2011中考数学冲刺专题9 动态几何问题 人教新课标版

用心 爱心 专心1 20112011 中考冲刺数学专题中考冲刺数学专题 9 9 动态几何问题动态几何问题 备考点睛 动态几何问题 是以几何知识和具体的几何图形为背景 渗透运动变化的观点 通过 点 线 形的运动 图形的平移 翻折 旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系 位置关系看作是在变化的 相互依存的状态之中 要求对运动变化过程伴随的数量关系的 图形的位置关系等进行探究 对学生分析问题的能力 对图形的想象能力 动态思维能力 的培养和提高有着积极的促进作用 动态几何问题 以运动中的几何图形为载体所构建成 的综合题 它能把几何 三角 函数 方程等知识集于一身 题型新颖 灵活性强 有区 分度 受到了人们的高度关注 同时也得到了命题者的青睐 动态几何问题 常常出现在 各地的中考数学试卷中 动态几何问题通常包括动点问题 动线问题 面动问题 在考查图形变换 含三角形 的全等与相似 的同时常用到的不同几何图形的性质 以三角形 四边形为主 主要运用 方程 函数 数形结合 分类讨论等数学思想 经典例题 类型一 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程 例题 1 如图 已知中 厘米 厘米 点为的中ABC 10ABAC 8BC DAB 点 1 如果点P在线段BC上以 3 厘米 秒的速度由B点向C点运动 同时 点Q在线段 CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等 经过 1 秒后 与是否全BPD CQP 等 请说明理由 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等 当点Q的运动速度为多少时 能够使 与全等 BPD CQP 2 若点Q以 中的运动速度从点C出发 点P以原来的运动速度从点B同时出发 都逆时针沿三边运动 求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相ABC ABC 遇 解答 1 秒 厘米 1t 3 13BPCQ 厘米 点为的中点 厘米 10AB DAB5BD 又 厘米 厘米 8PCBCBPBC 835PC PCBD 又 ABAC BC BPDCQP PQ vv BPCQ 又 BPDCQP BC 则 45BPPCCQBD 点 点运动的时间秒PQ 4 33 BP t A Q C D B P 用心 爱心 专心2 厘米 秒 515 4 4 3 Q CQ v t 2 设经过秒后点与点第一次相遇 由题意 得 解得xPQ 15 32 10 4 xx 秒 80 3 x 点共运动了厘米 P 80 380 3 点 点在边上相遇 经过秒点与点第一次在边802 2824 PQAB 80 3 PQ 上相遇 AB 例题 2 如图 在梯形中 ABCD3ADBCAD 5DC 4 2AB 动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动45B MBBCC 点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动 设运动的时NCCDD 间为 秒 t 1 求的长 BC 2 当时 求 的值 MNAB t 3 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC 解答 1 如图 过 分别作于 于 ADAKBC KDHBC H 则四边形是矩形 ADHK 在中 3KHAD RtABK 2 sin454 24 2 AKAB A 2 cos454 24 2 BKAB AA 在中 由勾股定理得 RtCDH 22 543HC 43310BCBKKHHC 图 AD CB K H 图 AD CB G M N 2 如图 过作交于点 则四边形是平行四边形DDGAB BCGADGB MNAB MNDG 3BGAD 1037GC 由题意知 当 运动到 秒时 MNt102CNtCMt 又DGMN NMCDGC CC 用心 爱心 专心3 即解得 MNCGDC CNCM CDCG 102 57 tt 50 17 t 3 分三种情况讨论 当时 如图 即 NCMC 102tt 10 3 t 当时 如图 过作于MNNC NNEMC E 解法一 由等腰三角形三线合一性质得 11 1025 22 ECMCtt AD CB M N 图 图 AD CB M N HE 在中 又在中 RtCEN 5 cos ECt c NCt RtDHC 3 cos 5 CH c CD 解得 53 5 t t 25 8 t 解法二 90CCDHCNEC NECDHC 即 NCEC DCHC 5 53 tt 25 8 t 当时 如图 过作于点 MNMC MMFCN F 11 22 FCNCt 解法一 方法同 中解法一 解得 1 3 2 cos 1025 t FC C MCt 60 17 t 解法二 90CCMFCDHC MFCDHC 即 FCMC HCDC 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述 当 或时 为等腰三角形 10 3 t 25 8 t 60 17 t MNC 例题 3 湖北武汉 如图 拋物线y1 ax2 2ax b经过A 1 0 C 2 两点 与x轴 2 3 交于另一点B 1 求此拋物线的解析式 2 若拋物线的顶点为M 点P为线段OB上一动点 不与点B重合 点Q在线段MB上 移动 且 MPQ 45 设线段OP x MQ y2 求y2与x的函数关系式 并直接写出自变 2 2 量x的取值范围 3 在同一平面直角坐标系中 两条直线x m x n分别 图 AD CB H N M F P M Q AB O y x 用心 爱心 专心4 与拋物线交于点E G 与 2 中的函数图像交于点F H 问四边形EFHG能否为平行四边形 若能 求m n之间的 数量关系 若不能 请说明理由 解答 1 拋物线y1 ax2 2ax b经过A 1 0 C 0 两点 2 3 a b 2 3 02 b baa 2 1 2 3 拋物线的解析式为y1 x2 x 2 1 2 3 2 作MN AB 垂足为N 由y1 x2 x 易得M 1 2 2 1 2 3 N 1 0 A 1 0 B 3 0 AB 4 MN BN 2 MB 2 2 MBN 45 根据勾股定理有BM 2 BN 2 PM 2 PN 2 2 2 22 PM2 1 x 2 又 MPQ 45 MBP 2 MPQ MBP PM2 MQ MB y2 2 2 2 2 由 得y2 x2 x 0 x 3 2 1 2 5 y2与x的函数关系式为y2 x2 x 0 xx 所以点E一定在点P的左侧 若以P Q M N为顶点的四边形是等腰梯形 则点F一定在点N的右侧 且PE NF 即 2 23xxxx 解得 12 0 4xx 舍去 由于当x 4 时 以P Q M N为顶点的四边形是平行四边形 所以 以P Q M N为顶点的四边形不能为等腰梯形 类型二 根据运动图形的位置分类 把动态问题分割成几个静态问题 再将几何问题转化 为函数和方程问题 例题 5 已知 等边三角形的边长为 4 厘米 长为 1 厘米的线段在的ABCMNABC 边上沿方向以 1 厘米 秒的速度向点运动 运动开始时 点与点重合 点ABABBMA 到达点时运动终止 过点分别作边的垂线 与的其它边交于NBMN ABABC 两点 线段运动的时间为 秒 PQ MNt 1 线段在运动的过程中 为何值时 四边形恰为矩形 并求出该矩MNtMNQP 形的面积 2 线段在运动的过程中 四边形的面积为 运动的时间为 求四MNMNQPSt 边形的面积随运动时间 变化的函数关系式 并写出自变量 的取值范围 MNQPStt 用心 爱心 专心6 解答 1 过点作 垂足为 则 CCDAB D2AD 当运动到被垂直平分时 四边形是矩形 即时 MNCDMNQP 3 2 AM 四边形是矩形 秒时 四边形是矩形 MNQP 3 2 t MNQP 3 tan603 2 PMAM 3 3 2 MNQP S 四边形 2 当时 1 01t 1 2 MNQP SPMQN MN 四边形 3 3 2 t 当时 2 12t 1 2 MNQP SPMQN MN 四边形 3 3 2 当时 3 23t 1 2 MNQP SPMQN MN 四边形 7 33 2 t 点评 此题关键也是对 P Q 两点的不同位置进行分类 例题 6 湖北咸宁 如图 直角梯形ABCD中 AB DC 90DAB 24ADDC 动点M以每秒 1 个单位长的速度 从点A沿线段AB向点B运动 同时点P以相6AB 同的速度 从点C沿折线C D A向点A运动 当点M到达点B时 两点同时停止运 动 过点M作直线l AD 与线段CD的交点为E 与折线A C B的交点为Q 点M运动的 时间为t 秒 1 当时 求线段的长 0 5t QM 2 当 0 t 2 时 如果以C P Q为顶点的三角形为 直角三角形 求t的值 3 当t 2 时 连接PQ交线段AC于点R 请探究 CQ RQ 是否为定值 若是 试求这个定值 若不是 请说明理由 解答 1 过点C作于F 则四边形AFCD为矩形 此时 CFAB 4CF 2AF Rt AQM Rt ACF 即 QMCF AMAF 4 0 52 QM 1QM 2 为锐角 故有两种情况 DCA 当时 点P与点E重合 90CPQ 此时 即 DECPCD 2tt 1t 当时 如图 90PQC 此时 Rt PEQ Rt QMA EQMA PEQM 由 1 知 42EQEMQMt A B C D Q P E l M Q A B C D l M PE 用心 爱心 专心7 而 2 22PEPCCEPCDCDEttt 综上所述 或 421 222 t t 5 3 t 1t 5 3 3 为定值 当 2 时 如图 CQ RQ t4 2 6PADADPtt 由 1 得 4BFABAF CFBF 45CBF 6QMMBt QMPA 四边形AMQP为矩形 PQAB CRQ CAB 22 4 22 2 63 CQBCCFBF RQABAB 技巧提炼 解这类问题的基本策略是 1 动中觅静 这里的 静 就是问题中的不变量 不变关系 动中觅静就是在运动变 化中探索问题中的不变性 2 动静互化 静 只是 动 的瞬间 是运动的一种特殊形式 动静互化就是抓住 静 的瞬间 使一般情形转化为特殊问题 从而找到 动 与 静 的关系 3 以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系 通过研究运动函数 用 联系发展的观点来研究变动元素的关系 总之 解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形 把握图形运动与变化的全过程 抓住变化中的不变 以不变应万变 具体做法是 第一 全面阅读题目 了解运动的方式与形式 全方位考察运动中的变与变的量 及其位置关系 第二 应用分类讨论思想 将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的 图形分类画出 变 动 为 静 第三 在各类 静态图形 中运用相关的知识和方法 如方程 相似等 进行探 索 寻找各个相关几何量之间的关系 建立相应的数学模型进行求解 另外 需要强调的是此类题型一般起点低 第一步往往是一个非常简单的问题 考生 一般都能拿分 但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法 是 特殊到一般数学思想和方法的具体应用 所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案 更重要的是明确此题的方法和思路 体验中考 1 中考预测 已知一个直角三角形纸片OAB 其 中9024AOBOAOB 如图 将该纸片放置在平面直角坐标系中 折叠该 纸片 折痕与边OB交于点C 与边AB交于点D A B C D M Q R F P 用心 爱心 专心8 1 若折叠后使点B与点A重合 求点C的坐标 2 若折叠后点B落在边OA上的点为 B 设OBx OCy 试写出y关于 x的函数解析式 并确定y的取值范围 3 若折叠后点B落在边OA上的点为 B 且使B DOB 求此时点C的坐标 x y B OA x y B OA x y B OA 2 中考预测 如图 抛物线与x轴交于A B两点 A点在B点左 2 23yxx 侧 直线 y x b与抛物线交于A C两点 与y轴交于点Q l 1 求Q C 两点的坐标 2 点G是抛物线上的动点 在抛物线上是否存在点 2 23yxx 2 1 1 2 yx F 使得以Q C F G四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出F点坐标 若不 存在 说明理由 连年出现平行四边形存在性的判断问题 但总是有两个点在坐标轴上 预测会出现没 有两个点在同一坐标轴上的问题 3 中考预测 如图 已知 1 28 33 lyx 直线与直线 2 216lyx 相交于点 C 1 l 2 l分别交x轴于 A B 两点 矩形 DEFG 的顶点 D E 分别在直线 1 l 2 l上 顶点 FG 都在x轴上 且点G与点B重合 1 求ABC 的面积 2 求矩形DEFG的边DE与EF的长 3 若矩形DEFG从点 B 出发 沿x轴以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 平移 设移 动时间为 012 tt 秒 矩形DEFG与ABC 重叠部分的面积为S 求S关于t的函 数关系式 并写出相应的t的取值范围 A D B E O C F x y y 1 l 2 l G 4 中考预测 如图 在平面直角坐标系内 已知点 A 0 6 点 B 8 0 动点 P 用心 爱心 专心9 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动 同时动点 Q 从点 B 开始在 线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 设点 P Q 移动的时间为 t 秒 1 求直线 AB 的解析式 2 当 t 为何值时 APQ 与 AOB 相似 3 当 t 为何值时 APQ 的面积为 5 24 个平方单位 5 中考预测 如图 1 在平面直角坐标系中 已知点 0 4 3 A 点B在x正半轴上 且30ABO 动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动 设运 动时间为t秒 在x轴上取两点MN 作等边PMN 1 求直线AB的解析式 2 求等边PMN 的边长 用t的代数式表示 并求出当等边PMN 的顶点M运 动到与原点O重合时t的值 3 如果取OB的中点D 以OD为边在RtAOB 内部作如图 2 所示的矩形ODCE 点C在线段AB上 设等边PMN 和矩形ODCE重叠部分的面积为S 请求出当 02t 秒时S与t的函数关系式 并求出S的最大值 6 2010 江苏无锡 如图 已知点 6 3 0 0 6 AB 经过 A B 的直线l以每秒 1 个单 位的速度向下作匀速平移运动 与此同时 点 P 从点 B 出发 在直线l上以每秒 1 个 单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动 设它们运动的时间为t秒 1 用含t的代数式表示点 P 的坐标 2 过 O 作 OC AB 于 C 过 C 作 CD x轴于 D 问 t为何值时 以 P 为圆心 1 为 半径的圆与直线 OC 相切 并说明此时PA与直线 CD 的位置关系 图 1 y AP MONB x 图 2 y A C ODB x E 用心 爱心 专心10 B A O P D C l x y 7 2010 河北 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC 90B AD 6 BC 8 33 AB 点M是BC的中点 点P从点M出发沿MB以每秒 1 个单位长的速度向点B匀速 运动 到达点B后立刻以原速度沿BM返回 点Q从点M出发以每秒 1 个单位长的速度在射 线MC上匀速运动 在点P Q的运动过程中 以PQ为边作等边三角形EPQ 使它与梯形 ABCD在射线BC的同侧 点P Q同时出发 当点P返回到点M时停止运动 点Q也随之停 止 设点P Q运动的时间是t秒 t 0 1 设PQ的长为y 在点P从点M向点B运动的过程中 写出y与t之间的函数关系 式 不必写t的取值范围 2 当BP 1 时 求 EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积 3 随着时间t的变化 线段AD会有一部分被 EPQ覆盖 被覆盖线段的长度在某个 时刻会达到最大值 请回答 该最大值能否持续一个时段 若能 直接写出t的取值范围 若不能 请说明理由 8 2010 云南楚雄 已知 如图 A与y轴交于C D两点 圆心A的坐标为 1 0 A的半径为5 过点C作 A的切线交x于点B 4 0 1 求切线BC的解析式 2 若点P是第一象限内 A上一点 过点P作 A的切线与直线BC相交于点G 且 CGP 120 求点G的坐标 3 向左移动 A 圆心A始终保持在x上 与直线BC交于E F 在移动过程中是否 存在点A 使得 AEF是直角三角形 若存在 求出点A 的坐标 若不存在 请说明理 由 用心 爱心 专心11 答案 1 答案 1 如图 折叠后点B与点A重合 则ACDBCD 设点C的坐标为 00mm 则4BCOBOCm 于是4ACBCm 在RtAOC 中 由勾股定理 得 222 ACOCOA 即 2 22 42mm 解得 3 2 m 点C的坐标为 3 0 2 2 如图 折叠后点B落在 OA边上的点为 B 则B CDBCD 由题设OBxOCy 则4B CBCOBOCy 在RtB OC 中 由勾股定理 得 222 B COCOB 2 22 4yyx 即 2 1 2 8 yx 由点 B 在边OA上 有02x 解析式 2 1 2 8 yx 02x 为所求 当02x 时 y随x的增大而减小 y 的取值范围为 3 2 2 y 3 如图 折叠后点B落在OA边上的点为 B 且B DOB 则OCBCB D 又CBDCB DOCBCBD 有CBBA RtRtCOBBOA 有 OBOC OAOB 得2OC OB 在RtB OC 中 设 0 0OBxx 则 0 2OCx 由 2 的结论 得 2 00 1 22 8 xx 解得 000 84 5084 5xxx 点C的坐标为 0 8 516 2 答案 1 令 解得 2 230yxx 1 3x 2 1x A点坐标为 1 0 代入直线 y x b得直线 的解析式为y x 1ll Q点坐标为 0 1 x y B OA D C 图 x y B O B D C 图 x y B O B D C 图 用心 爱心 专心12 解方程 得 从而C点坐标为 2 3 2 231xxx 1 2x 2 1x 2 设抛物线上点F的坐标为 2 1 1 2 yx 2 1 1 2 mm 若以QC为对角线 则G点坐标为 1 G 2 1 2 5 2 mm 点G在抛物线上 解得 2 23yxx 2 2 1 522 23 2 mmm 2m 若以FQ为对角线 则G点坐标为 2 G 2 1 2 3 2 m m 点G在抛物线上 解得 2 23yxx 2 2 1 32223 2 mmm 62 6 3 m 若以CF为对角线 则G点坐标为 3 G 2 1 2 1 2 mm 点G在抛物线上 解得 2 23yxx 2 2 1 12223 2 mmm 215 3 m F点坐标为五个 2 1 62 6 74 6 33 62 6 74 6 33 215 4 151 318 2154 151 318 3 答案 1 A 4 0 B 8 0 C 5 6 11 12 636 22 ABCC SAB y 2 B 8 0 D 8 8 E 4 8 8448OEEF 3 当03t 时 如图 1 矩形DEFG与ABC 重叠部分为五边形CHFGR 0t 时 为四边形CHFG 过C作CMAB 于M 则RtRtRGBCMB A D B E O R Fx y y 1 l y 2 l M 图 3 G C A D B E O C F x y y 1 l y 2 l G 图 1 R MA D B E O C Fx y y 1 l y 2 l G 图 2 R M BGRG BMCM 即 36 tRG 2RGt AF 8 t AFHF AMCM 即 8 96 tHF 用心 爱心 专心13 2 8 3 HFt 112 36288 223 ABCBRGAFH SSSStttt 即 2 41644 333 Stt 当38t 时 如图 2 矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分为梯形 QFGR t 8 时 为 ARG 则 AF 8 t AG 12 t 由 Rt AFQ Rt AGR Rt AMC 得 AFFQ AMCM AGRG AMCM 即 8 96 tFQ 12 96 tRG 2 8 3 FQt 2 12 3 RGt 1 2 SQFRG FG A 1 22 8 12 4 2 33 tt A 880 38 33 tt 当812t 时 如图 3 其重叠部分为 AGR 则 AG 12 t 2 12 3 RGt 2 121 12 12 12 233 Sttt A 812 t 4 答案 1 设直线 AB 的解析式为y kx b 由题意 得 b 6 80kb 解得 3 4 6 k b 所以 直线 AB 的解析式为y 4 3 x 6 2 由 AO 6 BO 8 得 AB 10 所以 AP t AQ 10 2t 1 当 APQ AOB 时 APQ AOB 所以 6 t 10 210t 解得 t 11 30 秒 2 当 AQP AOB 时 AQP AOB 所以 10 t 6 210t 解得 t 13 50 秒 3 过点 Q 作 QE 垂直 AO 于点 E 在 Rt AOB 中 Sin BAO AB BO 5 4 在 Rt AEQ 中 QE AQ Sin BAO 10 2t 5 4 8 5 8t S APQ 2 1AP QE 2 1t 8 5 8t 2 5 4 t 4t 5 24 解得t 2 秒 或t 3 秒 5 答案 1 直线AB的解析式为 3 4 3 3 yx 2 方法一 90AOB 30ABO 28 3ABOA 3APt 8 33BPt PMN 是等边三角形 90MPB 03t 用心 爱心 专心14 tan PM PBM PB 3 8 33 8 3 PMtt 方法二 如图 1 过P分别作PQy 轴于Q PSx 轴于S 可求得 13 22 t AQAP 3 4 3 2 t PSQO 33 4 38 22 t PMt 当点M与点O重合时 60BAO 2AOAP 4 32 3t 2t 3 当01t 时 见图 2 设PN交EC于点H 重叠部分为直角梯形EONG 作GHOB 于H 60GNH 2 3GH 2HN 8PMt 162BMt 12OB 8 16212 4ONttt 422OHONHNttEG 1 24 2 32 36 3 2 Sttt S 随t的增大而增大 当1t 时 8 3S 最大 当12t 时 见图 3 设PM交EC于点I 交EO于点F PN交EC于点G 重叠部分为五边形OFIGN 方法一 作GHOB 于H 4 32 3FOt 2 3 4 32 3 2 32 3EFtt 22EIt 2 1 2 36 3 22 2 32 3 2 36 34 3 2 FEIONGE SSSttttt 梯形 方法二 由题意可得42MOt 42 3OFt 4 33PCt 4PIt 图 1 y A P MONB x Q S 图 2 y A C ODB x E G P MHN 图 3 y A P M O N B x E H C I G D F 用心 爱心 专心15 再计算 2 1 42 3 2 FMO St 2 3 8 4 PMN St 2 3 4 4 PIG St 222 331 8 4 42 3 442 PMNPIGFMO SSSSttt 2 2 36 34 3tt 2 30 当 3 2 t 时 S有最大值 17 3 2 S 最大 当2t 时 6MPMN 即N与D重合 设PM交EC于点I PD交EC于点G 重叠部 分为等腰梯形IMNG 见图 4 22 33 628 3 44 S 综上所述 当01t 时 2 36 3St 当12t 时 2 2 36 34 3Stt 当2t 时 8 3S 17 3 8 3 2 S 的最大值是 17 3 2 6 答案 作PH OB于H 如图 1 OB 6 OA 36 OAB 30 PB t BPH 30 BH 1 2 t HP t 2 3 OH ttt 2 3 6 2 1 6 P t 2 3 t 2 3 6 H O B A x y P 图 1 P y x D C A B O 图 2 O B A C Dx y P 图 3 当 P在左侧与直线OC相切时 如图 2 OB t 6 BOC 30 BC 1 6 2 t 1 3 2t PC 13 33 22 t tt 由 3 31 2 t 得 4 3 t s 此时 P与直线CD相割 当 P在左侧与直线OC相切时 如图 3 图 4 y A C O D NB x E G P M I 用心 爱心 专心16 PC3 2 3 6 2 1 ttt 由13