2018年高考数学全国1卷第12题出处及变式

1 1 2018 全国 1 卷理科第 12 题 对正方体结构的认知和运用 截面面积计算 1 2018 全国 1 卷理科第 12 题 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的 角都相等 则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 解析 注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱 则只需与共顶点的三条棱所成角相等即 可 注意到正方体的结构 则平面应为图 1 中所示 所以只需由图中平面平移即可 最大面积截面如图 2 所示 故本题正确答案为 A 变式 1 1994 全国联赛填空题第 5 题 已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 则 sin 解析 如上图 1 顶点到平面 ABC 的距离为体对角线的 1 则 sin 3 3 a 3 3 a3 变式 2 2004 湖南数学竞赛第 8 题 过正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 的截面面 积为 S 则 Smax 的值为 Smin 362 32 6 A B C D 2233 解析 如图 因为正方体对面平行 所以截面 BED1 F 为平行四边形 则 1 S 2S BED 2 2 BD1 h 此时 E 到 BD1 的最小值为 CC1 与 BD1 的距离 即当 E 为中点 时 h 2 a a 为正方体棱长 S 2 1 3a 2 a 6 a 2 又因为 S为 min 2 min 222 max 四边形 BC1 D1 F 的面积 选 C 变式 3 2005 全国高中数学联赛第 4 题 在正方体 ABCD A B C D 中 任作平面 与 对角线 AC 垂直 使得 与每个面都有公共点 记这样得到的截面多边形的面积为 S 周 长为 l 则 A S 为定值 l 不为定值B S 不为定值 l 为定值 C S 与 l 均为定值 D S 与 l 均不为定值 解析 选 B 将正方体切去两个正三棱锥 A A BD 与 C D B C 后 得到一个以平行平 面 A BD 与 D B C 为上 下底面的几何体 V V 的每个侧面都是等腰直角三角形 截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行 将 V 的侧面沿棱 A B 剪开 展平在一张平面 上 得到一个平行四边形 A B B1 A1 如图 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A A1 平行的线段 如图中 E E1 显然 E E1 A A 故 l 为定值 当 E 位于 A B 中点时 多边形 W 为正六边形 而当 E 移至 A 处时 W 为正三角形 易知周长为 定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 3 l 2 与 24 3 l 2 故 S 不为定值 36 变式 4 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 AB AD 4 AA1 2 过点 A1 作平面 与 1 1 1 1 11 1 0 AB AD 分别交于 M N 两点 若 AA 与平面 所成角为 450 则截面面积的最小值 为 解析 过 A 作 MN 的垂线 垂足为T 第一步 寻找T 的轨迹 T 的轨迹是平面 ABCD 内 以 A 为圆心 2 为半径的圆 法一 直观感知 作出线面角并证明 连接 A1T 因为 AA1 MN 所以 MN 平面 AA1T 过 A 作 A1T 的垂线 垂足为 Q 易证 AQ 平面 A1 MN 所以 AA1T 45 则 AT 2 法二 运动变化的观点探求轨迹问题 作一个以 AA 为轴 母线与对称轴所成角为 450 的 圆锥 过任意一条母线作圆锥的切面 A1 MN 与平面 ABCD 的交线为 MN 则 AT 2 第二步 求最值 法一 注意运动中的不变性 因为 A1T 2 2 为定值 且 A1T MN 则要求截面面积 的 最 小 值 只 需 求 MN的 最 小 值 AT 2 MT NT 4 所 以 MN MT TN 2 MT NT MT TN 4 则 S A1MN 1 4 2 2 2 4 2 等号成立当且仅当 法二 利用二面角实现面积的转化 切面 A MN 与平面 ABCD 所成角为 450 由射影面 积法知 cos 450 S AMN S A MN 所以 S A 1MN 2S AMN 2 1 MN AT 2 1 2MN 4 2 1 法三 等体积法实现面积的转化 由V A AMN V A A MN 得S AMN 3 AA1 3 S A 1MN d 因为线面角为 450 所以 d AA sin 450 所以 S A 1MN 2S AMN 同上 法四 类比勾股定理 设切点 T x0 y0 则切线 MN 方程为 x0 x y0 y 4 则求得 4 4 M 0 M 0 类比直角三角的勾股定理 猜想截面的平方等于三角直角面的平方 x0 y0 64 16 16 64 16 x 2 y 2 128 和 从而把截面面积的平方化为 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 00 x 2 y 2 x 2 y 2 0 0000 00 00 0 22 因为 x0 y0 4 2 x0 y0 即 0 x0 y0 2 128 所以面积平方的最小值为 32 面积是最小为 4 2 4 变式 5 已知正四面体 ABCD 的棱长为 2 6 四个顶点都在球心为 O 的球面上 P 为棱 BC 的中点 过点 P 作求 O 的截面 则截面面积的最小值为 解析 当截面与 PO 垂直时面积最小 设截面半径为OA2 OP 2 PA 6 答案为 6 变式 6 棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 E 为棱 AD 的中点 过 B1 点 且与平面 A1 BE 平行的正方体截面的面积为 A 5B 2 5C 2 6D 6 分析 对正方体结构和截面的认知 根据平行作图 得到一个菱形 对角线分别为面对角 线和体对角线 选 C 变式 7 在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体 如果任意转动该正方体 液面的形状都不可能是三角形 那么液体体积的取值范围是 解析 如图 正 方体 ABCD EFGH 此时若要使液面不为三角形 则液面必须高于平面 EHD 且低于平面 AFC 可以求出液体取值范围为 1 5 6 6 点评 在运动变化中 空间想象能力得到了很好的考查 拓展 1 点 M 为正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的内切球 O 球面上的动点 点 N 为 B1C1 上一点 2 NB1 NC1 DM BN 若球 O 的体积为 9 2 则动