2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷解析版）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析 版 版 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室 号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置上 将条形 码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和 涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 高 考 资 源 网 参考公式 锥体的体积公式 1 3 vSh 其中s是锥体的底面积 h是锥体的高 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分分 每小题给出得四个选项中 只每小题给出得四个选项中 只 有一项十符合题目要求得有一项十符合题目要求得 1 已知全集 U R 则正确表示集合 M 1 0 1 和 N x x 2 x 0 关系的韦恩 Venn 图是 答案 B 解析 由 N x x 2 x 0 1 0 得NM 选 B 2 下列 n 的取值中 使 n i 1 i 是虚数单位 的是 A n 2 B n 3 C n 4 D n 5 答案 C 2 解析 因为 4 1i 故选 C 3 已知平面向量a a 1x b b 2 x x 则向量 ab A 平行于x轴 B 平行于第一 三象限的角平分线 C 平行于y轴 D 平行于第二 四象限的角平分线 答案 解析 ab 2 0 1 x 由 2 10 x 及向量的性质可知 C 正确 4 若函数 yf x 是函数1 x yaaa 0 且 的反函数 且 2 1f 则 f x A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 答案 A 解析 函数1 x yaaa 0 且 的反函数是 logaf xx 又 2 1f 即log 21 a 所以 2a 故 2 logf xx 选 A 5 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 因为等比数列 n a的公比 为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 6 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 3 解析 错 正确 错 正确 故选 D 7 已知ABC 中 CBA 的对边分别为a b c 若a c 26 且75A o 则 b A 2 B 4 2 3 C 4 2 3 D 62 答案 A 解析 0000000 26 sinsin75sin 3045 sin30 cos45sin45 cos30 4 A 由a c 26 可知 0 75C 所以 0 30B 1 sin 2 B 由正弦定理得 261 sin2 sin226 4 a bB A 故选 A 8 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 答案 D 解析 3 3 2 xxx fxxexexe 令 0fx 解得2x 故选 D 9 函数1 4 cos2 2 xy是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 答案 A 解析 因为 2 2cos 1cos 2sin2 42 yxxx 为奇函数 2 2 T 所以 选 A 10 广州 2010 年亚运会火炬传递在 A B C D E 五个城市之间进行 各城市之间的路线 距离 单位 百公里 见下表 若以 A 为起点 E 为终点 每个城市经过且只经过一次 那 么火炬传递的最短路线距离是 A 20 6 B 21 C 22 D 23 4 答案 B 解析 由题意知 所有可能路线有 6 种 ABCDE ABDCE ACBDE ACDBE ADBCE ADCBE 其中 路线 ACBDE 的距离最短 最短路线距离等于496221 故选 B 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 11 13 题 11 某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示 队员 i 123456 三分球个数 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图 则图中判断框应 填 输出的 s 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 图 1 5 答案 6i 126 aaa 解析 顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图 所图中 判断框应填6i 输出的 s 126 aaa 12 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2 现要从中抽取 40 名职工作样本 用系统抽 样法 将全体职工随机按 1 200 编号 并按编号顺序平均分为 40 组 1 5 号 6 10 号 196 200 号 若第 5 组抽出的号码为 22 则第 8 组抽出的号码应是 若用分 层抽样方法 则 40 岁以下年龄段应抽取 人 图 2 答案 37 20 解析 由分组可知 抽号的间隔为 5 又因为第 5 组抽出的号码为 22 所以第 6 组抽出的 号码为 27 第 7 组抽出的号码为 32 第 8 组抽出的号码为 37 40 岁以下年龄段的职工数为200 0 5100 则应抽取的人数为 40 10020 200 人 13 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 答案 22 25 2 1 2 xy 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程 为 22 25 2 1 2 xy 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 若直线 1 2 23 xt yt t 为参数 与直线41xky 垂直 则常数k 答案 6 解析 将 1 2 23 xt yt 化为普通方程为 37 22 yx 斜率 1 3 2 k 6 当0k 时 直线41xky 的斜率 2 4 k k 由 12 34 1 2 k k k 得6k 当0k 时 直线 37 22 yx 与直线41x 不垂直 综上可知 6k 15 几何证明选讲选做题 如图 3 点 A B C 是圆 O 上的点 且 AB 4 30ACB o 则 圆 O 的面积等于 图 3 答案 16 解析 连结 AO OB 因为 30ACB o 所以 60AOB o AOB 为等边三角形 故圆 O 的半径4rOAAB 圆 O 的面积 2 16Sr 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 2 0 1 求 sin和 cos的值 2 若 cos53 cos 5 0 2 求 cos的值 解析 ab v v Q sin2cos0a b v vg 即sin2cos 又 2 sincos1 22 4coscos1 即 2 1 cos 5 2 4 sin 5 又 2 5 0 sin 25 5 cos 5 2 5cos 5 coscossinsin 5cos2 5sin 3 5cos cossin 222 cossin1 cos 即 2 1 cos 2 7 又 0 2 2 cos 2 17 本小题满分 13 分 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH 下 半部分是长方体 ABCD EFGH 图 5 图 6 分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 3 证明 直线 BD 平面 PEG 解析 1 侧视图同正视图 如下图所示 该安全标识墩的体积为 P EFGHABCD EFGH VVV 22 1 40604020320003200064000 3 2 cm 如图 连结 EG HF 及 BD EG 与 HF 相交于 O 连结 PO 由正四棱锥的性质可知 PO 平面 EFGH POHF 又EGHF HF 平面 PEG 8 又BDHFP BD 平面 PEG 18 本小题满分 13 分 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图 如图 7 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率 解析 1 由茎叶图可知 甲班身高集中于160179 之间 而乙班身高集中于 170180 之间 因此乙班平均身高高于甲班 2 158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 170 10 x 甲班的样本方差为 2222 2 1 158 170 162 170163 170168 170168 170 10 22222 170 170171 170179 170179 170182 170 57 3 设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有 181 173 181 176 181 178 181 179 179 173 179 176 179 178 178 173 9 178 176 176 173 共 10 个基本事件 而事件 A 含有 4 个基本事件 42 105 P A 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆 G 上一点到 1 F和 2 F的距离之和为 12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为 点 k A 1 求椭圆 G 的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆 G 请说明理由 解析 1 设椭圆 G 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆 G 的方程为 22 1 369 xy 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由 22 60120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 由 22 6 0120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 不论 K 为何值圆 k C都不能包围椭圆 G 20 本小题满分 14 分 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前 n 项和为cnf 数列 n b 0 n b的首项为 c 且前 n 项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S n 2 10 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前 n 项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数 n 是多少 解析 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 满足 1000 200