证明圆的切线经典例题

1 证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有 一 若直线一 若直线 l 过过 O 上某一点上某一点 A 证明 证明 l 是是 O 的切线 只需连的切线 只需连 OA 证明 证明 OA l 就行了 简称就行了 简称 连半径 证垂直连半径 证垂直 难点在于如何证明两线垂直 难点在于如何证明两线垂直 例例 1 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D 交 AC 于 E B 为切点的切线交 OD 延长线于 F 求证 EF 与 O 相切 证明 证明 连结 OE AD AB 是 O 的直径 AD BC 又 AB BC 3 4 BD DE 1 2 又 OB OE OF OF BOF EOF SAS OBF OEF BF 与 O 相切 OB BF OEF 900 EF 与 O 相切 说明 说明 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 2 例例 2 如图 AD 是 BAC 的平分线 P 为 BC 延长线上一点 且 PA PD 求证 PA 与 O 相切 证明一 证明一 作直径 AE 连结 EC AD 是 BAC 的平分线 DAB DAC PA PD 2 1 DAC 2 B DAB 1 B 又 B E 1 E AE 是 O 的直径 AC EC E EAC 900 1 EAC 900 即 OA PA PA 与 O 相切 证明二 证明二 延长 AD 交 O 于 E 连结 OA OE AD 是 BAC 的平分线 BE CE OE BC E BDE 900 OA OE E 1 PA PD PAD PDA 又 PDA BDE 3 1 PAD 900 即 OA PA PA 与 O 相切 说明 说明 此题是通过证明两角互余 证明垂直的 解题中要注意知识的综合运用 例例 3 如图 AB AC AB 是 O 的直径 O 交 BC 于 D DM AC 于 M 求证 DM 与 O 相切 证明一 证明一 连结 OD AB AC B C OB OD 1 B 1 C OD AC DM AC DM OD DM 与 O 相切 证明二 证明二 连结 OD AD AB 是 O 的直径 AD BC 又 AB AC 1 2 DM AC 2 4 900 OA OD 1 3 3 4 900 D C 4 即 OD DM DM 是 O 的切线 说明 说明 证明一是通过证平行来证明垂直的 证明二是通过证两角互余证明垂直的 解题中注意充分利用已知及图上已知 例例 4 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 C 在 O 上 且 CAB 300 BD OB D 在 AB 的延长线上 求证 DC 是 O 的切线 证明 证明 连结 OC BC OA OC A 1 300 BOC A 1 600 又 OC OB OBC 是等边三角形 OB BC OB BD OB BC BD OC CD DC 是 O 的切线 说明 说明 此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的 此题解法颇多 但这种方法 较好 例例 5 如图 AB 是 O 的直径 CD AB 且 OA2 OD OP 求证 PC 是 O 的切线 证明 证明 连结 OC OA2 OD OP OA OC OC2 OD OP D 5 OC OP OD OC 又 1 1 OCP ODC OCP ODC CD AB OCP 900 PC 是 O 的切线 说明 说明 此题是通过证三角形相似证明垂直的 例例 6 如图 ABCD 是正方形 G 是 BC 延长线上一点 AG 交 BD 于 E 交 CD 于 F 求证 CE 与 CFG 的外接圆相切 分析 分析 此题图上没有画出 CFG 的外接圆 但 CFG 是直角三角形 圆心在斜边 FG 的中点 为此我们取 FG 的中点 O 连结 OC 证明 CE OC 即可得解 证明 证明 取 FG 中点 O 连结 OC ABCD 是正方形 BC CD CFG 是 Rt O 是 FG 的中点 O 是 Rt CFG 的外心 OC OG 3 G AD BC G 4 AD CD DE DE ADE CDE 450 ADE CDE SAS 6 4 1 1 3 2 3 900 1 2 900 即 CE OC CE 与 CFG 的外接圆相切 二 若直线二 若直线 l 与与 O 没有已知的公共点 又要证明没有已知的公共点 又要证明 l 是是 O 的切线 只需作的切线 只需作 OA l A 为垂足 证明为垂足 证明 OA 是是 O 的半径就行了 简称 的半径就行了 简称 作垂直 证半径作垂直 证半径 例例 7 如图 AB AC D 为 BC 中点 D 与 AB 切于 E 点 求证 AC 与 D 相切 证明一 证明一 连结 DE 作 DF AC F 是垂足 AB 是 D 的切线 DE AB DF AC DEB DFC 900 AB AC B C 又 BD CD BDE CDF AAS DF DE F 在 D 上 AC 是 D 的切线 证明二 证明二 连结 DE AD 作 DF AC F 是垂足 AB 与 D 相切 DE AB AB AC BD CD 1 2 7 DE AB DF AC DE DF F 在 D 上 AC 与 D 相切 说明 说明 证明一是通过证明三角形全等证明 DF DE 的 证明二是利用角平分线的 性质证明 DF DE 的 这类习题多数与角平分线有关 例例 8 已知 如图 AC BD 与 O 切于 A B 且 AC BD 若 COD 900 求证 CD 是 O 的切线 证明一 证明一 连结 OA OB 作 OE CD E 为垂足 AC BD 与 O 相切 AC OA BD OB AC BD 1 2 3 4 1800 COD 900 2 3 900 1 4 900 4 5 900 1 5 Rt AOC Rt BDO OD OC OB AC OA OB OD OC OA AC 又 CAO COD 900 AOC ODC 1 2 又 OA AC OE CD O 8 OE OA E 点在 O 上 CD 是 O 的切线 证明二 证明二 连结 OA OB 作 OE CD 于 E 延长 DO 交 CA 延长线于 F AC BD 与 O 相切 AC OA BD OB AC BD F BDO 又 OA OB AOF BOD AAS OF OD COD 900 CF CD 1 2 又 OA AC OE CD OE OA E 点在 O 上 CD 是 O 的切线 证明三 证明三 连结 AO 并延长 作 OE CD 于 E 取 CD 中点 F 连结 OF AC 与 O 相切 AC AO AC BD AO BD BD 与 O 相切于 B AO 的延长线必经过点 B AB 是 O 的直径 AC BD OA OB CF DF 9 OF AC 1 COF COD 900 CF DF CFCDOF 2 1 2 COF 1 2