2011届高考数学难点突破难点30 概率

用心 爱心 专心99 难点难点 3030 概概 率率 概率是高考的重点内容之一 尤其是新增的随机变量这部分内容 要充分注意一些重要 概念的实际意义 理解概率处理问题的基本思想方法 难点磁场 如图 用A B C三类不同的元件连接成两个系统N1 N2 当元件 A B C都正常工作时 系统N1正常工作 当元件A正常工作且元件B C至少有一个正常 工作时 系统N2正常工作 已知元件A B C正常工作的概率依次为 0 80 0 90 0 90 分 别求系统N1 N2正常工作的概率P1 P2 案例探究 例 1 有一容量为50 的样本 数据的分组及各组的频率数如下 10 15 4 30 35 9 15 20 5 35 40 8 20 25 10 40 45 3 25 30 11 1 列出样本的频率分布表 含累积频率 2 画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图 本题主要考查频率分布表 频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 知识依托 频率 累积频率的概念以及频率分布表 直方图和累积频率分布图的画法 错解分析 解答本题时 计算容易出现失误 且要注意频率分布与累积频率分布的区 别 技巧与方法 本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 1 由所给数据 计算得如下频率分布表 数 据 段 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 总 计 频 数 45101198350 频 率 0 080 100 200 220 180 160 061 累 积 频 率 0 080 180 380 600 780 941 2 频率分布直方图与累积频率分布图如下 用心 爱心 专心100 例 2 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量 它的分布列如下 123 12 P 12 1 12 1 12 1 12 1 设每售出一台电冰箱 电器商获利 300 元 如销售不出而囤积于仓库 则每台每月需 花保养费用 100 元 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大 命题意图 本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题 知识依托 期望的概念及函数的有关知识 错解分析 在本题中 求Ey是一个难点 稍有不慎 就将产生失误 技巧与方法 可借助概率分布 期望 方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题 解 设x为月初电器商购进的冰箱台数 只须考虑 1 x 12 的情况 设电器商每月的 收益为y元 则y是随机变量 的函数且y 电器商平均每月获 xxx xx 100300 300 益的平均数 即数学期望为 Ey 300 x Px Px 1 P12 300 100 x 1 P1 2 300 100 x 2 P2 300 x 1 100 Px 1 300 x 12 x 1 300 12 1 12 1 2 1 100 2 1 xxxx 2x2 38x 3 25 由于x N N 故可求出当x 9 或x 10 时 也即电器商月初购进 9 台或 10 台电冰箱时 收益最大 锦囊妙记 本章内容分为概率初步和随机变量两部分 第一部分包括等可能事件的概率 互斥事件 有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 第二部分包括随机变量 离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法 观察与试验 分析与综合 一般化与特殊化 主要思维形式有 逻辑思维 聚合思维 形象思维和创造性思维 歼灭难点训练 一 选择题 1 甲射击命中目标的概率是 乙命中目标的概率是 丙命中目标的 2 1 3 1 概率是 现在三人同时射击目标 则目标被击中的概率为 4 1 10 7 D 5 4 C 3 2 B 4 3 A 用心 爱心 专心101 2 已知随机变量 的分布列为 P k k 1 2 3 则P 3 5 等于 3 1 A 6 B 9 C 3 D 4 二 填空题 3 1 盒中有 9 个正品和 3 个废品 每次取 1 个产品 取出后不再放回 在 取得正品前已取出的废品数 的期望E 4 某班有 52 人 男女各半 男女各自平均分成两组 从这个班中选出 4 人 参加某项活动 这 4 人恰好来自不同组别的概率是 三 解答题 5 甲 乙两人各进行一次射击 如果两人击中目标的概率都是 0 6 计 算 1 两人都击中目标的概率 2 其中恰有一人击中目标的概率 3 至少有一人击中目标的概率 6 已知连续型随机变量 的概率密度函数f x 2 0 21 1 0 x xax x 1 求常数a的值 并画出 的概率密度曲线 2 求P 1 2 3 7 设P在 0 5 上随机地取值 求方程x2 px 0 有实根的概率 2 1 4 p 8 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时全天停 止工作 若一周 5 个工作日里均无故障 可获利润 10 万元 发生一次故障可获利润 5 万元 只发生两次故障可获利润 0 万元 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元 求一周内期 望利润是多少 参考答案 难点磁场 解 记元件A B C正常工作的事件分别为A B C 由已知条件P A 0 80 P B 0 90 P C 0 90 1 因为事件A B C是相互独立的 所以 系统N1正常工作的概率P1 P A B C P A P B P C 0 648 故系统N1正常工作的概率为 0 648 2 系统N2正常工作的概率P2 P A 1 P CB P A 1 P P BC 0 80 1 1 0 90 1 0 90 0 792 故系统N2正常工作的概率为 0 792 歼灭难点训练 一 1 解析 设甲命中目标为事件A 乙命中目标为事件B 丙命中目标为事件C 则 目标被击中的事件可以表示为A B C 即击中目标表示事件A B C中至少有一个发生 用心 爱心 专心102 4 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 CPBPAP CPBPAPCBAP 故目标被击中的概率为 1 P 1 ABC 4 3 4 1 答案 A 2 解析 E 1 2 3 2 E 2 12 22 32 3 1 3 1 3 14 D E 2 E 2 22 3 14 3 2 D 3 5 9E 6 答案 A 二 3 解析 由条件知 的取值为 0 1 2 3 并且有P 0 4 3 C C 1 12 1 9 3 0 220 1 3 220 9 2 44 9 1 4 3 0 220 1 2C CC 3 220 9 2C CC 2 44 9 2C CC 1 4 12 1 9 3 3 3 12 1 9 2 3 2 12 1 9 1 3 E PPP 答案 0 3 4 解析 因为每组人数为 13 因此 每组选 1 人有 C种方法 所以所求概率为P 1 13 4 52 41 13 C C 答案 4 52 41 13 C C 三 5 解 1 我们把 甲射击一次击中目标 叫做事件A 乙射击一次击中目标 叫做事件B 显然事件A B相互独立 所以两人各射击一次都击中目标的概率是P A B P A P B 0 6 0 6 0 36 答 两人都击中目标的概率是 0 36 2 同理 两人各射击一次 甲击中 乙未击中的概率是P A P A P BB 0 6 1 0 6 0 6 0 4 0 24 甲未击中 乙击中的概率是P B P P B 0 24 显然 甲击中 乙未击中 AA 和 甲未击中 乙击中 是不可能同时发生 即事件A 与 B互斥 所以恰有一人BA 击中目标的概率是P A P B 0 24 0 24 0 48BA 答 其中恰有一人击中目标的概率是 0 48 2 两人各射击一次 至少有一人击中目标的概率P P A B P A P B BA 0 36 0 48 0 84 用心 爱心 专心103 答 至少有一人击中目标的概率是 0 84 6 解 1 因为 所在区间上的概率总和为 1 所以 1 a 2 a 1 1 2 1 a 2 1 概率密度曲线如图 2 P 1 2 3 9 3 2 3 1 2 1 2 1 7 解 一元二次方程有实数根 0 而 P2 4 P2 P 2 P 1 P 2 2 1 4 P 解得P 1 或P 2 故所求概率为P 5 3 5 0 2 1 5 0 的长度 的长度 8 解 以X表示一周 5 天内机器发生故障的天数 则X B 5 0 2 于是X有概率分 布P X k C 0 2k0 85 k k 0 1 2 3 4 5 k 5 以Y表示一周内所获利润 则 Y g X 3 2 2 0 1 5 0 10 X X X X 若 若 若 若 Y的概率分布