山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

用心 爱心 专心1 山东山东 1717 市市 20112011 年中考数学试题分类解析汇编专题年中考数学试题分类解析汇编专题 1212 押轴题 押轴题 解答题解答题 1 1 日照 日照 1010 分 分 如图 抛物线与双曲线相交于点 2 0yaxbx a k y x A B 已知点 B 的坐标为 2 2 点 A 在第一象限内 且 tan AOX 4 过点 A 作直线 AC 轴 交抛物线于另一点 C x 1 求双曲线和抛物线的解析式 2 计算 ABC 的面积 3 在抛物线上是否存在点 D 使 ABD 的面积等于 ABC 的面积 若存在 请你写出点 D 的坐标 若不存在 请你说明理由 答案答案 解 1 把点 B 2 2 的坐标代入得 4 k y x 2 2 k k 双曲线的解析式为 4 y x 设 A 点的坐标为 m n A 点在双曲线上 mn 4 又 tan AOX 4 4 即 m 4n m n n2 1 n 1 A 点在第一象限 n 1 m 4 A 点的坐标为 1 4 把 A B 点的坐标代入得 解得 1 3 2 yaxbx 4 422 ab ab ab 抛物线的解析式为 2 3yxx 2 AC 轴 点 C 的纵坐标 y 4 x 代入得方程 解得 1 4 2 1 舍去 2 3yxx 2 340 xx xx C 点的坐标为 4 4 且 AC 5 又 ABC 的高为 6 ABC 的面积 5 6 15 1 2 3 存在 D 点使 ABD 的面积等于 ABC 的面积 理由如下 过点 C 作 CD AB 交抛物线于另一点 D 此时 ABD 的面积等于 ABC 的面积 同底 AB 等高 CD 和 AB 的距离 用心 爱心 专心2 直线 AB 相应的一次函数是 且 CD AB 22yx 可设直线 CD 解析式为 2yxp 把 C 点的坐标 4 4 代入可得 12p 直线 CD 相应的一次函数是 212yx 解方程组 解得 2 3 212 yxx yx 3 18 x y 点 D 的坐标为 3 18 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 解二元方程 组和一元一次方程 待定系数法 锐角三角函数 平行的性质 同底等 高三角形的性质 分析分析 1 根据已知条件可以推出 A 点的坐标 把 A B 两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式 即可得出 的值 即可确定双曲线和抛物线的解析式 abk 2 根据 A B 抛物线解析式 可以确定 C 点的坐标 即可求 AC 和 AC 边上的高的长度 即可计 算出 ABC 的面积 3 根据题意 要使 ABD 的面积等于 ABC 面积 只要它们同底等高 由于它们都有同一底 AB 故根据平行的性质 只要作 CD AB CD 与抛物线的交点 D 即为所求 根据 A B 两点坐标求出直线 AB 相应的一次函数结合 C 点的坐标 得出直线 CD 相应的一次函数 然后结合 D 点也在抛物线上 解方程 组 求得 D 点坐标即可 2 2 滨州 滨州 1212 分 分 如图 某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分 抛物线的顶点 O 落在 水平面上 对称轴是水平线 OC 点 A B 在抛物线造型上 且点 A 到水平面的距离 AC 4 米 点 B 到水平 面距离为 2 米 OC 8 米 1 请建立适当的直角坐标系 求抛物线的函数解析式 2 为了安全美观 现需在水平线 OC 上找一点 P 用质地 规格已确 定的圆形钢管制作两根支柱 PA PB 对抛物线造型进行支撑加固 那么怎 样才能找到两根支柱用料最省 支柱与地面 造型对接方式的用料多少问题暂不考虑 时的点 P 无需 证明 用心 爱心 专心3 3 为了施工方便 现需计算出点 O P 之间的距离 那么两根支柱用料最省时点 O P 之间的距离是多 少 请写出求解过程 答案答案 解 1 以点 O 为原点 射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 设抛物线的函数解析式为 2 yax 由题意知点 A 的坐标为 4 8 点 A 在抛物线上 解得 2 84a 1 2 a 所求抛物线的函数解析式为 2 1 2 yx 2 找法 延长 AC 交建筑物造型所在抛物线于点 D 则点 A D 关于 OC 对称 连接 BD 交 OC 于点 P 则点 P 即为所求 3 由题意知点 B 的横坐标为 2 点 B 在抛物线上 点 B 的坐标为 2 2 又 点 A 的坐标为 4 8 点 D 的坐标为 4 8 设直线 BD 的函数解析式为 则有 解得 y kxb 25 48 kb kb 1 4 k b 直线 BD 的函数解析式为 4yx 把 0 代入 得点 P 的坐标为 0 4 x 4yx 两根支柱用料最省时 点 O P 之间的距离是 4 米 考点考点 二次函数的应用 点的坐标与方程的关系 三角形两边之和大于第三边 待定系数法 分析分析 1 以点 O 为原点 射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 可设抛物线的函数解析式为 又由点 A 在抛物线上 即可求得此抛物线的函数解析式 2 yax 2 延长 AC 交建筑物造型所在抛物线于点 D 连接 BD 交 OC 于点 P 则点 P 即为所求 因为对 于 OC 上其它任何一点 它与点 D B 所连线段之和都大于 BD 所以 BD DF FB 最短 由于 DF AF 从 而得到 AF BF 最短 3 首先根据题意求得点 B 与 D 的坐标 设直线 BD 的函数解析式为 利用待定系数法 y kxb 即可求得直线 BD 的函数解析式 把 0 代入 即可求得点 P 的坐标 x 4yx 用心 爱心 专心4 3 3 德州 德州 1212 分 分 在直角坐标系中 已知点 P 是反比例函数 0 图象上一个动点 以 Pxoy 2 3 y x x 为圆心的圆始终与轴相切 设切点为 A y 1 如图 1 P 运动到与轴相切 设切点为 K 试判断四边形 OKPA 的形状 并说明理由 x 2 如图 2 P 运动到与轴相交 设交点为 B C 当四边形 ABCP 是菱形时 x 求出点 A B C 的坐标 在过 A B C 三点的抛物线上是否存在点 M 使 MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 若存在 试求出 1 2 所有满足条件的 M 点的坐标 若不存在 试说明理由 答案答案 解 1 四边形 OKPA 是正方形 理由如下 P 分别与两坐标轴相切 PA OA PK OK PAO OKP 90 又 AOK 90 PAO OKP AOK 90 四边形 OKPA 是矩形 又 OA OK 四边形 OKPA 是正方形 2 连接 PB 设点 P 的横坐标为 则其纵坐标为x 2 3 x 过点 P 作 PG BC 于 G 四边形 ABCP 为菱形 BC PA PB PC PBC 为等边三角形 在 Rt PBG 中 PBG 60 PB PA PG x 2 3 x sin PBG 即解之得 2 负值舍去 PG PB 2 3 3 2 x x x 用心 爱心 专心5 PG PA BC 2 3 易知四边形 OGPA 是矩形 PA OG 2 BG CG 1 OB OG BG 1 OC OG GC 3 A 0 B 1 0 C 3 0 3 设二次函数解析式为 据题意得 2 yaxbxc 0 90 3 abc abc c 解之得 34 3 3 33 abc 二次函数关系式为 2 34 3 3 33 yxx 设直线 BP 的解析式为 据题意得 ykxb 0 23 kb kb 解之得 3 3kb 直线 BP 的解析式为 33yx 过点 A 作直线 AM PB 则可得直线 AM 的解析式为 33yx 解方程组 得 2 33 34 3 3 33 yx yxx 12 12 0 7 38 3 xx yy 过点 C 作直线 CM PB 则可得直线 CM 的解析式为 33 3yx 解方程组 得 2 33 3 34 3 3 33 yx yxx 2 1 1 2 4 3 0 3 x x y y 综上可知 满足条件的 M 的坐标有四个 0 7 8 3 0 4 333 考点考点 二次函数综合题 正方形的判定 菱形的性质 锐角三角函数 选待定系数法 点的坐标与方 程的关系 平行的性质 分析分析 1 四边形 OKPA 是正方形 当 P 分别与两坐标轴相切时 PA y 轴 PK x 轴 x 轴 y 轴 且 PA PK 可判断结论 用心 爱心 专心6 2 连接 PB 设点 P 过点 P 作 PG BC 于 G 则半径 PB PC 由菱形的性质得x 2 3 x PC BC 可知 PBC 为等边三角形 在 Rt PBG 中 PBG 60 PB PA PG 利用 sin PBG x 2 3 x 列方程求即可 PG PB x 求直线 PB 的解析式 利用过 A 点或 C 点且平行于 PB 的直线解析式与抛物线解析式联立 列 方程组求满足条件的 M 点坐标即可 4 4 烟台 烟台 1414 分 分 如图 在直角坐标系中 梯形 ABCD 的底边 AB 在轴上 底边 CD 的端点 D 在 y 轴上 直x 线 CB 的表达式为 y x 点 A D 的坐标分别为 4 0 0 4 动点 P 自 A 点出发 在 AB 上 4 3 16 3 匀速运行 动点 Q 自点 B 出发 在折线 BCD 上匀速运行 速度均为每秒 1 个单位 当其中一个动点到达终 点时 它们同时停止运动 设点 P 运动 t 秒 时 OPQ 的面积为 s 不能构成 OPQ 的动点除外 1 求出点 B C 的坐标 2 求 s 随 t 变化的函数关系式 3 当 t 为何值时 s 有最大值 并求出最大值 答案答案 解 1 把 4 代入 得 1 yy 4 3 x 16 3 x C 点的坐标为 1 4 当 0 时 0 x 4 y 4 3 x 16 3 点 B 坐标为 4 0 2 作 CM AB 于 M 则 CM 4 BM 3 BC 5 22 CMBM 22 34 sin ABC CM BC 4 5 当 0 t 4 时 作 QN OB 于 N 用心 爱心 专心7 则 QN BQ sin ABC t 4 5 S OP QN 4 t t 1 2 1 2 4 5 t2 t 0 t 4 2 5 8 5 当 4 t 5 时 如备用图 1 连接 QO QP 作 QN OB 于 N 同理可得 QN t 4 5 S OP QN t 4 t 1 2 1 2 4 5 t2 t 4 t 5 2 5 8 5 当 5 t 6 时 如备用图 2 连接 QO QP S OP OD t 4 4 1 2 1 2 2t 8 5 t 6 综上所述 s 随 t 变化的函数关系式为 S 2 2 28 tt0t4 55 28 tt4t5 85 2t85t6 3 在 0 t 4 时 对于抛物线 S t2 t 0 有最大值 2 5 8 5 2 5 当 t 2 时 S最大 8 5 2 2 5 2 8 5 2 4 5 8 5 在 4 t 5 时 对于抛物线 S t2 t 2 5 8 5 当 t 2 时 S最小 22 2 8 5 2 2 5 2 5 8 5 8 5 抛物线 S t2 t 的顶点为 2 2 5 8 5 8 5 在 4 t 5 时 S 随 t 的增大而增大 用心 爱心 专心8 当 t 5 时 S最大 52 5 2 2 5 8 5 在 5 t 6 时 对于直线 S 2t 8 2 0 S 随 t 的增大而增大 当 t 6 时 S最大 2 6 8 4 综上所述 当 t 6 时 S 取得最大值 最大值是 4 考点考点 一 二次函数的综合应用 曲线上点的坐标与方程的关系 勾股定理 锐角三角函数 一 二 次函数的性质 分析分析 1 点 B C 的横 纵坐标分别已知 将其代入直线 CB 的表达式 可求出点 B Cy 4 3 x 16 3 的坐标 2 根据三角形面积公式列函数关系式 注意需分三种情况讨论 3 按 2 中的三种情况 结合所列函数的性质分别求出最大值 最后加以综合 得出结论 5 5 东营 东营 1212 分 分 如图所示 四边形 OABC 是矩形 点 A C 的坐标分别为 0 1 点 D 是线段3 0 BC 上的动点 与端点 B C 不重含 过点 D 作直线交折线 OAB 于点 E 1 2 yxb 1 记 ODE 的面积为 S 求 S 与 b 的函数关系式 2 当点 E 在线段 OA 上时 且 tan DEO 若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 1 2 试探究四边形与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化 若不交 求出该重叠 1111 O A B C 1111 O A B C 部分妁面积 若改变 请说明理由 答案答案 解 1 由题意得 B 3 1 若直线经过点 A 3 0 时 则 3 2 b 若直线经过点 B 3 1 时 则 5 2 b 用心 爱心 专心9 若直线经过点 C 0 1 时 则 1b 若直线与折线 OAB 的交点 E 在 OA 边上时 即 3 1 2 b 如图 1 此时 E 0 2b 11 SOE CO21 22 bb 若直线与折线 OAB 的交点 E 在 BA 边上时 即 35 22 b 如图 2 此时 E 3 D 1 3 2 b 21b ABCOOCDDBEOAE 2 SSSSS 115135 322 1523 222222 bbbbbb A S 与 b 的函数关系式为 2 3 1 2 535 222 b b S bb b 2 如图 3 设 O1A1与 CB 相交于点 M OA 与 C1B1相交于点 N 则矩形与矩形 OABC 重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积 1111 O A B C 由题意 知 DM NE DM ME 四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知 MED NED 又 MDE NED MED MDE MD ME 四边形 DNEM 为菱形 过点 D 作 DH OA 垂足为 H 由题意知 1 tanDEH DH1HE2 2 设菱形的边长为 则在 Rt DHN 中 由勾股定理知 a 2 22 5 21 4 aaa S菱形 DNEM NE DH 1 5 4 5 4 则矩形与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化 面积始终为 1111 O A B C 5 4 考点考点 一次函数的综合应用 列函数关系式 菱形的判定和性质 勾股定理 分析分析 1 分直线与折线 OAB 的交点 E 在 OA 和 BA 边上两种情况讨论即可 用心 爱心 专心10 2 从图知 四边形与矩形 OABC 的重叠部分的面积等于四边形 DNEM 的面积 故只要 1111 O A B C 证出四边形 DNEM 是菱形 即易求出四边形与矩形 OABC 的重叠部分的面积 1111 O A B C 6 6 菏泽 菏泽 9 9 分 分 如图 抛物线与轴交于 A B 两点 与轴交于 C 点 且 A 1 0 2 1 2 2 yxbx xy 1 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 判断 ABC 的形状 证明你的结论 3 点 M m 0 是轴上的一个动点 当 MC MD 的值最小时 求 m 的值 x 答案答案 解 1 把点 A 1 0 的坐标代入抛物线的解析式 2 1 2 2 yxbx 解得 3 2 b 抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx 顶点 D 2 1325 228 yx 3 25 28 2 ABC 是直角三角形 理由如下 AB 5 AC2 OA2 OC2 5 BC2 OC2 OB2 20 AC2 BC2 AB2 ABC 是直角三角形 3 作出点 C 关于轴的对称点 C 则 C 0 2 x OC 2 连接 C D 交轴于点 M 根据轴对称性及两点之间线段最短x 可知 此时 MC MD 的值最小 设抛物线的对称轴交轴于点 E 则 C OM DEM x 即 OMOC EMED 2 325 28 m m 24 41 m 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 点的坐标与方程的关系 直角三角形的判定和性质 勾股定理 和逆定理 轴对称性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 把 A 点的坐标代入抛物线解析式 求 b 得值 即可得到抛物线的解析式 根据顶点坐标公 式或用配方法即可求出顶点坐标 2 根据直角三角形的性质 勾股定理 推出 AC2 OA2 OC2 5 BC2 OC2 OB2 20 即 E 用心 爱心 专心11 AC2 BC2 25 AB2 根据勾股定理的逆定理 即可确定 ABC 是直角三角形 3 作出点 C 关于轴的对称点 C 则 C 0 2 OC 2 连接 C D 交 x 轴于点 M 根据轴x 对称性及两点之间线段最短可知 MC MD 的值最小 首先确定最小值 然后根据三角形相似的有关性质定 理 求 m 的值 7 7 济南 济南 9 9 分 分 如图 点 C 为线段 AB 上任意一点 不与点 A B 重合 分别以 AC BC 为一腰在 AB 的 同侧作等腰 ACD 和 BCE CA CD CB CE ACD 与 BCE 都是锐角 且 ACD BCE 连接 AE 交 CD 于点 M 连接 BD 交 CE 于点 N AE 与 BD 交于点 P 连接 CP 1 求证 ACE DCB 2 请你判断 ACM 与 DPM 的形状有何关系并说明理由 3 求证 APC BPC 答案答案 解 1 证 ACD BCE ACE DCB 又 CA CD CE CB ACE DCB ASA 2 ACM DPM 理由如下 ACE DCB CAE CDB 即 CAM PDM 又 CMA PMD ACM DPM 3 证 CAE CDB 点 A C P D 四点共圆 APC ADC 同理 BPC BEC 又 等腰 ACD 和 BCE CA CD CB CE ACD BCE ADC BEC APC BPC 考点考点 等腰三角形和性质 全等三角形的判定和性质 对顶角的性质 相似三角形的判定和性质 四 点共圆的判定 同弦所对圆周角的关系 分析分析 1 由已知条件和等量变换 用全等三角形 ASA 的判定定理 直接进行证明 2 由 1 可得 ACM 和 DPM 的一组对应角 CAM 和 PDM 相等 同时由对顶角相等的性质可直 接进行证明 用心 爱心 专心12 3 由 1 可得 CAE CDB 从而点 A C P D 四点共圆 由同弦所对圆周角相等的关系可得 APC ADC 而 ADC 是已知等腰 ACD 的底角 它与已知的另一等腰 BCE 的底角是相等的 因此考 虑同样的理由证明 BPC BEC 从而得到证明 8 8 潍坊 潍坊 1212 分 分 如图 抛物线的顶点为 M 抛物线交轴于 A B 两点 交 3 3 3 yxmxm m x 轴正半轴于 D 点 以 AB 为直径作圆 圆心为 C 定点 E 的坐标为 3 0 连接 ED y0m 1 写出 A B D 三点的坐标 2 当为何值时 M 点在直线 ED 上 此时直线 ED 与圆的位置关系是怎样的 m 3 当变化时 用表示 AED 的面积 S 并在给出的直角坐标系中画出 S 关于的示意图 mmm 答案答案 解 1 A 0 B 3 0 D 0 mm3m 2 设直线 ED 的解析式为 将 E 3 0 D 0 代入得 ykxb 3m 解得 直线 ED 的解析式为 30 3 kb bm 3 3 3 k bm 3 3 3 yxm 将化为顶点式 3 3 3 yxmxm m 234 3 33 yxmm m 顶点 M 的坐标为 代入得 2 4 3 3 mm 3 3 3 yxm mm 0 1 mm 当 1 时 M 点在直线 DE 上 m 连接 CD C 为 AB 中点 此时 C 点坐标为 1 0 D 点坐标为 0 3 用心 爱心 专心13 OD OC 1 CD 3 2 2 312 又 OE 3 DE2 OD2 OE2 2 2 3312 又 EC2 16 CD2 4 CD2 DE2 EC2 FDC 90 由 CD 2 知 D 点在圆上 直线 ED 与 C 相切 3 当 0 m 3 时 S AED AE OD 1 2 2 333 3 3 222 mmmm 当 m 3 时 S AED AE OD 1 2 2 333 3 3 222 m mmm S 关于的示意图如下 m 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 待定系数法 解二元一次和一元二次方程 组 勾股定理和逆定理 直线和圆相切的判定 分析分析 1 根据轴 轴上点的坐标特征代入 即分别令 0 和 0 即可求出 A B D 三点的坐标 xyyx 2 待定系数法先求出直线 ED 的解析式 再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系 3 分当 0 3 时 当 3 时两种情况讨论求得关于的函数 mmm 9 9 济宁 济宁 1010 分 分 如图 第一象限内半径为 2 的 C 与轴相切于点 A y 作直径 AD 过点 D 作 C 的切线 l 交轴于点 B P 为直线 l 上一动点 x 已知直线 PA 的解析式为 k 3 yx 1 设点 P 的纵坐标为 p 写出 p 随 k 变化的函数关系式 2 设 C 与 PA 交于点 M 与 AB 交于点 N 则不论动点 P 处于直线 l 上 用心 爱心 专心14 除点 B 以外 的什么位置时 都有 AMN ABP 请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予 证明 3 是否存在使 AMN 的面积等于的 k 值 若存在 请求出符合的 k 值 若不存在 请说明理由 32 25 答案答案 解 1 y 轴和直线 l 都是 C 的切线 OA AD BD AD 又 OA OB AOB OAD ADB 90 四边形 OADB 是矩形 C 的半径为 2 AD OB 4 点 P 在直线 l 上 点 P 的坐标为 4 p 又 点 P 也在直线 AP 上 p 4k 3 2 连接 DN AD 是 C 的直径 AND 90 AND 90 DAN ABD 90 DAN AND ABD 又 ADN AMN ABD AMN MAN BAP AMN ABP 3 存在 理由如下 把 0 代入 k 3 得 y 3 即 OA BD 3 xyx AB 2222 ADBD435 S ABD AB DN AD DB DN 1 2 1 2 AD DB AB 4 312 55 AN2 AD2 DN2 22 12256 4 525 AMN ABP 即 2AMN ABP SAN APS 2 2 ABP AMNABP 2 ANAN S APAP S S 当点 P 在 B 点上方时 AP2 AD2 PD2 AD2 PB BD 2 42 4k 3 3 2 16 k2 1 或 AP2 AD2 PD2 AD2 BD PB 2 42 3 4k 3 2 16 k2 1 S ABP PB AD 4k 3 4 2 4k 3 1 2 1 2 2 ABP AMN 222 AN2562 43 32 43 32 S AP25 16 1 25 1 25 Skk kk 整理得 k2 4k 2 0 解得 k1 2 k2 2 66 用心 爱心 专心15 当点 P 在 B 点下方时 AP2 AD2 PD2 42 3 4k 3 2 16 k2 1 S ABP PB AD 4k 3 4 2 4k 3 1 2 1 2 2 ABP AMN 22 AN2562 43 32 S AP25 16 1 25 Sk k 整理得 k2 1 4k 3 解得 k 2 综合以上所得 当 k 2 或 k 2 时 AMN 的面积等于 6 32 25 考点考点 矩形的判定和性质 点的坐标与方程的关系 同弧所对圆周角的性质 直径所对圆周角的性质 互余的性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理 三角形面积公式 分析分析 1 由点 P 在直线 AP 上 则点 P 的坐标满足 k 3 从而将 P 的坐标代入 即可求得 p 随 kyx 变化的函数关系式 2 要证 AMN ABP 由于 MAN 和 BAP 是公共角 所以只要证 ABD AMN 即可 而它可 由同弧所对圆周角相等 直径所对圆周角是直角和互余等级的性质 得到证明 3 根据 2 的结论 由相似三角形 AMN 和 ABP 的面积比 分点 P 在 B 点上下方两种情况 求解即可 1010 泰安 泰安 1010 分 分 已知 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 是 AB 的中点 点 E 是 AB 边上一点 1 直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F 交 CD 于点 G 如图 1 求证 AE CG 2 直线 AH 垂直于直线 CE 垂足为点 H 交 CD 的延长线于点 M 如图 2 找出图中与 BE 相等的线段 并证明 答案答案 解 1 证明 点 D 是 AB 中点 AC BC ACB 90 CD AB ACD BCD 45 CAD CBD 45 CAE BCG 又 BF CE CBG BCF 90 用心 爱心 专心16 又 ACE BCF 90 ACE CBG AEC CGB ASA AE CG 2 BE CM 证明如下 CH HM CD ED CMA MCH 90 BEC MCH 90 CMA BEC 又 AC BC ACM CBE 45 BCE CAM AAS BE CM 考点考点 全等三角形的判定和性质 等腰直角三角形的性质 等量代换 分析分析 1 首先根据点 D 是 AB 中点 ACB 90 可得出 ACD BCD 45 判断出 AEC CGB 即可得出 AE CG 2 根据垂直的定义得出 CMA MCH 90 BEC MCH 90 再根据 AC BC ACM CBE 45 得出 BCE CAM 从而证明出 BE CM 11 11 莱芜 莱芜 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系中 己知点 A 2 4 OB 2 抛物线经过 A O B 三点 2 yaxbxc 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 M 是抛物线对称轴上的一点 试求 MO MA 的最小值 3 在此抛物线上 是否存在一点 P 使得以点 P 与点 O A B 为 顶点的四边形是梯形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理 由 答案答案 解 1 由 OB 2 可知 B 2 0 将 A 2 4 B 2 0 O 0 0 三点坐标代入抛物线表达式 2 yaxbxc 得 解得 抛物线的函数表达式为 424 420 0 abc abc c 1 2 1 0 a b c 2 1 2 yxx 2 由可得 2 2 111 1 222 yxxx 抛物线的对称轴为直线 1 x 且对称轴 1 是线段 OB 的垂直平分线 x 连结 AB 交直线 1 于点 M 即为所求 x MO MB 则 MO MA MA MB AB 用心 爱心 专心17 作 AC 轴 垂足为 C 则 AC 4 BC 4 AB x4 2 MO MA 的最小值为 4 2 3 若 OB AP 此时点 A 与点 P 关于直线 1 对称 x 由 A 2 4 得 P 4 4 则得梯形 OAPB 若 OA BP 设直线 OA 的表达式为 ykx 由 A 2 4 得 2yx 设直线 BP 的表达式为 由 B 2 0 得 即2yxm 04m 4m 直线 BP 的表达式为 24yx 由解得 不合题意 舍去 2 24 1 2 yx yxx 12 4 2xx 当 点 P 4 12 则得梯形 OAPB 4 12xy 若 AB OP 设直线 AB 的表达式为 由 A 2 4 B 2 0 得ykxn 解得 直线 AB 的表达式为 24 20 kn kn 1 2 k n 2yx 直线 OP 的表达式为 yx 由解得 不合题意 舍去 此时点 P 不存在 2 1 2 yx yxx 2 0 0 xx 即 综上所述 存在两点 P 4 4 或 P 4 12 使得以点 P 与点 O A B 为顶点的四边 形是梯形 考点考点 二次函数的应用 点的坐标与方程的关系 解方程组 线段垂直平分线的性质 三角形的性质 待定系数法 梯形的判定 分析分析 1 根据点在抛物线上 点的坐标满足方程的关系 由点 A B O 在抛物线上 代入后得方程 组 解之即可求得 用心 爱心 专心18 2 要求 MO MA 的最小值 根据线段垂直平分线到线段两端距离相等的性质和三角形两边之和 大于第三边的性质 AB 与直线 1 的交点 M 即为所求 x 3 分 OB AP OA BP 和 AB OP 三种情况讨论即可求得 12 12 聊城 聊城 1212 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 8cm 点 E F G 分别 从点 A B C 同时出发 沿矩形的边按逆时针方向移动 点 E G 的速度均为 2cm s 点 F 的速度为 4cm s 当点 F 追上点 G 即点 F 与点 G 重合 时 三个点随之停止移 动 设移动开始后第 ts 时 EFG 的面积为 Scm2 1 当 1s 时 S 的值是多少 t 2 写出 S 与 之间的函数解析式 并指出自变量 的取值范围 tt 3 若点 F 在矩形的边 BC 上移动 当 为何值时 以点 B E F 为顶点的三角形与以 C F G 为顶t 点的三角形相似 请说明理由 答案答案 解 1 如图 1 当秒时 AE 2 EB 10 BF 4 FC 4 CG 21t 由 EBFFCGEBCG 111 SSSS EBCG BCEB BFFC CG 222 梯形 2 111 102 81044224 222 cm 2 如图 1 当时 点 E F G 分别在边 AB BC CD02t 上移动 此时AE2BE122BF4FC84CG2ttttt EBFFCGEBCG 111 SSSS8 1222 4 122 2 84 222 F tttttt 梯形 2 83248tt 即 2 S83248tt 02t 如图 2 当点 F 追上点 G 时 解得 428tt 4t 当时 点 E 在边 AB 上移动 点 F G 都在边 CD 上移动 24t 此时 CF CG FG CG CF 48t 2t2 48 82ttt 11 SFG BC 82 8832 22 tt 即 832St 24t 3 如图 1 当点 F 在矩形的边 BC 上移动时 02t 在 EBF 和 FCG 中 B C 90 用心 爱心 专心19 若 即 解得 EBBF FCCG 1224 842 tt tt 2 3 t 又满足 所以当时 EBF FCG 2 3 t 02t 2 3 t 若 即 解得 EBBF CGCF 1224 284 tt tt 3 2 t 又满足 所以当时 EBF GCF 3 2 t 02t 3 2 t 综上所述 当或时 以点 E B F 为顶点的三角形与以 F C G 为顶点的三角形相似 2 3 t 3 2 t 考点考点 动点问题 列二次函数关系式 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 用梯形 EBCG 的面积减去三角形 EBF 和 FCG 的面积即可 2 要求 S 与 t 之间的函数解析式 即要知道点 E F G 的运动位置 由题意知 当时 02t E F G 分别在 AB BC CD 上运动 当时 E F G 分别在 AB CD CD 上运动 当24t 4t 时 点 F 追上点 G 三点停止移动 因此根据和两种情况分别列出 EFG 面积的表达式 02t 24t 即 S 与 t 之间的函数解析式 3 点 F 在矩形的边 BC 上移动 以点 B E F 为顶点的三角形与以 C F G 为顶点的三 角形相似时 考虑和两种情况 即 EBF FCG 和 EBF GCF 即可 求出此时 EBBF FCCG EBBF CGCF 的值 t 13 13 临沂 临沂 1313 分 分 如图 已知抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 顶点为 C 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 在抛物线上 点 E 在抛物线的对称轴上 且 A O D E 为顶点 的四边形是平行四边形 求点 D 的坐标 3 P 是抛物线上的第一象限内的动点 过点 P 作 PMx 轴 垂足为 M 是否 存在点 P 使得以 P M A 为顶点的三角形 BOC 相似 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理 由 答案答案 解 1 设抛物线的解析式为 2 0yaxbxc a 用心 爱心 专心20 抛物线过 A 2 0 B 3 3 O 0 0 可得 解得 42 0 93 3 0 abc abc c 1 2 0 a b c 抛物线的解析式为 2 2yxx 2 当 AE 为边时 A O D E 为顶点的四边形是平行四边形 DE AO 2 则 D 在轴下方不可能 D 在轴上方且 DE 2 则 D1 1 3 D2 3 3 xx 当 AO 为对角线时 则 DE 与 AO 互相平分 点 E 在对称轴上 且线段 AO 的中点横坐标为 1 由对称性知 符合条件的点 D 只有一个 与点 C 重合 即 C 1 1 故符合条件的点 D 有三个 分别是 D1 1 3 D2 3 3 C 1 1 3 存在 如图 B 3 3 C 1 1 根据勾股定理得 BO2 18 CO2 2 BC2 20 BO2 CO2 BC2 BOC 是直角三角形 假设存在点 P 使以 P M A 为顶点的 三角形与 BOC 相似 设 P 由题意知 0 0 且 xyxy 2 2yxx 若 AMP BOC 则 AMPM BOCO 即 2 3 2 2 得 1 2 2 舍去 xxxx 1 3 x 当 时 即 P x 1 3 y 7 9 1 3 7 9 若 PMA BOC 则 BOPM COBO 即 2 2 3 2 得 1 3 2 2 舍去 xxxxx 当 3 时 15 即 P 3 15 xy 故符合条件的点 P 有两个 分别是 P 或 3 15 1 3 7 9 考点考点 二次函数综合题 点的坐标与方程的关系 解多元方程组 平行四边形的判定和性质 勾股定 理 相似三角形的判定和性质 解一元二次方程 分析分析 1 由于抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 待定系数法即可求出抛物线的解析式 用心 爱心 专心21 2 根据平行四边形的性质 对边平行且相等以及对角线互相平方 可以求出点 D 的坐标 3 根据相似三角形对应边的比相等可以求出点 P 的坐标 14 14 青岛 青岛 1212 分 分 如图 在 ABC 中 AB AC 10cm BD AC 于点 D 且 BD 8cm 点 M 从点 A 出发 沿 AC 的方向匀速运动 速度为 2cm s 同时直线 PQ 由点 B 出发 沿 BA 的方向匀速运动 速度为 1cm s 运动 过程中始终保持 PQ AC 直线 PQ 交 AB 于点 P 交 BC 于点 Q 交 BD 于点 F 连接 PM 设运动时间为 ts 0 5 t 1 当 t 为何值时 四边形 PQCM 是平行四边形 2 设四边形 PQCM 的面积为 ycm2 求 y 与 t 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 t 使 S四边形 PQCM S ABC 若存在 求出 的 9 16 t 值 若不存在 说明理由 4 连接 PC 是否存在某一时刻 使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 若存在 求出此时 的值 若tt 不存在 说明理由 答案答案 解 1 假设四边形 PQCM 是平行四边形 则 PM QC AP AM 10 2 2 解得 tt 10 3 t 当时 四边形 PQCM 是平行四边形 10 3 t 2 过 P 作 PE AC 交 AC 于 E PQ AC PBQ ABC PBQ 是等腰三角形 PQ PB t BFBPBF4 BF BDBA8105 t t 即 FD BD BF 8 4 5 t 又 MC AC AN 10 2 t 2 1142 PQMCFD1028840 2255 yttttt 与 之间的函数关系式为 yt 2 2 840 5 ytt 3 S ABC 11 AC BD10 840 22 用心 爱心 专心22 当时 即 9945 40 16162 ABC yS 2 245 840 52 tt 2 480175 0tt 解得 舍去 12 535 22 tt 当时 S四边形 PQCM S ABC 5 2 ts 9 16 4 假设存在某一时刻 使点 M 在线段 PC 的垂直平分线t 上 则 MP MC 过 M 作 MH AB 交 AB 于 H 则 AHM ADB 又 HMAHAM BDADAB 22 AD1086 HMAH286 HM AH 861055 t tt 611 HP1010 55 ttt 在 Rt HMP 中 22 22 81137 MP1044100 555 tttt 又 由得 2 22 MC102100404ttt 22 MCMP 解得 舍去 22 37 44100 100404 5 tttt 12 20 0 17 tt 当时 点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 20 17 t 考点考点 动点问题 平行四边形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 等腰三角形的判定和性质 线段垂直平分线的判定和性质 勾股定理 解一元二次方程 分析分析 1 假设四边形 PQCM 是平行四边形 从而推出结论 2 把梯形的上下底和高用 来表示 即可求出与 之间的函数关系式 tyt 3 求出使 S四边形 PQCM S ABC的 即可 9 16 t 4 假设点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 求出此时 的值 t 15 15 威海 威海 1212 分 分 如图 抛物线交轴于点 A 3 0 点 B 1 0 交轴于点 2 y axbxc xy E 0 3 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点 点 F 是线段 BC 的中点 直线 过点 F 且与轴平行 直线ly 用心 爱心 专心23 yxm 过点 C 交轴于 D 点 y 求抛物线的函数表达式 点 K 为线段 AB 上一动点 过点 K 作轴x 的垂线与直线 CD 交于点 H 与抛物线交于点 G 求 线段 HG 长度的最大值 在直线 上取点 M 在抛物线上取点 N 使l 以点 A C M N 为顶点的四边形是平行四边形 求点 N 的坐标 答案答案 解 1 抛物线交轴于点 A 3 0 点 B 1 0 x 设抛物线的函数表达式为 31y a xx 又 抛物线交轴于点 E 0 3 将 0 3 代入上式 得 y 1a 抛物线的函数表达式为 即 31yxx 2 23y xx 2 点 C 是点 A 3 0 关于点 B 1 0 的对称点 点 C 的坐标为 5 0 将 5 0 代入 得 yxm 5m 直线 CD 的函数表达式为 5yx 设点 K 的坐标为 0 t 则点 H 的坐标为 5 点 G 的坐标为 2 2 3 ttttt 点 K 为线段 AB 上的一动点 3 1 t HG 5 2 2 3 2 3 8 2 tttttt 3 2 41 4 又 3 1 当 时 线段 HG 长度有最大值 3 2 t 3 2 41 4 3 点 F 是线段 BC 的中点 点 B 1 0 点 C 5 0 点 F 的坐标为 3 0 直线 过点 F 且与轴平行 直线 的函数表达式为 lyl3x 点 M 在直线 上 点 N 在抛物线上 l 设点 M N 的坐标分别为 3 m 2 23nnn 点 A 3 0 点 C 5 0 AC 8 分情况讨论 ABC D H E F G K Ox y l 图图 ABC D H E F G K Ox y l 备用图备用图 用心 爱心 专心24 若线段 AC 是以 A C M N 为顶点的平行四边形的边 则须 MN AC 且 MN AC 8 当点 N 在点 M 的左侧时 MN 3 3 8 解得 5 N 的坐标为 5 12 nnn 当点 N 在点 M 的右侧时 MN 3 3 8 解得 11 N 的坐标为 11 140 nnn 若线段 AC 是以 A C M N 为顶点的平行四边形的对角线 由点 C 是点 A 关于点 B 的对称点知 点 M 与点 N 关于点 B 中心对称 取点 F 关于点 B 的对称点 P 则 P 点的坐标为 1 0 过 P 点作 PN 轴 交抛物线于点 N x 将 1 代入 得 x 2 23y xx 4y 过点 N B 作直线 NB 交直线 于点 M l 在 BPN 和 BFM 中 NBP MBF BF BP BPN BFM 900 BPN BFM ASA NB MB 四边形 ANCM 是平行四边形 坐标为 1 4 的点 N 符合条件 综上所述 当点 N 的坐标为 5 12 11 140 1 4 时 以点 A C M N 为 顶点的四边形是平行四边形 考点考点 点的坐标与方程的关