的斜率不存在时 设直线 lmx 由 1 23 22 yx mx 得 0623 22 my 首先 03062340 22 mm 且0 21 yy 3 62 2 21 m yy 则 3 62 44 2 21 2 2121 m yyyyyyPQ 20 由 2 6 OPQ S得 2 6 2 1 mPQ 则6 3 62 4 2 m m 整理得 09124 24 mm 即 032 2 2 m 解得 2 3 2 m 满足 则有32 2 2 2 2 1 mxx 2 3 6 2 3 2 22 21 2 21 2 2 2 1 yyyyyy 所以3 2 2 2 1 xx 2 2 2 2 1 yy 当直线的斜率存在时 设直线 lmkxy 由 1 23 22 yx mkxy 得 0632 2 2 mkxx 即 063632 222 mkmxxk 首先 02306332436 222222 mkmkmk 且 2 21 32 6 k km xx 2 2 21 32 63 k m xx 原点O到直线l的距离为 2 1k m 由 2 6 OPQ S得 2 6 1 2 1 2 k m PQ 可得 2 16kmPQ 又 21 2 21 2 41xxxxkPQ 所以 64 21 2 21 mxxxx 所以 64 2 21 2 21 mxxxx即6 32 63 4 32 6 2 2 2 2 2 m k m k km 整理得 0323244 2 2224 kmkm 解得 22 232mk 所以 3 2 63 2 2 6 32 63 2 32 6 2 2 2 2 22 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 m m m km k m k km xxxxxx 222 2 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 mxxkmxxkmkxmkxyy 所以 3 2 2 2 1 xx 2 2 2 2 1 yy综上 3 2 2 2 1 xx 2 2 2 2 1 yy 有 得 当直线斜率不存在时 易求6 PQOM 21 当直线斜率存在时 由 知 22 21 3 32 6 m km k km xx 2 2 2 2 21 2 63 32 63 m m k m xx 所以 22 22 2121 232 2 2 3 2mk m m m m km kmxxkyy 所以线段PQ的中点为M的坐标为 2 2 2121 yyxx 即 22 2 2 2 3 m m m km 所以 4 22 2 2