期权定价二项式模型

二项期权定价模型二项期权定价模型 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向 且假设在整 个考察期内 股价每次向上 或向下 波动的概率和幅度不变 模型将考察的存 续期分为若干阶段 根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可 能的发展路径 并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算 出的权证价格 对于美式权证 由于可以提前行权 每一节点上权证的理论价 格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者 二项式期权定价模型概述二项式期权定价模型概述 1973 年 布莱克和休尔斯 Blackand Scholes 提出了布莱克 休尔斯期权 定价公式 对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价 随后 罗斯开始 研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论 1976 年 罗斯和约 翰 考科斯 John Cox 在 金融经济学杂志 上发表论文 基于另类随机过程 的期权定价 提出了风险中性定价理论 1979 年 罗斯 考科斯和马克 鲁宾斯坦 Mark Rubinstein 在 金融经 济学杂志 上发表论文 期权定价 一种简单的方法 该文提出了一种简单 的对离散时间的期权的定价方法 被称为 Cox Ross Rubinstein 二项式期权定 价模型 二项式期权定价模型和布莱克 休尔斯期权定价模型 是两种相互补充的方 法 二项式期权定价模型推导比较简单 更适合说明期权定价的基本概念 二 项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上 即在给定的时间间隔内 证券 的价格运动有两个可能的方向 上涨或者下跌 虽然这一假设非常简单 但由 于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位 因而二项式期权定价模型 适用于处理更为复杂的期权 随着要考虑的价格变动数目的增加 二项式期权定价模型的分布函数就越 来越趋向于正态分布 二项式期权定价模型和布莱克 休尔斯期权定价模型相一 致 二项式期权定价模型的优点 是简化了期权定价的计算并增加了直观性 因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一 一般来说 二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只 有两个 即上升或下降 BOPM 的定价依据是在期权在第一次买进时 能建立起 一个零风险套头交易 或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值 该证 券组合在没有套利机会时应等于买权的价 格 反之 如果存在套利机会 投资 者则可以买两种产品种价格便宜者 卖出价格较高者 从而获得无风险收益 当然这种套利机会只会在极短的时间里存在 这一 证券组合的主要功能是给出 了买权的定价方法 与期货不同的是 期货的套头交易一旦建立就不用改变 而期权的套头交易则需不断调整 直至期权到期 模型推导过程及案例模型推导过程及案例 二项式过程如下 S 20 q 1 q uS 24 dS 13 4 S 20 股票期初价格 q 0 5 股票上涨的概率 无风险收益率0 1 f r u 1 2 股票价格上涨幅度 11 f ur d 0 67 股票价格下跌幅度 01 1 f dr 欧式看涨期权期初和期末的价格 C q 1 q max 0 3 u CuSK max 0 0 d CdSK 为计算该欧式看涨期权期初期初的价格价格 构造无风险套期保值组合构造无风险套期保值组合 以价格 S 买 1 份股票 同时卖出 m 份以该股票为标的物的看涨期权 m 为 套期保值率 如果这个套期保值组合在每种状态下的支付相等 则这个组合为无风险的 S mc q 1 q u uSmc d dSmc 套期保值证券组合的到期支付 让支付相等 得到 1 ud uSmcdSmc 从上式可以解得看涨期权的份数 2 ud S ud m cc 把例子中的数字代入 得到 20 1 20 67 3 53 30 m 也就是 为了得到无风险证券组合 需要卖出 3 53 份看涨期权 不确定状态证券组合期末支付 好状态 u uSmc 1 2 20 3 53 3 13 40 坏状态 d dSmc 0 67 20 3 53 0 13 40 因为套期保值证券组合是无风险的 因此 它的期末支付应该等于期初价 格乘以 即1 f r 3 1 fu SmcruSmc 由上式解得期权的期初价格 4 1 1 fu f Srumc c mr 把套期保值比率 m 代入 可得到 5 11 1 ff ud f rdur cc udud c r 令 则 1 f rd p ud 1 1 f ur p ud 所以有 6 1 1 ud f pcp c c r 这里定义的 p 总是大于 0 小于 1 具有概率的性质 称之为套期保值概率套期保值概率 可以理解为 p 是当市场达到均衡时 风险中性者所认为的 q 值 即股票价格 上涨的概率 作为风险中性者 投资者仅需要投在风险股票上的回报率为无风险收益率 所以有 7 1 1 f rSquSq dS 得到 8 1 f ur q ud 继续前面的例子 利用得到的期权公式 6 带入数据得 1 1 ud f pcp c c r 1 1 0 671 2 1 1 30 1 20 671 20 67 1 1 2 2126 在期初的证券组合是买一份股票 卖 3 53 份看涨期权 其成本为 203 53 2 212612 19Smc 投资回报率为 13 40 1 11 12 19 f r 在上述求得看涨期权价格的过程中 有两点至关重要 一是无风险套期保 值组合的构建 二是无风险套期保值组合的收益率等于无风险收益率 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣的特征 1 该公式不依赖于股票价格上涨的概率 q 这使得 即使投资者对 q 的预 期不一致 只要他们对别的参数的估计一致 包括 u d S K 和 他们就 f r 会有一样的定价公式 原因在于 我们不是在绝对意义上给期权定价 而是以 标的股票价格计算期权的价格 而上涨和下跌的概率已经包含在股票的定价中 这就是说 我们依据股价给期权定价时 不必再一次考虑这些概率 2 该公式的获得不依赖于个体投资者的风险偏好 所需要的假设仅仅是无 套利 3 该公式依赖的唯一随机变量是标的股票 两期二项式期权定价两期二项式期权定价 S 20 q 1 q uS 24 dS 13 4 2 q q 1 q 2 1 q q 1 q 2 28 8u S 16 08udS 2 8 98d S 股票价格的变化 c q 1 q u c d c 2 q q 1 q 2 1 q q 1 q 2 max 0 uu cu SK max 0 uddu ccudSK 2 max 0 dd cd SK 欧式看涨期权的支付 利用单期期权定价公式 6 式得到一期末的价值 1 1 uuud u f pcp c c r 9 1 1 dudd d f pcp c c r 10 再次利用 6 式得到期初的期权价格 22 2 1 1 1 1 uuuddudd f p cpp cP pcpc c r 11 看涨期权定价的完全二项式模型 看涨期权定价的完全二项式模型 期末的一般支付形式为 0 max 0 nT n u dSK 12 T 为总的时间区间数 n 是股票价格上涨的次数 每个支付的概率的一般 形式为二项式分布 13 1 nT n T B n T ppp n Tn 看涨期权定价的完全二项式公式为 14 0 0 1 max 0 1 T nT nnT n n T f T ppu dSK n Tn c r 为了更好的观察 14 式 将 14 求和中为零的项去掉 以 a 表示支付 为正的最小正整数 即 15 0 min0 nT n an u dSk 14 可以变形为 0 0 1 1 T nT nnT n n T f T ppu dSK n Tn c r 16 分成两部分 0 0 1 1 nT n T nT n T n