函数的单调性

单调性 函数的单调性单调性 monotonicity 也叫函数的增减性增减性 当函数 f x 的自变量在其定义区间 内增大 或减小 时 函数值 f x 也随着增大 或减小 则称该函数为在该区间上具有单调性 定义 函数的单调性单调性 monotonicity 也叫函数的增减性增减性 可以定性描述在一个指定区间内 函数值变化与自变量变化的关系 当函数 f x 的自变量在其定义区间内增大 或减小 时 函数值也随着增大 或减小 则称该函数为在该区间上具有单调性 单调增加单调增加或单调减少单调减少 在集合论中 在有序集合之间的函数 如果它们保持给定的次序 是具有单调性的 如果说明一个函数在某个区间 D 上具有单调性单调性 则我们将 D 称作函数的一个单调区 间 则可判断出 注意注意 函数单调性是针对某一个区间而言的 是一个局部性质 因此 说单调性时最 好指明区间 有些函数在整个定义域内是单调的 有些函数在定义域内的部分区间上是增函数 在 部分区间上是减函数 有些函数是非单调函数 如常数函数 函数的单调性是函数在一个单调区间上的 整体整体 性质 具有任意性任意性 不能用特殊值代 替 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定首先要确定函数的的定义域 解决问题的过程中只 能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 如果一个函数具有相同如果一个函数具有相同单调性的的单调区间不止一个 那么这些不止一个 那么这些单调区间不能用不能用 连连 接 而只能用接 而只能用 逗号 隔开 单调函数 一般地 设一连续函数 f x 的定义域为 D 且函数在定义域 D 内只具有一种单调性 则增函数和减函数统称单调函数 性质 折叠图象性质 函数图象 函数单调性的几何特征 在单调区间上 增函数的图象是上升的 减函数的图象是下 降的 判断方法 折叠图象观察 如上所述 在单调区间上 增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 因此 在某一区间内 一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增 一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减 两个分段函数 注意注意 对于分段函数 要特别注意 例如 上图左可以说是一个增函数 上图右就不能 说是在定义域上的一个增函数 在定义域上不具有单调性 折叠定义证明 如果需要严格证明某区间上函数的单调性 则观察图象的方法就显得不太可靠了 因 此需要用用定义证明 证明 步骤步骤 即 任意取值 作差变形 判断定号 得出结论 折叠一阶导数 如果函数 y f x 在区间 D 内可导 可微 若 x D 时恒有 f x 0 则函数 y f x 在区间 D 内单调增加 反之 若 x D 时 f x 0 则称函数 y f x 在区间 D 内单调减少 复合函数 在函数 y f g x 的定义域内 令 g x 则 y f g x 的单调性由 g x 与 y f 的单 调性共同确定 方法如下 u g x y f u y f g x 增函数增函数增函数 减函数减函数增函数 增函数减函数减函数 减函数增函数减函数 因此 复合函