【绿色通道】2011高考数学总复习 单元质量检测4 新人教A版

用心 爱心 专心1 单元质量检测单元质量检测 四四 一 选择题 1 若复数 a2 4a 3 a 1 i是纯虚数 则实数a的值是 A 1 B 3 C 1 或 3 D 1 解析 由题意知Error 解得a 3 答案 B 2 复数 的虚部是 1 2 i 1 1 2i A i B 1 5 1 5 C i D 1 5 1 5 解析 1 2 i 1 1 2i 2 i 2 i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i i 2 i 5 1 2i 5 1 5 1 5 虚部为 1 5 答案 B 3 平面向量a a b b共线的充要条件是 A a a b b方向相同 B a a b b两向量中至少有一个为零向量 C R R b b a a D 存在不全为零的实数 1 2 1a a 2b b 0 解析 A 中 a a b b同向则a a b b共线 但a a b b共线则a a b b不一定同向 因此 A 不是充 要条件 若a a b b两向量中至少有一个为零向量 则a a b b共线 但a a b b共线时 a a b b不一定 是零向量 如a a 1 2 b b 2 4 从而 B 不是充要条件 当b b a a时 a a b b一定共线 但a a b b共线时 若b b 0 a a 0 则b b a a就不成立 从而 C 也不是充要条件 用心 爱心 专心2 对于 D 假设 1 0 则a a b b 因此a a b b共线 2 1 反之 若a a b b共线 则a a b b 即ma a nb b 0 n m 令 1 m 2 n 则 1a a 2b b 0 答案 D 4 如下图所示 已知梯形ABCD中 AB CD 且AB 3CD M N分别是AB CD的中点 设 e e1 e e2 可表示为 AB AD MN A e e2 e e1 B e e2 e e1 1 6 1 2 C e e2 e e1 D e e2 e e1 1 3 1 3 解析 MN 1 2 MD MC 1 2 MD MD DC 2 2 e e1 e e2 e e1 e e1 e e2 e e1 e e2 e e1 1 2 MA AD DC 1 2 1 2 1 3 1 2 1 6 1 3 答案 C 5 向量a a b b满足 a a 1 b b a a b b 2a a b b 则向量a a与b b的夹角为 2 A 45 B 60 C 90 D 120 解析 由 a a b b 2a a b b 得 a a b b 2a a b b 0 即 2 a a 2 a a b b cos b b 2 0 把 a a 1 b b 代入得 cos 0 90 其中 为两向量的夹角 2 答案 C 6 设D E F分别是 ABC的三边BC CA AB上的点 且 2 2 2 DC BD CE EA AF 则 与 FB AD BE CF BC A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 解析 2 2 DC BD BC BD BD 用心 爱心 专心3 BD 1 3BC 2 2 2 CE EA BE BC BA BE BE 2 3BA 1 3BC 2 2 AF FB BF BA BF BF 1 3BA AD BE CF BD BA BE BF BC 1 3BC BA 2 3BA 1 3BC 1 3BA BC 1 3BC 与反向平行 AD BE CF BC 答案 A 7 已知非零向量a a b b 若a a b b 0 则等于 a a 2b b a a 2b b A B 2 1 4 C D 1 1 2 解析 1 a a 2b b a a 2b b a a 2b b 2 a a 2b b 2 a a2 4b b2 a a2 4b b2 答案 D 8 在 ABC中 若 2 则 ABC是 BC AB BC CB CA BC BA A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 解析 因为 AB BC CB CA BC BA BC AB CA BA BC AC 故 2 0 BC BC AC BC BC AC BC BA 即 B 2 答案 B 用心 爱心 专心4 9 2009 广东高考 一质点受到平面上的三个力F F1 F F2 F F3 单位 牛顿 的作用而处 于平衡状态 已知F F1 F F2成 60 角 且F F1 F F2的大小分别为 2 和 4 则F F3的大小为 A 6 B 2 C 2 D 2 57 解析 如图 F F3的大小等于F F1 F F2的合力的大小 由平面向量加法的三角形法则知 在 OAB中OB的长就是F F1 F F2的合力的大小 且在 OAB中 OAB 120 OB F F F F 2F F1 F F2cos120 2 即F F3为 2 2 12 22877 答案 D 10 2009 佛山二检 函数y tan x 的部分图象如下图所示 则 4 2 OA OB AB A 6 B 4 C 4 D 6 解析 函数y tan x 的图象是由y tanx的图象向右平移个单位 再将图 4 2 2 象的横坐标扩大为原来的倍得到 所以点A的坐标为 2 0 令 tan x 1 得 4 4 2 x 故可得B点坐标为 3 1 所以 5 1 1 1 6 4 2 4 OA OB AB 答案 D 11 2009 温州二测 设点P为 ABC的外心 三条边垂直平分线的交点 若 AB 2 AC 4 则 AP BC A 8 B 6 C 4 D 2 用心 爱心 专心5 解析 我们可以采用特殊方法解答 设A 1 0 B 1 0 C 1 4 则外心P为 0 2 故 1 2 2 4 故 6 AP BC AP BC 答案 B 12 2009 福州教学检查 已知P是 ABC所在平面内的一点 若 其中 CB PA PB R R 则点P一定在 A ABC的内部 B AC边所在的直线上 C AB边所在的直线上 D BC边所在的直线上 解析 化简即得 由共线向量的充要条件可知 点 CB PB PC PA PB PC PA P A C三点共线 所以答案选 B 答案 B 二 填空题 13 若复数 a R R i是虚数单位 是纯虚数 则实数a a 3i 1 2i 解析 i a 3i 1 2i a 3i 1 2i 1 2i 1 2i a 6 5 3 2a 5 Error a 6 答案 6 14 向量a a cos10 sin10 b b cos70 sin70 a a 2b b 解析 a a 2b b a a2 4b b2 4a a b b 1 4 4 cos10 cos70 sin10 sin70 5 4cos60 3 答案 3 15 2009 深圳一调 已知AD是 ABC的中线 R R 那么 AD AB AC 若 A 120 2 则 的最小值是 AB AC AD 解析 若AD为 ABC的中线 则有 AD 1 2 AB AC 1 2 2 2 2 2 2 2 4 AD 1 4 AB AC 1 4 AB AC AB AC 1 4 AB AC 2 2 2 2 8 所以 1 AB AC AB AC AB AC cos120 AD 答案 1 1 用心 爱心 专心6 16 2009 安徽高考 给定两个长度为 1 的平面向量和 它们的夹角为 120 如 OA OB 图所示 点C在以O为圆心的圆弧上变动 若 x y 其中x y R R 则x y的 AB OC OA OB 最大值是 解析 以O为坐标原点 OA为x轴建立平面直角坐标系 则可知A 1 0 B 1 2 3 2 设C cos sin 0 则有x cos sin y sin 所以 2 3 3 3 2 3 3 x y cos sin 2sin 所以当 时 x y取得最大值为 2 3 6 3 答案 2 三 解答题 17 如图 在平行四边形ABCD中 M N分别为DC BC的中点 已知 c c d d AM AN 试用c c d d表示 AB AD 解法一 设 a a b b AB AD 则a a d d b b AN NB 1 2 b b c c a a AM MD 1 2 将 代入 得a a d d c c a a 1 2 1 2 a a d d c c 代入 4 3 2 3 得b b c c d d c c c c d d 1 2 4 3 2 3 4 3 2 3 解法二 设 a a b b AB AD 因M N分别为CD BC中点 所以 b b a a BN 1 2 DM 1 2 用心 爱心 专心7 因而Error Error 即 2d d c c 2c c d d AB 2 3 AD 2 3 18 设a a 1 1 b b 4 3 c c 5 2 1 求证a a与b b不共线 并求a a与b b的夹角的余弦值 2 求c c在a a方向上的投影 3 求 1和 2 使c c 1a a 2b b 解 1 a a 1 1 b b 4 3 且 1 3 1 4 a a与b b不共线 又a a b b 1 4 1 3 1 a a b b 5 2 cos a a b b a a b b a a b b 1 5 2 2 10 2 a a c c 1 5 1 2 7 c c在a a方向上的投影为 a a c c a a 7 2 7 2 2 3 c c 1a a 2b b 5 2 1 1 1 2 4 3 4 2 1 1 3 2 Error 解得Error 19 设 ABC的外心为O 则圆O为 ABC的外接圆 垂心为H 求证 OH OA OB OC 证明 延长BO交圆O于D点 连AD DC 则BD为圆O的直径 故 BCD BAD 90 又 AE BC DC BC 得AH DC 同理DA CH 四边形AHCD为平行四边形 AH DC 又 DC OC OD OC OB AH OB OC 又 OH OA AH OH OA OB OC 用心 爱心 专心8 20 1 如图 设点P Q是线段AB的三等分点 若 a a b b 试用a a b b表示 OA OB OP 并判断 与 的关系 OQ OP OQ OA OB 2 受 1 的启示 如果点A1 A2 A3 An 1是AB的n n 3 等分点 你能得到什 么结论 请证明你的结论 解 1 OP OA AP OA 1 3AB a a b b OA 1 3 OB OA 1 3OB 2 3OA 2 3 1 3 同理 a a b b OQ 1 3 2 3 a a b b OP OQ OA OB 2 OAn 1 OA1 OAn 2 OA2 OA OB 证明如下 由 1 可推出 OA1 OA AA1 OA 1 nAB OA 1 n OB OA n 1 n OA 1 nOB a a b b OA1 n 1 n 1 n 同理OAn 1 a a b b 1 n n 1 n a a b b OAn 2 a a b b OA2 n 2 n 2 n 2 n n 2 n 因此有 OAn 1 OAn 2 OA1 OA2 OA OB 用心 爱心 专心9 21 已知 ABC的面积S满足 S 3 且 6 与的夹角为 3 AB BC AB BC 1 求 的取值范围 2 求函数f sin2 2sin cos 3cos2 的最小值 解 1 由题意知 cos 6 AB BC AB BC S sin 1 2 AB BC sin 1 2 AB BC 得 tan 即 3tan S S 6 1 2 由 S 3 得 3tan 3 即 tan 1 33 3 3 为与的夹角 0 AB BC 6 4 2 f sin2 2sin cos 3cos2 1 sin2 2cos2 2 sin2 cos2 2 sin 2 2 4 2 6 4 4 7 12 3 4 当 2 即 时 f 有最小值为 3 4 3 4 4 22 2009 江苏高考 设向量a a 4cos sin b b sin 4cos c c cos 4sin 1 若a a与b b 2c c垂直 求 tan 的值 2 求 b b c c 的最大值 3 若 tan tan 16 求证 a