【2013年中考攻略】中考数学 专题9 几何三大变换之对称探讨

用心 爱心 专心1 2013 2013 年中考攻略年中考攻略 专题专题 9 9 几何三大变换之轴对称探讨 几何三大变换之轴对称探讨 轴对称 平移 旋转是平面几何的三大变换 由一个平面图形变为另一个平面图形 并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称 这样的图形改变叫做图形的轴对称变换 轴对称具有这样的重要性 质 1 成轴对称的两个图形全等 2 如果两个图形成轴对称 那么对称轴是对称点连线的垂直平 分线 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识 是中考数学的必考内容 结合 2012 年全国各地中考的实例 我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换 1 轴对称和轴 对称图形的识别和构造 2 线段 角的轴对称性 3 等腰 边 三角形的轴对称性 4 矩形 菱形 正方形的轴对称性 5 等腰梯形的轴对称性 6 圆的轴对称性 7 折叠的轴对称性 8 利用轴对称性求最值 9 平面解析几何中图形的轴对称性 一 轴对称和轴对称图形的识别和构造 一 轴对称和轴对称图形的识别和构造 典型例题 典型例题 例例 1 2012 重庆市重庆市 4 分 分 下列图形中 是轴对称图形的是 A B C D 答案答案 B 考点考点 轴对称图形 分析分析 根据轴对称图形的概念 轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合 因此 A 不是轴对称图形 故本选项错误 B 是轴对称图形 故本选项正确 C 不是轴对称图形 故本选项错误 D 不是轴对称图形 故本选项错误 故选 B 例例 2 2 20122012 广东湛江广东湛江 4 4 分 分 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中 是轴对称图形的是 A B C D 答案答案 A 考点考点 轴对称图形 用心 爱心 专心2 分析分析 根据轴对称图形的概念 轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合 因此 A 是轴对称图形 符合题意 B 不是轴对称图形 不符合题意 C 不是轴对称图形 不符合题意 D 不是轴对称图形 不符合题意 故选 A 例例 3 3 20122012 四川达州四川达州 3 3 分 分 下列几何图形中 对称性与其它图形不同的是 答案答案 A 考点考点 轴对称图形 中心对称图形 分析分析 根据轴对称及中心对称的定义 分别判断各选项 然后即可得出答案 A 是轴对称图形 不是中心对称图形 B 既是轴对称图形也是中心对称图形 C 既是轴对称图形也是中心对称图形 D 既是轴对称图形也是中心对称图形 故可得选项 A 与其他图形的对称性不同 故选 A 例例 4 4 20122012 广西柳州广西柳州 3 3 分 分 娜娜有一个问题请教你 下列图形中对称轴只有两条的是 答案答案 C 考点考点 轴对称图形 分析分析 根据轴对称图形的概念 分别判断出四个图形的对称轴的条数即可 A 圆有无数条对称轴 故本选项错误 B 等边三角形有 3 条对称轴 故本选项错误 C 矩形有 2 条对称轴 故本选项正确 D 等腰梯形有 1 条对称轴 故本选项错误 故选 C 例例 5 5 20122012 福建三明福建三明 8 8 分 分 如图 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 2 1 B 3 3 用心 爱心 专心3 C 1 3 画出 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1 并写出点 A1的坐标 4 分 画出 ABC 关于原点 O 对称的 A2B2C2 并写出点 A2的坐标 4 分 答案答案 解 如图所示 A1 2 1 如图所示 A2 2 1 考点考点 轴对称和中心对称作图 分析分析 根据轴对称和中心对称的性质作图 写出 A1 A2的坐标 例例 6 6 20122012 四川乐山四川乐山 9 9 分 分 如图 在 10 10 的正方形网格中 每个小正方形的边长都为 1 网格中有 一个格点 ABC 即三角形的顶点都在格点上 1 在图中作出 ABC 关于直线 l 对称的 A1B1C1 要求 A 与 A1 B 与 B1 C 与 C1相对应 2 在 1 问的结果下 连接 BB1 CC1 求四边形 BB1C1C 的面积 用心 爱心 专心4 答案答案 解 1 如图 A1B1C1 是 ABC 关于直线 l 的对称图形 2 由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形 BB1 4 CC1 2 高是 4 S四边形 BB1C1C 11 11 BB CC4 4 2 12 22 考点考点 作图 轴对称变换 分析分析 1 关于轴对称的两个图形 各对应点的连线被对称轴垂直平分 作 BM 直线 l 于点 M 并延 长到 B1 使 B1M BM 同法得到 A C 的对应点 A1 C1 连接相邻两点即可得到所求的图形 2 由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形 BB1 4 CC1 2 高是 4 根据梯形的面积公式进行计算 即可 例例 7 7 20122012 贵州安顺贵州安顺 4 4 分 分 在镜中看到的一串数字是 则这串数字是 答案答案 309087 考点考点 镜面对称 分析分析 拿一面镜子放在题目所给数字的对面 很容易从镜子里看到答案是 309087 例例 8 8 20122012 福建宁德福建宁德 4 4 分 分 将一张正方形纸片按图 图 所示的方式依次对折后 再沿图 中的虚 线 裁剪 最后将图 中的纸片打开铺平 所得到的图案是 A B C D 用心 爱心 专心5 答案答案 B 考点考点 剪纸问题 分析分析 根据题中所给剪纸方法 进行动手操作 答案就会很直观地呈现 展开得到的图形如选项 B 中 所 示 故选 B 例例 9 9 20122012 福建龙岩福建龙岩 1212 分 分 如图 1 过 ABC 的顶点 A 作高 AD 将点 A 折叠到点 D 如图 2 这时 EF 为折痕 且 BED 和 CFD 都是等腰三角形 再将 BED 和 CFD 沿它们各自的对称轴 EH FG 折叠 使 B C 两点都与点 D 重合 得到一个矩形 EFGH 如图 3 我们称矩形 EFGH 为 ABC 的边 BC 上的折合矩 形 1 若 ABC 的面积为 6 则折合矩形 EFGH 的面积为 2 如图 4 已知 ABC 在图 4 中画出 ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 3 如果 ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形 且 BC 2a 那么 BC 边上的高 AD 正方形 EFGH 的对角线长为 答案答案 解 1 3 2 作出的折合矩形 EFGH 3 2a 2a 考点考点 新定义 折叠问题 矩形和正方形的性质 勾股定理 分析分析 1 由折叠对称的性质 知折合矩形 EFGH 的面积为 ABC 的面积的一半 2 按题意 作出图形即可 3 由如果 ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形 且 BC 2a 那么 正方形边长为 a BC 用心 爱心 专心6 边上的高 AD 为 EFGH 边长的两倍 2a 根据勾股定理可得正方形 EFGH 的对角线长为 2a 例例 10 10 20122012 山东潍坊山东潍坊 3 3 分 分 甲乙两位同学用围棋子做游戏 如图所示 现轮到黑棋下子 黑棋下一子 后白棋再下一子 使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形 白棋的 5 个棋子也成轴对称图形 则下列下子方 法不正确的是 说明 棋子的位置用数对表示 如 A 点在 6 3 A 黑 3 7 白 5 3 B 黑 4 7 白 6 2 C 黑 2 7 白 5 3 D 黑 3 7 白 2 6 答案答案 C 考点考点 利用轴对称设计图案 分析分析 分别根据选项所说的黑 白棋子放入图形 再由轴对称的定义进行判断即可得出答 A 若放入黑 3 7 白 5 3 则此时黑棋是轴对称图形 白棋也是轴对称图形 B 若放入黑 4 7 白 6 2 则此时黑棋是轴对称图形 白棋也是轴对称图形 C 若放入黑 2 7 白 5 3 则此时黑棋不是轴对称图形 白棋是轴对称图形 D 若放入黑 3 7 白 6 2 则此时黑棋是轴对称图形 白棋也是轴对称图形 故选 C 练习题 练习题 1 1 20122012 浙江宁波浙江宁波 3 3 分 分 下列交通标志图案是轴对称图形的是 A B C D 2 2 20122012 江苏江苏连云港连云港 3 3 分 分 下列图案是轴对称图形的是 A B C D 用心 爱心 专心7 3 3 20122012 贵州遵义贵州遵义 4 4 分 分 在 4 4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放 移动其中一个正方形到 空白方格中 与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形 这样的移法共有 种 4 4 20122012 贵州遵义贵州遵义 3 3 分 分 把一张正方形纸片如图 图 对折两次后 再如图 挖去一个三角形小孔 则展开后图形是 A B C D 5 5 20122012 广西钦州广西钦州 3 3 分 分 如图所示 把一张矩形纸片对折 折痕为 AB 在把以 AB 的中点 O 为顶点的平 角 AOB 三等分 沿平角的三等分线折叠 将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形 那么剪出 的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 6 6 20122012 四川广安四川广安 8 8 分 分 现有一块等腰三角形板 量得周长为 32cm 底比一腰多 2cm 若把这个三角形 纸板沿其对称轴剪开 拼成一个四边形 请画出你能拼成的各种四边形的示意图 并计算拼成的各个四 边形的两条对角线长的和 7 7 20122012 浙江杭州浙江杭州 4 4 分 分 如图 平面直角坐标系中有四个点 它们的横纵坐标均为整数 若在此平面直 角坐标系内移动点 A 使得这四个点构成的四边形是轴对称图形 并且点 A 的横坐标仍是整数 则移动后 点 A 的坐标为 用心 爱心 专心8 8 8 20122012 广东广州广东广州 1212 分 分 如图 P 的圆心为 P 3 2 半径为 3 直线 MN 过点 M 5 0 且平行 于 y 轴 点 N 在点 M 的上方 1 在图中作出 P 关于 y 轴对称的 P 根据作图直接写出 P 与直线 MN 的位置关系 2 若点 N 在 1 中的 P 上 求 PN 的长 9 9 20122012 湖南郴州湖南郴州 6 6 分 分 作图题 在方格纸中 画出 ABC 关于直线 MN 对称的 A1B1C1 二 线段 角的轴对称性 二 线段 角的轴对称性 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 湖北恩施湖北恩施 3 3 分 分 如图 AB CD 直线 EF 交 AB 于点 E 交 CD 于点 F EG 平分 BEF 交 CD 于点 G 1 50 则 2 等于 用心 爱心 专心9 A 50 B 60 C 65 D 90 答案答案 C 考点考点 平行线的性质 角平分线的定义 分析分析 AB CD BEF 1 180 两直线平行 同旁内角互补 1 50 BEF 130 等量代换 EG 平分 BEF BEG BEF 65 角平分线的定义 1 2 2 BEG 65 两直线平行 内错角相等定理 故选 C 例例 2 2 20122012 海南省海南省 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 B 与 C 的平分线交于点 O 过 O 点作 DE BC 分别交 AB AC 于 D E 若 AB 5 AC 4 则 ADE 的周长是 答案答案 9 考点考点 角平分线定义 平行线的性质 等腰三角形的判定 分析分析 OB 是 B 的平分线 DBO OBC 又 DE BC OBC BOD DBO BOD DO DB 同理 EO EC 又 AB 5 AC 4 ADE 的周长 AD DE AE AD DO EO AE AD DB EC AE AB AC 5 4 9 例例 3 3 20122012 广东梅州广东梅州 3 3 分 分 如图 AOE BOE 15 EF OB EC OB 若 EC 1 则 EF 用心 爱心 专心10 答案答案 2 考点考点 角平分线的性质 平行的性质 三角形外角性质 含 30 度角的直 角三角形的性质 分析分析 作 EG OA 于 F EF OB OEF COE 15 AOE 15 EFG 15 15 30 EG CE 1 EF 2 1 2 例例 3 3 20122012 贵州铜仁贵州铜仁 5 5 分 分 某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉 要求音乐喷泉 M 到 广场的两个入口 A B 的距离相等 且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半 A B C 的位 置如图所示 请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置 要求 不写已知 求作 作法和结论 保留作图痕迹 必须用铅笔作图 答案答案 解 作图如下 M 即为所求 考点考点 作图 应用与设计作图 分析分析 连接 AB 作出线段 AB 的垂直平分线 在矩形中标出点 M 的位置 以点 C 为圆心 AB 长为半 1 2 径画弧交 AB 的垂直平分线于点 M 例例 4 4 20122012 山东德州山东德州 8 8 分 分 有公路 l1同侧 l2异侧的两个城镇 A B 如下图 电信部门要修建一座信 号发射塔 按照设计要求 发射塔到两个城镇 A B 的距离必须相等 到两条公路 l1 l2的距离也必须相 用心 爱心 专心11 等 发射塔 C 应修建在什么位置 请用尺规作图找出所有符合条件的点 注明点 C 的位置 保留作图痕 迹 不要求写出画法 答案答案 解 作图如下 C1 C2就是所求的位置 考点考点 作图 应用与设计作图 分析分析 根据题意知道 点 C 应满足两个条件 一是在线段 AB 的垂直平分线上 二是在两条公路夹角的 平分线上 所以点 C 应是它们的交点 1 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE 2 作线段 AB 的垂直平分线 FG 则射线 OD OE 与直 线 FG 的交点 C1 C2就是所求的位置 练习题 练习题 1 1 20122012 湖南怀化湖南怀化 3 3 分 分 如图 已知 AB CD AE 平分 CAB 且交 CD 于点 D C 110 则 EAB 为 A 30 B 35 C 40 D 45 用心 爱心 专心12 2 2 20122012 贵州黔南贵州黔南 4 4 分 分 如图 已知直线 AB CD BE 平分 ABC 交 CD 于 D CDE 1500 则 C 的度 数是 A 1500 B 1300 C 1200 D 1000 3 3 20122012 云南省云南省 3 3 分 分 如图 在中 AD 是的角平分线 则 CAD 的 ABC B 67 C 33 ABC 度数为 4 4 20122012 浙江嘉兴 舟山浙江嘉兴 舟山 5 5 分 分 在直角 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 若 CD 4 则 点 D 到斜边 AB 的距离为 5 5 20122012 湖南娄底湖南娄底 4 4 分 分 如图 FE ON OE 平分 MON FEO 28 则 MFE 度 三 等腰 边 三角形的轴对称性 三 等腰 边 三角形的轴对称性 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 6 6 分 分 已知一个等腰三角形的腰长为 5 底边长为 8 将该三角形沿底边上的 高剪成两个三角形 用这个两个三角形能拼成几种平行四边形 请画出所拼的平行四边形 直接写出它 们的对角线的长 并画出体现解法的辅助线 答案答案 解 能拼成 3 种平行四边形 如图 用心 爱心 专心13 图 1 中 对角线的长为 5 图 2 中 对角线的长为 3 和 73 图 3 中 对角线的长为 4 和2 13 考点考点 拼图 等腰三角形的的性质 平行四边形 矩形的判定和性质 勾股定理 分析分析 根据平行四边形的性质拼图 图 1 中 拼成的平行四边形是矩形 对角线的长为 5 图 2 中 一 条对角线的长为 3 另一条对角线的长为 图 2 中 一条对角线的长为 3 另一条对角线的 22 3 8 73 长为 22 4 6 52 2 13 例例 2 2 20122012 福建三明福建三明 4 4 分 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A 在第一象限 点 P 在 x 轴上 若以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件的点 P 共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 答案答案 C 考点考点 等腰三角形的判定 分析分析 如图 分 OP AP 1 点 OA AP 1 点 OA OP 2 点 三种情况讨论 以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件的点 P 共有 4 个 故选 C 用心 爱心 专心14 例例 3 3 20122012 湖北荆门湖北荆门 3 3 分 分 如图 ABC 是等边三角形 P 是 ABC 的平分线 BD 上一点 PE AB 于点 E 线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F 垂足为点 Q 若 BF 2 则 PE 的长为 A 2 B 2 C D 3 答案答案 C 考点考点 等边三角形的性质 角平分线的定义 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 线段垂直平分线 的性质 分析分析 ABC 是等边三角形 点 P 是 ABC 的平分线 EBP QBF 30 BF 2 FQ BP BQ BF cos30 2 3 3 2 FQ 是 BP 的垂直平分线 BP 2BQ 2 3 在 Rt BEF 中 EBP 30 PE BP 故选 C 1 2 3 例例 4 4 20122012 上海市上海市 4 4 分 分 我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距 在同一个平面内有两个边 长相等的等边三角形 如果当它们的一边重合时 重心距为 2 那么当它们的一对角成对顶角时 重心距 为 答案答案 4 考点考点 三角形的重心 等边三角形的性质 分析分析 设等边三角形的中线长为 a 则其重心到对边的距离为 1 a 3 用心 爱心 专心15 它们的一边重合时 图 1 重心距为 2 解得 a 3 1 2a 2 3 当它们的一对角成对顶角时 图 2 重心 22 2a 23 4 33 例例 5 5 20122012 黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 3 分 分 矩形 ABCD 中 AB 10 BC 3 E 为 AB 边的中点 P 为 CD 边上的点 且 AEP 是腰长为 5 的等腰三角形 则 DP 答案答案 4 或 1 或 9 考点考点 矩形的性质 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 如图 根据题意 AB 10 BC 3 E 为 AB 边的中点 AE 5 AD 3 若 AE AP 5 则在 Rt ADP1中 由勾股定理 得 DP1 4 若 AE PE 5 A 作 EF CD 于点 F 则 EF 3 DF 5 在 Rt EFP2中 P2F 4 DP2 DF P2F 1 在 Rt EFP3中 P3F 4 DP3 DF P3F 9 另 AP EP 5 不成立 综上所述 DP 4 或 1 或 9 例例 6 6 20122012 湖北随州湖北随州 8 8 分 分 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AD 上 求证 1 ABD ACD 2 BE CE 答案答案 证明 1 D 是 BC 的中点 BD CD 在 ABD 和 ACD 中 BD CD AB AC AD AD 公共边 ABC ACD SSS 2 由 1 知 ABD ACD BAD CAD 即 BAE CAE 在 ABE 和 ACE 中 AB AC BAE CAD AE AE ABE ACE SAS BE CE 全等三角形的对应边相等 用心 爱心 专心16 考点考点 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 根据全等三角形的判定定理 SSS 可以证得 ABD ACD 2 由 1 的全等三角形的对应角相等可以推知 BAE CAE 根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABE ACE 由全等三角形的对应边相等知 BE CE 练习题 练习题 1 1 20122012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 3 3 分 分 如图 ABC 为等边三角形 点 E 在 BA 的延长线上 点 D 在 BC 边上 且 ED EC 若 ABC 的边长为 4 AE 2 则 BD 的长为 A 2 B 3 C D 33 1 2 2 20122012 湖北孝感湖北孝感 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 AB AC A 36 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D 若 AC 2 则 AD 的长是 3 3 20122012 江苏淮安江苏淮安 3 3 分 分 如图 ABC 中 AB AC AD BC 垂足为点 D 若 BAC 700 则 BAD 0 4 4 20122012 四川泸州四川泸州 5 5 分 分 如图 ABC 是等边三角形 D 是 AB 边上的一点 以 CD 为边作等边三角形 CDE 使点 E A 在直线 DC 的同侧 连结 AE 求证 AE BC 用心 爱心 专心17 5 5 20122012 甘肃白银甘肃白银 1010 分 分 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 D F 分别在线段 BC AB 上 EFB 60 DC EF 1 求证 四边形 EFCD 是平行四边形 2 若 BF EF 求证 AE AD 四 矩形 菱形 正方形等腰梯形的轴对称性 四 矩形 菱形 正方形等腰梯形的轴对称性 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 辽宁沈阳辽宁沈阳 3 3 分 分 如图 正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 则图中的等腰直角三角 形有 A 4 个 B 6 个 C 8 个 D 10 个 答案答案 C 考点考点 等腰直角三角形的判定 正方形的性质 分析分析 正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O AB BC CD AD OA OB OC OD 四个角都是直角 AC BD 图中的等腰直角三角形有 AOB AOD COD BOC ABC BCD ACD BDA 八个 故选 C 例例 2 2 20122012 安徽省安徽省 4 4 分 分 为增加绿化面积 某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草 砖 更换后 图中阴影部分为植草区域 设正八边形与其内部小正方形的边长都为 则阴影部分的面a 用心 爱心 专心18 积为 A 2 B 3 C 4 D 5 2 a 2 a 2 a 2 a 答案答案 A 考点考点 正多边形和圆 等腰直角三角形的性质 正方形的性质 分析分析 图案中间的阴影部分是正方形 面积是 由于原来地砖更换成正八边形 四周一个阴影部分 2 a 是对角线为的正方形的一半 它的面积用对角线积的一半来计算 a 故选 A 222 11 42 22 aaa 例例 3 3 20122012 山西省山西省 2 2 分 分 如图 已知菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的长分别为 6cm 8cm AE BC 于点 E 则 AE 的长是 A B C D 5 3cm2 5cm 48 cm 5 24 cm 5 答案答案 D 考点考点 菱形的性质 勾股定理 分析分析 四边形 ABCD 是菱形 CO AC 3 BO BD AO BO 1 2 1 2 2222 BC CO BO3 45 ABCD 11 SBD AC6 824 22 形形 又 BC AE 24 即 故选 D ABCD SBC AE 形形 24 AEcm 5 例例 4 4 20122012 江苏江苏南通南通 3 3 分 分 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC 8cm AOD 120 则 AB 的长为 A cm B 2cm C 2cm D 4cm 33 用心 爱心 专心19 答案答案 D 考点考点 矩形的性质 平角定义 等边三角形的判定和性质 分析分析 在矩形 ABCD 中 AO BO AC 4cm 1 2 AOD 120 AOB 180 120 60 AOB 是等边三角形 AB AO 4cm 故选 D 例例 5 5 20122012 湖北恩施湖北恩施 3 3 分 分 如图 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3 A 120 则图中阴 影部分的面积是 A B 2 C 3 D 32 答案答案 A 考点考点 菱形的性质 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 如图 设 BF CE 相交于点M 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3 BCM BGF 即 CMBC GFBG CM2 32 3 解得 CM 1 2 DM 2 1 2 0 8 A 120 ABC 180 120 60 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60 2 3 3 2 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60 3 33 3 22 阴影部分面积 S BDM S DFM 0 8 0 8 故选 A 1 2 3 1 2 3 3 3 2 例例 6 6 20122012 广东深圳广东深圳 3 3 分 分 如图 Rt ABC 中 C 90o 以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE 且正方形 对角线交于点 D 连接 OC 已知 AC 5 OC 6 则另一直角边 BC 的长为 2 用心 爱心 专心20 例例 7 7 20122012 上海市上海市 1212 分 分 己知 如图 在菱形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD BAF DAE AE 与 BD 交于点 G 1 求证 BE DF 2 当时 求证 四边形 BEFG 是平行四边形 DFAD FCDF 用心 爱心 专心21 答案答案 证明 1 四边形 ABCD 是菱形 AB AD ABC ADF BAF DAE BAF EAF DAE EAF 即 BAE DAF BAE DAF ASA BE DF 2 四边形 ABCD 是菱形 AD BC ADG EBG ADDG BEBG 又 BE DF GF BC DFAD FCDF DFADDG FCBEBG DGF DBC BDC DF GF 又 BE DF BE GF 四边形 BEFG 是平行四边形 考点考点 菱形的性质 全等三角形的判定和性质 平行线的性质 相似三角形的判定和性质 等腰三角 形的判定 平行四边形的判定 分析分析 1 由菱形的性质和 BAF DAE 证得 ABF 与 AFD 全等后即可证得结论 2 由 AD BC 证得 ADG EBG 从而 由和 BE DF 即可得证得 ADDG BEBG DFAD FCDF 从而根据平行线分线段成比例定理证得 FG BC 进而得到 DGF DBC BDC 根据 DFADDG FCBEBG 等腰三角形等角对等边的判定和 BE DF 证得 BE GF 利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形 例例 8 8 20122012 湖南娄底湖南娄底 9 9 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 P Q 分别是 BM DN 的中点 1 求证 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形 请说明理由 答案答案 解 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AB CD AD BC A C 90 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 AM AD CN BC 1 2 1 2 AM CN 在 MAB 和 NDC 中 AB CD A C 90 AM CN MAB NDC SAS 2 四边形 MPNQ 是菱形 理由如下 连接 AN 易证 ABN BAM 用心 爱心 专心22 AN BM MAB NDC BM DN P Q 分别是 BM DN 的中点 PM NQ DM BN DQ BP MDQ NBP MQD NPB SAS MQ PN 四边形 MPNQ 是平行四边形 M 是 AB 中点 Q 是 DN 中点 MQ AN MQ BM 1 2 1 2 又 MP BM MP MQ 四边形 MQNP 是菱形 1 2 考点考点 矩形的性质 全等三角形的判定和性质 直角三角形斜边上的中线性质 菱形的判定 分析分析 1 根据矩形的性质和中点的定义 利用 SAS 判定 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是菱形 连接 AN 由 1 可得到 BM CN 再有中点得到 PM NQ 再通过证明 MQD NPB 得到 MQ PN 从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形 利用三角形中位线的性质可得 MP MQ 从而证明四边形 MQNP 是菱形 例例9 9 20122012湖北黄冈湖北黄冈7 7分 分 如图 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O E F 分别在OD OC 上 且DE CF 连接DF AE AE 的延长线交DF于点M 求证 AM DF 答案答案 证明 ABCD 是正方形 OD OC 又 DE CF OD DE OC CF 即OF OE 在Rt AOE和Rt DOF中 AO DO AOD DOF OE OF AOE DOF SAS OAE ODF OAE AEO 90 AEO DEM ODF DEM 90 AM DF 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定和性质 直角三角形两锐角的关系 分析分析 由DE CF 根据正方形的性质可得出OE OF 从而证明 AOE DOF 得出 OAE ODF 然后利用等角代换可得出 DME 90 即得出了结论 例例 1010 20122012 贵州贵阳贵州贵阳 1010 分 分 如图 在正方形 ABCD 中 等边三角形 AEF 的顶点 E F 分别在 BC 和 CD 上 用心 爱心 专心23 1 求证 CE CF 2 若等边三角形 AEF 的边长为 2 求正方形 ABCD 的周长 练习题 练习题 1 1 20122012 陕西省陕西省 3 3 分 分 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O OE AB 垂足为 E 若 ADC 1300 则 AOE 的大小为 用心 爱心 专心24 A 75 B 65 C 55 D 50 2 2 20122012 江苏江苏苏州苏州 3 3 分 分 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O CE BD DE AC 若 AC 4 则四边形 CODE 的周长是 B O D E C A A 4 B 6 C 8 D 10 3 3 20122012 江苏徐州江苏徐州 3 3 分 分 如图 在正方形 ABCD 中 E 是 CD 的中点 点 F 在 BC 上 且 FC BC 图中相 1 4 似三角形共有 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 4 4 20122012 贵州毕节贵州毕节 3 3 分 分 如图 在正方形 ABCD 中 以 A 为顶点作等边 AEF 交 BC 边于 E 交 DC 边于 F 又以 A 为圆心 AE 的长为半径作 若 AEF 的边长为 2 则阴影部分的面积约是 A EF 参考数据 取 3 14 21 41431 732 形 A 0 64 B 1 64 C 1 68 D 0 36 用心 爱心 专心25 5 5 20122012 安徽省安徽省 5 5 分 分 如图 P 是矩形 ABCD 内的任意一点 连接 PA PB PC PD 得到 PAB PBC PCD PDA 设它们的面积分别是 S1 S2 S3 S4 给出如下结论 S1 S2 S3 S4 S2 S4 S1 S3 若 S3 2 S1 则 S4 2 S2 若 S1 S2 则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上 6 6 20122012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 3 3 分 分 如图 线段 AC n 1 其中 n 为正整数 点 B 在线段 AC 上 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF 连接 AM ME EA 得到 AME 当 AB 1 时 AME 的 面积记为 S1 当 AB 2 时 AME 的面积记为 S2 当 AB 3 时 AME 的面积记为 S3 当 AB n 时 AME 的面积记为 Sn 当 n 2 时 Sn Sn 1 7 7 20122012 重庆市重庆市 1010 分 分 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 8 8 20122012 四川凉山四川凉山 7 7 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 AD 12 点 E 在 AD 边上 且 AE 8 EF BE 交 CD 于 F 1 求证 ABE DEF 用心 爱心 专心26 2 求 EF 的长 9 9 20122012 四川内江四川内江 9 9 分 分 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BD 上的一点 BAE BCE AED CED 点 G 是 BC AE 延长线的交点 AG 与 CD 相交于点 F 1 求证 四边形 ABCD 是正方形 2 当 AE 2EF 时 判断 FG 与 EF 有何数量关系 并证明你的结论 1010 20122012 贵州黔南贵州黔南 1212 分 分 如图 1 在边长为 5 的正方形 ABCD 中 点 E F 分别是 BC CD 边上的点 且 AE EF BE 2 1 求 EC CF 值 2 延长 EF 交正方形 BCD 的外角平分线 CP 于点 P 图 2 试判断 AE 与 EP 大小关系 并说明理由 3 在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M 使得四边形 DMEP 是平行四边形 若存在 请给予证明 若不存 在 请说明理由 五 等腰梯形的轴对称性 五 等腰梯形的轴对称性 典型例题 典型例题 用心 爱心 专心27 例例 1 1 20122012 广东广州广东广州 3 3 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 BC AD AD 5 DC 4 DE AB 交 BC 于点 E 且 EC 3 则梯形 ABCD 的周长是 A 26 B 25 C 21 D 20 答案答案 C 考点考点 等腰梯形的性质 平行四边形的判定和性质 分析分析 BC AD DE AB 四边形 ABED 是平行四边形 BE AD 5 EC 3 BC BE EC 8 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB DC 4 梯形 ABCD 的周长为 AB BC CD AD 4 8 4 5 21 故选 C 例例 2 2 20122012 福建漳州福建漳州 4 4 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC B 80o 则 D 的度数是 A 120o B 110o C 100o D 80o 答案答案 C 考点考点 等腰梯形的性质 平行的性质 分析分析 AD BC B 80 A 180 B 180 80 100 四边形 ABCD 是等腰梯形 D A 100 故选 C 例例 3 3 20122012 山东临沂山东临沂 3 3 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 相交于点 O 下列结论 不一定正确的是 A AC BD B OB OC C BCD BDC D ABD ACD 答案答案 C 用心 爱心 专心28 考点考点 等腰梯形的性质 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的判定 三角形边角关系 三角形内 角和定理 分析分析 A 四边形 ABCD 是等腰梯形 AC BD 故本选项正确 B 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB DC ABC DCB 在 ABC 和 DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB ABC DCB SAS ACB DBC OB OC 故本选项正确 C BC 和 BD 不一定相等 BCD 与 BDC 不一定相等 故本选项错误 D ABC DCB ACB DBC ABD ACD 故本选项正确 故选 C 例例 4 4 20122012 山东烟台山东烟台 3 3 分 分 如图 在平面直角坐标中 等腰梯形 ABCD 的下底在 x 轴上 且 B 点坐标为 4 0 D 点坐标为 0 3 则 AC 长为 A 4 B 5 C 6 D 不能确定 答案答案 B 考点考点 等腰梯形的性质 坐标与图形性质 勾股定理 分析分析 如图 连接 BD 由题意得 OB 4 OD 3 根据勾股定理 得 BD 5 又 ABCD 是等腰梯形 AC BD 5 故选 B 例例 5 5 20122012 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特 3 3 分 分 已知 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD 3 BC 7 则梯形 的面积是 A 25 B 50 C D 25 2 30 2 4 答案答案 A 考点考点 等腰梯形的性质 平行四边形的判定和性质 等腰直角三角形的判定和性质 分析分析 过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E 作 DF BC 于 F AD BC DE AC 四边形 ACED 是平行四边形 AD CE 3 AC DE 用心 爱心 专心29 在等腰梯形 ABCD 中 AC DB DB DE AC BD AC DE DB DE BDE 是等腰直角三角形 DF BE 5 1 2 S梯形 ABCD AD BC DF 3 7 5 25 故选 A 1 2 1 2 例例 6 6 20122012 江苏南京江苏南京 8 8 分 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 对角线 AC BD 交于点 O ACBD E F G H 分别为 AB BC CD DA 的中点 1 求证 四边形 EFGH 为正方形 2 若 AD 2 BC 4 求四边形 EFGH 的面积 答案答案 1 证明 在 ABC 中 E F 分别是 AB BC 的中点 EF AC 1 2 同理 FG BD GH AC HE BD 1 2 1 2 1 2 在梯形 ABCD 中 AB DC AC BD EF FG GH HE 四边形 EFGH 是菱形 设 AC 与 EH 交于点 M 在 ABD 中 E H 分别是 AB AD 的中点 则 EH BD 同理 GH AC 又 AC BD BOC 90 EHG EMC 90 四边形 EFGH 是正方形 2 解 连 接 EG 在梯形 ABCD 中 E F 分别是 AB DC 的中点 1 EGADBC3 2 形形 在 Rt EHG 中 EH2 GH2 EG2 EH GH 即四边形 EFGH 的面积为 2 9 EH 2 9 2 考点考点 三角形中位线定理 等腰梯形的性质 正方形的判定 梯形中位线定理 勾股定理 分析分析 1 先由三角形的中位线定理求出四边相等 然后由 AC BD 入手 进行正方形的判断 用心 爱心 专心30 2 连接 EG 利用梯形的中位线定理求出 EG 的长 然后结合 1 的结论求出 也 2 9 EH 2 即得出了正方形 EHGF 的面积 例例 7 7 20122012 湖南永州湖南永州 8 8 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 点 E F G 分别在边 AB BC CD 上 且 AE GF GC 求证 四边形 AEFG 为平行四边形 答案答案 证明 梯形 ABCD 是等腰梯形 AD BC B C 等腰梯形底角相等 GF GC GFC C 等边对等角 GFC B 等量代换 AB GF 同位角相等 两直线平行 又 AE GF 四边形 AEFG 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考点考点 等腰梯形和三角形的性质 平行的判定 平行四边形的判定 分析分析 由等腰梯形的性质可得出 B C 再根据等边对等角的性质得到 C GFC 所以 B GFC 故可得出 AB GF 再由 AE GF 即可得出结论 练习题 练习题 1 1 20122012 江苏无锡江苏无锡 3 3 分 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 5 BC 9 CD 的垂直平分线交 BC 于 E 连接 DE 则四边形 ABED 的周长等于 A 17B 18C 19D 20 2 2 20122012 福建厦门福建厦门 4 4 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 若 OB 3 则 OC 用心 爱心 专心31 3 3 20122012 辽宁营口辽宁营口 3 3 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 过点 D 作 DF BC 于 F 若 AD 2 BC 4 DF 2 则 DC 的长为 4 4 20122012 江苏江苏苏州苏州 6 6 分 分 如图 在梯形 ABCD 中 已知 AD BC AB CD 延长线段 CB 到 E 使 BE AD 连接 AE AC 求证 ABE CDA 若 DAC 40 求 EAC 的度数 E D C B A 5 5 20122012 湖南怀化湖南怀化 1010 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 点 E 为底边 BC 的中点 连结 AE DE 求证 AE DE 6 6 20122012 四川南充四川南充 6 6 分 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 点 E 是 AD 延长线上的一点 且 CE CD 求 证 B E 六 圆的轴对称性 六 圆的轴对称性 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 陕西省陕西省 3 3 分 分 如图 在半径为 5 的圆 O 中 AB CD 是互相垂直的两条弦 垂足为 P 且 AB CD 8 则 OP 的长为 用心 爱心 专心32 A 3 B 4 C D 3 224 例例 2 2 20122012 江苏泰州江苏泰州 3 3 分 分 如图 ABC 内接于 O OD BC 于 D A 50 则 OCD 的度数是 A 40 B 45 C 50 D 60 答案答案 A 考点考点 圆周角定理 垂径定理 三角形内角和定理 分析分析 连接 OB A 和 BOC 是弧所对的圆周角和圆心角 且 A 50 A BC BOC 2 A 100 又 OD BC 根据垂径定理 DOC BOC 50 1 2 OCD 1800 900 500 400 故选 A 用心 爱心 专心33 例例 3 3 20122012 四川内江四川内江 3 3 分 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD A CDB 300 CD 则阴影部分图形2 3 的面积为 A B C D 4 2 2 3 答案答案 D 考点考点 垂径定理 圆周角定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 扇形面积公式 分析分析 连接 OD CD AB CD CE DE 垂径定理 2 3 1 CD3 2 阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积 OCECDE SS 又 CDB 30 COB BOD BOD 60 圆周角定理 OC 2 即阴影部分的面积为 故选 D 2 OBD 602 2 S 3603 形形 2 3 例例 4 4 20122012 山东泰安山东泰安 3 3 分 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 M 下列结论不成立的是 A CM D M B C ACD ADC D OM MD AA CB DB 答案答案 D 考点考点 垂径定理 弦 弧和圆心角的关系 全等三角形的判定和性质 分析分析 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 M M 为 CD 的中点 即 CM DM 选项 A 成立 用心 爱心 专心34 B 为的中点 即 选项 B 成立 A CD AA CB DB 在 ACM 和 ADM 中 AM AM AMC AMD 90 CM